高中数学不等式解题漫谈.docx
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高中数学不等式解题漫谈
高中数学不等式解题漫谈
一、活用倒数法则巧作不等变换——不等式的性质和应用
不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.
倒数法则：
若ab>0,则a>b与<等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。
如：
（1998年高考题改编）解不等式loga（1-）>1.
分析：
当a>1时，原不等式等价于：
1->a,即<1-a,∵a>1,∴1-a<0,<0,从而1-a,同号，由倒数法则，得x>;当00,>0,从而1-a,同号，由倒数法则，得1综上所述，当a>1时,x∈（,+∞）；当0注：
有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用
绝对值不等式：
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
这里a,b既可以表示向量，也可以表示实数。
当a,b表示向量时，不等式等号成立的条件是：
向量a与b共线；
当a,b表示实数时，有两种情形：
（1）当ab≥0时，|a+b|=|a|+|b|,|a-b|=||a|-|b||;
（2）当ab≤0时，|a+b|=||a|-|b||,|a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。
如：
若1<<,则下列结论中不正确的是（）
A、logab>logbaB、|logab+logba|>2C、（logba）2<1D、|logab|+|logba|>|logab+logba|
分析：
由已知，得0[答案]D
注：
绝对值不等式是一个十分重要的不等式，其本身的应用价值很广泛，但在高考或其他试题中常设计成在等号成立时的特殊情况下的讨论，因此利用等号成立的条件（a,b同号或异号）是解决这一类问题的一个巧解。
三、“抓两头看中间”，巧解“双或不等式”——不等式的解法
（1）解不等式（组）的本质就是对不等式（组）作同解变形、等价变换。
（2）多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向
不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。
常用画数轴的方法来确定,但毕竟要画数轴.能否不画数轴直接就可得出解集呢?
下面的方法就十分有效。
可以“先同向再异向”的原则来确定，即先将同向不等式“合并”（求交集），此时“小于小的，大于大的”；最后余下的两个异向不等式，要么为空集，要么为两者之间。
如解不等式组:
先由③④（同>）得x>0（大于大的）;再由①②（同<）得x<1（小于小的）;再将x>0与x<1分别与⑤作交集,由x>0与⑤得0（3）双或不等式组的解集合成
形如的不等式组称为“双或”型不等式组（实际上包括多个“或”型不等式组成的不等式组也在此列），这是解不等式组中的一个难点。
解决这类不等式组时常借用数轴来确定，但学生在求解时总会出现一些错误。
这里介绍一种不通过数轴的直接方法：
“抓两头看中间”！
如：
先比较a,b,c,d四个数的大小，如ad（即抓两头）；再看x>b与x四、巧用均值不等式的变形式解证不等式
均值不等式是指：
a2+b2≥2ab（a,b∈R）①；a+b≥2（a,b∈R+）②.
均值不等式是高考的重点考查内容，但其基本公式只有两个，在实际解题时不是很方便。
若能对均值不等式进行适当变形，那么在解题时就能达到事半功倍的效果。
下面的一些变形式在解题时就很有用，不妨一试。
当然你也可以根据需要推导一些公式。
如：
（1）a2≥2ab-b2③;
是将含一个变量的式子，通过缩小变为含两个变量的式子，体现增元之功效，当然反过来即是减元；
（2）≥2a-b④;（a,b>0）
是将分式化为整式，体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解:
求证：
（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac;
（2）++≥a+b+c.（a,b,c>0）
（析：
（1）由a2≥2ab-b2得b2≥2bc-c2,c2≥2ac-a2,三式相加整理即得；
（2）∵≥2a-b∴同样可得另两式，再将三式相加整理即得）。
（3）ab≤（）2⑤;
利用不等关系实现两数和与两数积的互化；
（4）
⑥;（a,b>0）
利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化；
注：
涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分常见的问题，利用⑤、⑥两式可以使其中的关系一目了然。
从解题分析上看，对解题有很好的导向作用。
（5）若a,b∈R+，则+≥⑦（当且仅当=时取等号）;
此式在解题中的主要作用表现在：
从左向右看是“通分”（不是真正的通分）或“合并”，化多项为一项，项数多了总不是好事；从右向左看，是“分解”或“拆项”，实现“一分为二”的变形策略。
这在解不等式相关问题中就很有作为！
请看下例：
例：
已知-1+≥.
分析：
由上不等式，立即得到+≥≥=。
⑦式还可推广到三个或更多字母的情形，即++≥（a,b,c>0）;
++…+≥（a1,a2,…,an>0）
（6）ax+by≤.（柯西不等式）
此不等式将和（差）式与平方和式之间实现了沟通,灵活应用此式可以很方便地解决许多问题.如下例:
例:
使关于x的不等式+≥k有解的实数k的取值范围是【】
A-BC+D
分析:
所求k的范围可以转化为求不等式左边的最大值即可,由柯西不等式得+≤==.∴k≤,∴k的最大值是.填D.
五、不等式中解题方法的类比应用
1、三种基本方法：
比较法、分析法、综合法。
其中比较法可分为作差比较法和作商比较法，不仅在不等式的证明和大小比较中有广泛的应用，同时在其他方面也有很大的作用。
如分析法就是一种重要的思维方法，在数学的其他章节中也有广泛的应用。
2、放缩法：
是不等式证明中一种十分常用的方法，它所涉及的理论简单，思维简单，应用灵活，因而在解题时有着十分重要的应用。
如果能灵活应用放缩法，就可以达到以简驭繁的效果。
活题巧解
例1若1<<,则下列结论中不正确的是【】
Alogab>logbaB|logab+logba|>2C（logba）2<1D|logab|+|logba|>|logab+logba|
【巧解】特例法、排除法
由已知，可令a=，b=，则logab=log23>1,0[答案]D。
例2不等式组的解集为【】（A）（0,）；（B）（,2）；（C）（,4）；（D）（2,4）。
【巧解】排除法
令x=3,符合，舍A、B；令x=2,合题，舍D，选C。
[答案]C。
例3已知y=f（x）是定义在R上的单调函数，实数x1≠x2，λ≠-1α=,β=，若|f（x1）-f（x2）|<|f（α）-f（β）|，则【】
A．λ<0B．λ=0C.0<λ<1D．λ≥1
【巧解】等价转化法
显然λ≠0,β==,∴α、β分别是以x1,x2为横坐标的点所确定的线段以λ和为定比的两个分点的横坐标.由题意知，分点应在线段两端的延长线上，所以λ<0,故选A。
【答案】A。
例40（A）|log（1+a）（1-a）|+|log（1-a）（1+a）|>2（B）|log（1+a）（1-a）|<|log（1-a）（1+a）|
（C）|log（1+a）（1-a）+log（1-a）（1+a）|<|log（1+a）（1-a）|+|log（1-a）（1+a）|
（D）|log（1+a）（1-a）-log（1-a）（1+a）|>|log（1+a）（1-a）|-|log（1-a）（1+a）|
【巧解】换元法、综合法
由于四个选项中只涉及两个式子log（1+a）（1-a）和log（1-a）（1+a），为了简化运算看清问题的本质，不妨设x=log（1+a）（1-a）,y=log（1-a）（1+a）,由0A|x|+|y|>2B|x|<|y|C|x+y|<|x|+|y|D|x-y|<|x|-|y|
这样选A就是极自然的事了。
（）x
[答案]A。
例5已知实数a，b满足等式（）a=（）b，下列五个关系式：
①0（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
【巧解】数形结合法
在同一坐标系内同时画出两个函数图象：
y1=（）x,y2=（）x,（如图）作直线y=m（m>0图中平行于x轴的三条虚线）,由图象可以看到：
当01时,a[答案]B。
例6如果数列｛an｝是各项都大于0的等差数列，且公差d≠0，则【】.
（A）a1+a8a4+a5（D）a1a8=a4a5
【巧解】特例法、排除法
取an=n,则a1=1,a4=4,a5=5,a8=8,∴a1+a8=a4+a5,故选B。
x
[答案]B。
例7条件甲：
x2+y2≤4,条件乙：
x2+y2≤2x,那么甲是乙的【】
A、充分不必要条件B、必要不充分条件
C、充分必要条件D、既非充分也非必要条件
【巧解】数形结合法
画示意图如图。
圆面x2+y2≤2x（包括圆周）被另一个圆面x2+y2≤4包含，结论不是一目了然了吗？
[答案]B
例8已知a,b,c均为正实数，则三个数a+,b+,c+与2的关系是【】
A、都不小于2B、至少有一个不小于2
C、都不大于2D、至少有一个不大于2
【巧解】整体化思想
将a+,b+,c+“化整为零”，得a++b++c+=a++b++c+≥6，故已知的三个数中至少有一个不小于2。
故选B。
[答案]B
例9解不等式–1<<1.
【巧解】数轴标根法、等价转化法
原不等式等价于（3x+x2-4）（3x-x2+4）<0，即（x+4）（x-1）（x+1）（x-4）>0,
由数轴标根法，知解集为{x|x<-4或-14}。
[答案]{x|x<-4或-14}
注：
可以证明不等式m<例10不等式|x+2|≥|x|的解集是______.
【巧解】数形结合法
由数轴上点的意义知，上述不等式的意义是数轴上的点x到-2的距离不小于到原点的距离。
由图形，易知，x≥-1。
[答案]{x|x≥-1}
例11已知c>0，不等式x+|x-2c|>1的解集是R，求c的取值范围。
【巧解】等价转化法
要使原不等式的解集为R，只需不等式中不含x即可，故有x-x+2c>1∴c>。
[答案]c>
注：
这里将|x-2c|中去绝对值的讨论简化为符合题意的一种，显然简捷、精彩！
例12已知f（x）=（x-a）（x-b）-2（an
（m【巧解】数形结合法
令g（x）=（x-a）（x-b）,则f（x）=g（x）-2,由f（x）=0得g（x）=2,因此f（x）=0的两根m,n可看成直线y=2与y=g（x）交点的横坐标，画出f（x）,g（x）的图象，由图象容易得到m[答案]m例13若0a+d【巧解】综合法
由0c-b,∴（d-a）2>（b-c）2,又（a+d）2+（a-d）2=（b+c）2+（b-c）2,
两式相减，得（a+d）2<（b+c）2,∴a+d[答案]见证明过程
注：
本题的几何意义是：
在RtΔABC与RtΔABD中，其中AB为公共的斜边。
若BC>BD,则AC例14求征：
1+++…+<2-（n≥2,n∈N*）.
【巧解】逆用公式法、放缩法
逆用数列的前n项和的方法来求。
设想右端2-是某数列{an}的前n项和，即令Sn=2-,则n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2-）-（2-）=-=,这样问题就转化为<,而这显然。
∴命题成立。
[答案]见证明过程
例15已知a>b>c,求证：
++>0.
【巧解】放缩法
∵0,而>0,∴+>,∴原式得证。
[答案]见证明过程
例16已知a,b,c均为正数，求证：
3（-）≥2（-）。
【巧解】比较法、基本不等式法
∵左边-右边=2+c-3=++c-3≥3-3=0，∴原式成立。
[答案]见证明过程
例17已知-1+≥.
【巧解】构造法、综合法
由无穷等比数列（|q|<1）所有项和公式S=，得
=1+a2+a4+a6+…;=1+b2+b4+b6+…,
∴+=2+（a2+b2）+（a4+b4）+（a6+b6）+…≥2+2ab+2a2b2+2a3b3+…=.
x
[答案]见证明过程
例18已知a+b=1（a,b∈R），求证：
（a+1）2+（b+1）2≥。
【巧解】数形结合法。
显然Q（a,b）是直线L：
x+y=1上的点，（a+1）2+（b+1）2表示点Q与P（-1,1）的距离的平方。
如图，设PT⊥直线L于T，所以|PQ|2≥|PT|2，又|PT|2=（）2=，∴|PQ|2≥
∴原式成立。
[答案]见证明过程
例19若0≤θ≤，求证：
cos（sinθ）>sin（cosθ）.
【巧解】单调性法、放缩法
∵cosθ+sinθ=sin（θ+）≤<，∴cosθ<-sinθ,
又∵0≤θ≤，∴cosθ∈[0,1],-sinθ∈[-1,]，
∴sin（cosθ）[答案]见证明过程
例20已知f（x）=，若a>b>0,c=2,求证：
f（a）+f（c）>1.
【巧解】基本不等式法、放缩法
可以证明f（x）在（0,+∞）上是增函数。
∵c=2≥2=2=>0,∴c≥，
∴f（c）≥f（），而f（a）+f（c）≥f（a）+f（）=+=+>+=1.
[答案]见证明过程
例21若关于x的不等式x2+2ax-2b+1≤0与不等式-x2+（a-3）x+b2-1≥0有相同的非空解集，求a,b的值。
【巧解】等价转化法,数形结合法
将y=x2+2ax-2b+1与y=-x2+（a-3）x+b2-1两式相加，得2y=（3a-3）x+b2-2b,此即为直线MN的方程（其中M、N分别为两函数图象与x轴的两个交点）；另一方面，由题意知，MN即x轴，其方程为y=0,比较两式的系数得，3a-3=0,b2-2b=0,从而易得a=1,b=0或2，特别地当a=1,b=0时，两不等式的解集为{-1}，也符合题意。
[答案]a=1,b=0或2。
例22设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减，若f（1-m）【巧解】等价转化法
解：
∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）=f（|x|）,∴f（1-m）又当x∈[0,2]时，f（x）单调递减，∴|1-m|>|m|且-2≤1-m≤2且-2≤m≤2
解得-1≤m<。
[答案]-1≤m<.
注：
本题应用了偶函数的一个简单的性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，值得关注。
例23解不等式：
< <3.
【巧解】构造法，定比分点法
把、 、3看成是数轴上的三点A、P、B，由定比分点公式知P分所成的比t>0,即>0,化简得x（3x+5）>0,∴x∈（-∞,）∪（0,+∞）。
[答案]x∈（-∞,）∪（0,+∞）。
例24已知x,y,z均是正数，且x+y+z=1,求证：
++≤。
【巧解】配凑法、升幂法
不等式两边配上，再运用均值不等式升幂。
（你知道为什么要配吗？
）
++≤++
=≤=2，∴原式成立。
[答案]见证明过程
例25设a,b,c为ΔABC的三条边，求证：
a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）.
【巧解】综合法
∵a+b>c,b+c>a,c+a>b,∴三式两边分别乘以c,a,b得ac+bc>c2,ab+ac>a2,bc+ab>b2,三式相加并整理得,a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）.
[答案]见证明过程
例26解不等式+-x3-5x>0.
【巧解】构造法,综合法
原不等式等价于（）3+5（）>x3+5x,构造函数f（x）=x3+5x,则原不等式即为f（）>f（x），又f（x）在R上是增函数，∴>x,解此不等式得x<-2或-1[答案]{x|x<-2或-1例27已知函数f（x）=x2+ax+b（a,b∈R）,x∈[-1,1],求证：
|f（x）|的最大值M≥.
【巧解】反证法
假设M<,则|f（x）|<恒成立，∴-令x=0,1,-1,分别代入上式，得-由②+③得-[答案]见证明过程
例28已知二次函数f（x）=ax2+bx+c,且方程f（x）=0的两根x1、x2都在（0,1）内，求证:
f（0）f
（1）≤.
【巧解】待定系数法、基本不等式法
因方程有两个实根为x1,x2,故可设f（x）=a（x-x1）（x-x2）,于是f（0）f
（1）=ax1x2·a（1-x1）（1-x2）=a2x1（1-x1）x2（1-x2）≤a2··≤。
[答案]见证明过程
例29若a1、a2、…、a11成等差数列，且a12+a112≤100，求S=a1+a2+…+a11的最大值和最小值。
【巧解】基本不等式法、综合法
（a1+a11）2=a12+2a1a11+a112≤2（a12+a112）≤200,∴|a1+a11|≤10，
又a1、a2、…、a11成等差数列,∴S=a1+a2+…+a11=（a1+a11）,
∴Smax=55，Smin=-55.
[答案]Smax=55，Smin=-55.
例30若0≤x,y≤1，求证：
+++≥2等号当且仅当x=y=时成立。
H
【巧解】构造法
如图，设正方形ABCD的边长为1，BH=x,AE=y,则HC=1-x,BE=1-y,于是AP=,BP=,
DP=,PC=,由AP+PC≥AC，BP+DP≥BD，而AC=BD=。
看,此时结论是不是显然的了？
[答案]见证明过程
例31设m是方程ax2+bx+c=0的实根，且a>b>c>0,求证：
|m|<1.
【巧解】综合法
设方程的另一根为n,则由韦达定理得m+n=-<0,mn=>0,∴m,n同为负数，
∴1>>|m+n|=|m|+|n|,∴|m|<1,|n|<1.∴结论成立。
[答案]见证明过程
例32已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a,b∈R,a>0）,设方程f（x）=x的两实根为x1和x2，如果x1<2x0>-1.
b
【巧解】数形结合法
设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1,由题意得,即,目标是证明->-1,即<2.如图作出约束条件下的平面区域（不含边界），而表示区域内的点（a,b）与坐标原点连线的斜率，易见<2,故命题成立。
[答案]见证明过程
例33已知≤ak≤1（k∈N+）,求证：
a1a2…an+（1-a1）（1-a2）…（1-an）≥.
【巧解】增量法、换元法
设令ak=+bk（0≤bk≤），则原式左边=（+b1）（+b2）…（+bn）+（-b1）（-b2）…（-bn）=[（）n+M]+[（）n+N]=（）n-1+M+N≥（）n-1=右边，∴原式成立。
[答案]见证明过程
（注：
多项式M和N正负抵消部分项后，所余部分和必为非负数。
）
例34记椭圆（a>b>0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于P（x0,0）,证明：
-【巧解】数形结合法、等价转化法
记Q（x,y）是椭圆上的任一点，则|PQ|2=（x-x0）2+y2=（x-x0）2+b2（1-）,x∈[-a,a],得二次函数，f（x）=（x-x0）2+b2-x02且由|PA|=|PB|,知f（xA）=f（xB）,即f（x）在[-a,a]上不单调，由二次函数最小值的唯一性知–a[答案]见证明过程
例35已知a,b,c∈R,f（x）=ax2+bx+c.若a+c=0,f（x）在[-1,1]上的最大值是2，最小值是-。
证明：
a≠0且||<2.
【巧解】反证法
假设a=0或||≥2。
（1）若a=0,则由a+c=0,得c=0,∴f（x）=bx.由题设知b≠0，∴f（x）在[-1,1]是单调函数，从而f（x）max=|b|;f（x）min=-|b|,于是|b|=2,-|b|=-,由此得矛盾；
（2）若||≥2,则||≥1且a≠0，因此区间[-1,1]在抛物线f（x）=ax2+bx-a的对称轴x=的左侧或右侧，∴函数f（x）在[-1,1]上是单调函数，从而f（x）max=|b|;f（x）=-|b|,由
（1）知这是不可能的。
综合
（1）
（2）知，命题成立。
[答案]见证明过程
例36是否存在常数C，使得不等式+≤C≤+，对任意正数x,y恒成立？
试证明你的结论。
【巧解】分析法
令x=y=1，得≤C≤，所以C=。
下面给出证明：
（1）先证明：
+≤，因为x>0,y>0,要证：
+≤，只要证
3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y）,即证：
x2+yy≥2xy,这显然成立，
∴+≤；
（2）再证：
+≥，只需证：
3x（2x+y）+3y（x+2y）≥2（x+2y）（2x+y）,
即证：
x2+y2≥2xy,这显然成立，∴+≥。
综合
（1）、
（2）得，存在常数C=，使对于任何正数x,y都有+≤≤+成立。
[答案]存在常数C=,证明略.
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