三角函数常见题型.docx
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三角函数常见题型
三角函数常见题型
三角函数常见题型
二、高考要求：
了解三角函数的图象与性质，理解同角关系；掌握三角函数的两角和（差）的正弦、余弦和正切；理解正余弦定理并会应用．煤焦油泵
【典型例题】
I、三角函数的图象与性质煤焦油泵
三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来．本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用．
例1、函数
的图象为
，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．KCB齿轮油泵
①图象
关于直线
对称；可调压渣油泵
②图象
关于点
对称；
③函数
在区间
内是增函数；高压渣油泵
④由
的图象向右平移
个单位长度可以得到图象
．
答案：
①②③
例2、下面有五个命题：
KCB-300
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是
．
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=
|．齿轮油泵kcb55
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．
④把函数
高压渣油泵
⑤函数
其中真命题的序号是 ①④ （写出所有真命题的编号）KCB齿轮油泵
解析：
①
，正确；②错误；③
，
和
在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．
2CY齿轮油泵
例3、设z1=m+（2－m2）i，z2=cosθ+（λ+sinθ）i，其中m，λ，θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围．
命题意图：
本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用．螺杆油泵
知识依托：
主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决．
错解分析：
考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题．螺杆油泵
技巧与方法：
对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题．
解法一：
∵z1=2z2，渣油泵
∴m+（2－m2）i=2cosθ+（2λ+2sinθ）i，∴
∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2（sinθ－
）2－
．
当sinθ=
时，λ取最小值－
，当sinθ=－1时，λ取最大值2．
解法二：
∵z1=2z2 ∴
YHB卧式齿轮润滑油泵
∴
，沥青保温泵
∴
=1．
∴m4－（3－4λ）m2+4λ2－8λ=0，设t=m2，则0≤t≤4，zyb增压燃油泵
令f（t）=t2－（3－4λ）t+4λ2－8λ，则
或f（0）·f（4）≤0
∴
螺杆油泵
∴－
≤λ≤0或0≤λ≤2．
∴λ的取值范围是［－
，2］．煤焦油泵
例4、如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．
（1）求这段时间的最大温差．
（2）写出这段曲线的函数解析式．煤焦油泵
命题意图：
本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则．KCB齿轮油泵
知识依托：
依据图象正确写出解析式．可调压渣油泵
错解分析：
不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母．
技巧与方法：
数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式．
解：
（1）由图示，这段时间的最大温差是30－10=20（℃）；
（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期的图象．高压渣油泵
∴
=14－6，解得ω=
，由图示A=
（30－10）=10，b=
（30+10）=20，这时y=10sin（
x+φ）+20，将x=6，y=10代入上式可取φ=
π．综上所求的解析式为y=10sin（
x+KCB-300
π）+20，x∈［6，14］．
齿轮油泵kcb55
例5、已知函数f（x）=2cosxsin（x+
）－
sin2x+sinxcosx
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的值；高压渣油泵
命题意图：
本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力．
知识依托：
熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识．
错解分析：
在求f-－1
（1）的值时易走弯路．KCB齿轮油泵
技巧与方法：
等价转化，逆向思维．
解：
（1）f（x）=2cosxsin（x+
）－
sin2x+sinxcosx
=2cosx（sinxcos
+cosxsin
）－
sin2x+sinxcosx2CY齿轮油泵
=2sinxcosx+
cos2x=2sin（2x+
）
∴f（x）的最小正周期T=π螺杆油泵
（2）当2x+
=2kπ－
，即x=kπ－
（k∈Z）时，f（x）取得最小值－2．
方法归纳：
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：
螺杆油泵
1、考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用．
2、三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．渣油泵
3、三角函数与实际问题的综合应用．
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用．
YHB卧式齿轮润滑油泵
II、三角函数的式值
例6、下列各式中，值为
的是（ ）沥青保温泵
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：
Bzyb增压燃油泵
例7、不查表求sin220°+cos280°+
sin20°cos80°的值．
命题意图：
本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高．
知识依托：
熟知三角公式并能灵活应用．螺杆油泵
错解分析：
公式不熟，计算易出错．
技巧与方法：
解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会．
解法一：
sin220°+cos280°+
sin20°cos80°煤焦油泵
=
（1－cos40°）+
（1+cos160°）+
sin20°cos80°
=1－
cos40°+
cos160°+
sin20°cos（60°+20°）
=1－
cos40°+
（cos120°cos40°－sin120°sin40°）+
sin20°（cos60°cos20°－sin60°sin20°）KCB齿轮油泵
=1－
cos40°－
cos40°－
sin40°+
sin40°－
sin220°
=1－
cos40°－
（1－cos40°）=
可调压渣油泵
解法二：
设x=sin220°+cos280°+
sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°－
cos20°sin80°，则高压渣油泵
x+y=1+1－
sin60°=
，x－y=－cos40°+cos160°+
sin100°
=－2sin100°sin60°+
sin100°=0KCB-300
∴x=y=
，即x=sin220°+cos280°+
sin20°cos80°=
．
齿轮油泵kcb55
例8、已知
<
<
<
，
（I）求
的值．
（II）求
．高压渣油泵
分析：
本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力．
解：
（I）由
，得
∴
，于是
（II）由
，得
KCB齿轮油泵
又∵
，∴
由
得：
2CY齿轮油泵
所以
螺杆油泵
例9、设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－（2a+1）的最小值为f（a），试确定满足f（a）=
的a值，并对此时的a值求y的最大值．螺杆油泵
命题意图：
本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力．
知识依托：
二次函数在给定区间上的最值问题．渣油泵
错解分析：
考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错．
技巧与方法：
利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等．
解：
由y=2（cosx－
）2－
及cosx∈［－1，1］得：
YHB卧式齿轮润滑油泵
f（a）=
沥青保温泵
∵f（a）=
，∴1－4a=
a=
［2，+∞
故－
－2a－1=
，解得：
a=－1，此时，zyb增压燃油泵
y=2（cosx+
）2+
，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5．
●方法归纳：
螺杆油泵
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
1、求值问题的基本类型：
1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值．
2、技巧与方法：
煤焦油泵
1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式．
2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用．
3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法．煤焦油泵
4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决．
煤焦油泵
III、三角函数的综合运用
三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧．3GR螺杆泵
例10、在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C处．
（1）求船的航行速度是每小时多少千米；沥青齿轮泵
（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
命题意图：
本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力．KCB齿轮油泵
知识依托：
主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系．
错解分析：
考生对方位角识别不准，计算易出错．可调压渣油泵
技巧与方法：
主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题．
解：
（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°PA=1，∴AB=
（千米）
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=
（千米）高压渣油泵
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
KCB-300
（2）∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin（180°－∠ACB）=sinACB=
sinCDA=sin（∠ACB－30°）=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°
．齿轮油泵kcb55
在△ACD中，据正弦定理得
，高压渣油泵
∴
答：
此时船距岛A为
千米．KCB齿轮油泵
例11、解不等式
．
分析：
本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．2CY齿轮油泵
解：
因为对任意
，
，所以原不等式等价于
．
即
，
，
，故解为
．
所以原不等式的解集为
．螺杆油泵
例12、设函数
，
，
其中
，将
的最小值记为
．螺杆油泵
（I）求
的表达式；
（II）讨论
在区间
内的单调性并求极值．
分析：
本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区
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