高中数学不等式解题漫谈.docx

1、高中数学不等式解题漫谈高中数学不等式解题漫谈一、活用倒数法则 巧作不等变换不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab0,则ab与1.分析：当a1时，原不等式等价于：1-a,即 1,1-a0, ; 当0a1时，原不等式等价于 01- a,1-a1, 0a0, 0, 从而1-a, 同号，由倒数法则，得1x1时,x(,+)；当0a1时，x(1,).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。二、小小等号也有大作为绝对值不等式的应用绝对值不等式：|a|-|b|ab|a

2、|+|b|。这里a,b既可以表示向量，也可以表示实数。当a,b表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a与b共线；当a,b表示实数时，有两种情形：（1）当ab0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=|a|-|b|;(2)当ab0时，|a+b|=|a|-|b|, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。如：若1logba B、| logab+logba|2 C、(logba)2|logab+logba|分析：由已知，得0ba)得x0(大于大的);再由(同)得x0与x0与得0x2;由x1与得

3、-1x1.这样所得的不等式的解集为(0,1).（3）双或不等式组的解集合成 形如的不等式组称为“双或”型不等式组（实际上包括多个“或”型不等式组成的不等式组也在此列），这是解不等式组中的一个难点。解决这类不等式组时常借用数轴来确定，但学生在求解时总会出现一些错误。这里介绍一种不通过数轴的直接方法：“抓两头 看中间”！如：,先比较a,b,c,d四个数的大小，如abcd,则其解集中必含有xd（即抓两头）；再看xb与xc的交集，若有公共部分，则bx0)是将分式化为整式，体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解:求证：（1）a2+b2+c2ab+bc+ac;(2) +a+b+c. (a,b,c0)

4、（析：（1）由a22ab-b2得b22bc-c2 ,c22ac-a2,三式相加整理即得；（2）2a-b同样可得另两式，再将三式相加整理即得）。(3)ab()2 ;利用不等关系实现两数和与两数积的互化； (4) ;(a,b0)利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化；注：涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分常见的问题，利用、两式可以使其中的关系一目了然。从解题分析上看，对解题有很好的导向作用。(5)若a,bR+，则+(当且仅当=时取等号); 此式在解题中的主要作用表现在：从左向右看是“通分”（不是真正的通分）或“合并”，化多项为一项，项数多了总不是好事；从右向左看，是“

5、分解”或“拆项”，实现“一分为二”的变形策略。这在解不等式相关问题中就很有作为！请看下例：例：已知-1a1,-1b0); +(a1,a2,an0)(6) ax+by.(柯西不等式)此不等式将和(差)式与平方和式之间实现了沟通,灵活应用此式可以很方便地解决许多问题.如下例:例: 使关于x的不等式+k有解的实数k的取值范围是【 】A - B C + D 分析:所求k的范围可以转化为求不等式左边的最大值即可,由柯西不等式得 +=.k,k的最大值是.填D.五、不等式中解题方法的类比应用1、三种基本方法：比较法、分析法、综合法。其中比较法可分为作差比较法和作商比较法，不仅在不等式的证明和大小比较中有广泛

6、的应用，同时在其他方面也有很大的作用。如分析法就是一种重要的思维方法，在数学的其他章节中也有广泛的应用。2、放缩法：是不等式证明中一种十分常用的方法，它所涉及的理论简单，思维简单，应用灵活，因而在解题时有着十分重要的应用。如果能灵活应用放缩法，就可以达到以简驭繁的效果。活题巧解例1若1logba B | logab+logba |2 C (logba)2|logab+logba|【巧解】特例法、排除法由已知，可令a=，b=，则logab=log231,0logba=log321,于是A、B、C均正确，而D两边相等，故选D。答案 D。例2 不等式组的解集为【 】 (A) (0,)； (B) (,

7、2)； (C) (,4)； (D) (2,4)。【巧解】 排除法令x=3,符合，舍A、B；令x=2,合题，舍D，选C。答案 C。例3 已知y=f(x)是定义在R上的单调函数，实数x1x2，-1=,=，若|f(x1)-f(x2)|f()-f()|，则【 】 A0 B=0 C. 01 D1【巧解】 等价转化法显然0,=, 、分别是以x1,x2为横坐标的点所确定的线段以和为定比的两个分点的横坐标.由题意知，分点应在线段两端的延长线上，所以0,故选A。【答案】A。例4 0a2 （B）| log(1+a)(1-a)| log(1-a)(1+a) |（C）| log(1+a)(1-a)+log(1-a)(

8、1+a)| log(1+a)(1-a)|-|log(1-a)(1+a)|【巧解】换元法、综合法由于四个选项中只涉及两个式子log(1+a)(1-a) 和log(1-a)(1+a)，为了简化运算看清问题的本质，不妨设x= log(1+a)(1-a),y= log(1-a)(1+a),由0a1知，x0,y2 B |x|y| C |x+y| |x|+|y| D |x-y| |x|-|y|这样选A就是极自然的事了。()x答案 A。例5已知实数 a，b满足等式()a=()b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0图中平行于x轴的三条虚线),由图象可以看到：当0m1时,0b1时,ab0.所以不可能

9、成立的有两个，选B。答案 B。例6 如果数列an是各项都大于0的等差数列，且公差d0，则【 】.（A）a1+a8a4+a5 （D）a1a8=a4a5【巧解】特例法、排除法取an=n,则a1=1, a4=4, a5=5, a8=8,a1 +a8=a4+a5,故选B。x答案 B。例7 条件甲：x2+y24,条件乙：x2+y22x,那么甲是乙的【 】A、 充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件【巧解】数形结合法画示意图如图。圆面x2+y22x（包括圆周）被另一个圆面x2+y24包含，结论不是一目了然了吗？答案 B例8 已知a,b,c均为正实数，则三个数a+,

10、b+, c+与2的关系是【 】A、都不小于2 B、至少有一个不小于2 C、都不大于2 D、至少有一个不大于2【巧解】整体化思想将a+, b+, c+“化整为零”，得a+b+c+= a+b+c+6，故已知的三个数中至少有一个不小于2。故选B。答案 B例9 解不等式 11.【巧解】数轴标根法、等价转化法原不等式等价于 （3x+x2-4)(3x-x2+4)0,由数轴标根法，知解集为x|x-4或-1x4。答案 x|x-4或-1x4注：可以证明不等式mn与不等式f(x)-mg(x)f(x)-ng(x)0，不等式x+|x-2c|1的解集是R，求c的取值范围。【巧解】等价转化法要使原不等式的解集为R，只需不

11、等式中不含x即可，故有 x-x+2c1 c。答案 c注：这里将|x-2c|中去绝对值的讨论简化为符合题意的一种，显然简捷、精彩！例12已知f(x)=(x-a)(x-b)-2 (ab),方程 f(x)=0的两实根为m,nn(mn),试确定a,b,m,n的大小关系。【巧解】数形结合法令g(x)= (x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2,由f(x)=0得g(x)=2,因此f(x)=0的两根m,n可看成直线y=2与y=g(x)交点的横坐标，画出f(x),g(x)的图象，由图象容易得到mabn.答案 mabn.例13 若0abcd,且a2+d2=b2+c2,求证：a+db+c.【巧解】综合法由

12、0abcc-b,(d-a)2(b-c)2,又(a+d)2+(a-d)2=(b+c)2+(b-c)2,两式相减，得(a+d)2(b+c)2, a+dBD,则ACAD.例14 求征：1+2- (n2,nN*).【巧解】逆用公式法、放缩法逆用数列的前n项和的方法来求。设想右端2-是某数列an的前n项和，即令Sn=2-,则n2时，an=Sn-Sn-1=(2-)-(2-)=-=, 这样问题就转化为bc,求证：+0.【巧解】放缩法0a-b,而0, +, 原式得证。答案 见证明过程例16 已知a,b,c均为正数，求证：3( - )2( - )。【巧解】比较法、基本不等式法 左边-右边=2+c-3=+c-33

13、-3=0，原式成立。答案 见证明过程例17 已知-1a1, -1b1,求证：+.【巧解】构造法、综合法由无穷等比数列（|q|sin(cos).【巧解】单调性法 、放缩法cos+sin=sin(+)，cos -sin,又0，cos0,1, -sin-1,， sin(cos)b0,c=2,求证：f(a)+f(c)1.【巧解】基本不等式法、放缩法可以证明f(x)在(0,+)上是增函数。 c=22=2=0, c，f(c)f()，而f(a)+f(c)f(a)+f()=+=+=1.答案 见证明过程例21 若关于x的不等式x2+2ax-2b+10与不等式-x2+(a-3)x+b2-10有相同的非空解集，求a

14、,b的值。【巧解】等价转化法,数形结合法将y= x2+2ax-2b+1与 y=-x2+(a-3)x+b2-1两式相加，得 2y=(3a-3)x+b2-2b,此即为直线MN的方程（其中M、N分别为两函数图象与x轴的两个交点）；另一方面，由题意知，MN即x轴，其方程为y=0,比较两式的系数得，3a-3=0,b2-2b=0,从而易得a=1,b=0或2，特别地当a=1,b=0时，两不等式的解集为-1，也符合题意。答案 a=1,b=0或2。例22设定义在-2,2上的偶函数在区间0,2上单调递减，若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围。【巧解】等价转化法解：f(x) 是偶函数，f(-x)=f(x)=f

15、(|x|), f(1-m)f(m)等价于f(|1-m|)|m|且-21-m2且-2m2解得 -1m。答案 -1m.注：本题应用了偶函数的一个简单的性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，值得关注。例23解不等式：0,即0,化简得 x(3x+5)0, x(-,)(0,+)。答案 x(-,)(0,+)。例24 已知x,y,z均是正数，且x+y+z=1,求证：+。【巧解】配凑法、升幂法不等式两边配上，再运用均值不等式升幂。（你知道为什么要配 吗？）+ + + =2， 原式成立。答案 见证明过程例25 设a,b,c为ABC的三条边，求证：a2+b2+c2c,b+ca,c+ab,三式两边分别乘以c,a,b

16、得ac+bcc2,ab+aca2,bc+abb2,三式相加并整理得, a2+b2+c20.【巧解】构造法,综合法原不等式等价于()3+5()x3+5x,构造函数f(x)= x3+5x,则原不等式即为f()f(x)，又f(x)在R上是增函数，x,解此不等式得 x-2或-1x1。答案 x| x-2或-1x1.例27已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),x-1,1,求证：|f(x)|的最大值M.【巧解】反证法假设M,则|f(x)|恒成立，-f(x),即-x2+ax+b,令x=0,1,-1,分别代入上式，得 -b，-1-a+b, -1+a+b,由+得-bbc0,求证：|m|1.【巧解】综合法设

17、方程的另一根为n,则由韦达定理得m+n=- 0, m,n同为负数， 1|m+n|=|m|+|n|, |m|1,|n|0),设方程f(x)=x的两实根为x1和x2，如果x12x2-1.b【巧解】 数形结合法设g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,由题意得,即,目标是证明-1,即2.如图作出约束条件下的平面区域（不含边界），而表示区域内的点(a,b)与坐标原点连线的斜率，易见b0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于P(x0,0),证明：- x0.【巧解】数形结合法、等价转化法记Q(x,y)是椭圆上的任一点，则 |PQ|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+b2

18、(1-),x-a,a,得二次函数，f(x)= (x-x0)2+b2-x02且由|PA|=|PB|,知 f(xA)=f(xB),即f(x)在-a,a上不单调，由二次函数最小值的唯一性知 ax0a,变形即得所求。答案 见证明过程例35 已知a,b,cR,f(x)=ax2+bx+c.若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值是2，最小值是-。证明：a0且|0,y0,要证： + ，只要证 3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2x+y)(x+2y),即证：x2+yy2xy,这显然成立， +；（2）再证：+，只需证：3x(2x+y)+3y(x+2y)2(x+2y)(2x+y),即证：x2+y22xy,这显然成立，+。综合（1）、（2）得，存在常数C=，使对于任何正数x,y都有+成立。答案 存在常数C=,证明略.