A．p>0且q<0B．p>0且q>0
C．p<0且q>0D．p<0且q<0
答案 D
解析 由已知得f（0）<0，－
>0，解得q<0，p<0.
3．下列图中图象对应的函数可用二分法确定出零点的是（ ）
答案 B
4．若y＝ax2＋bx＋c（a<0）中，两个零点x1<0，x2>0，且x1＋x2>0，则（ ）
A．b>0，c>0B．b>0，c<0
C．b<0，c>0D．b<0，c<0
答案 A
解析 由已知可得f（0）>0，即c>0，－
>0，b>0.
5．函数f（x）＝2x＋2x－6的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 ∵f
（1）<0，f
（2）>0，且f（x）单调递增，
∴f（x）只有唯一零点在区间（1,2）内．
二、填空题
6．函数y＝x3－x的零点是________．
答案 1,0，－1
7．某商店将原价2640元的彩电以9折售出后仍可获利20%，则该种彩电每台的进价为________元．
答案 1980
8．函数y＝x2与函数y＝xlnx在（0，＋∞）上增长较快的一个是________．
答案 y＝x2
三、解答题
9．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x－0.4）元成反比例．又当x＝0.65元时，y＝0.8.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？
[收益＝用电量×（实际电价－成本价）]
解
（1）∵y与x－0.4成反比例，
∴设y＝
（k≠0）．
把x＝0.65，y＝0.8代入上式，
得0.8＝
，∴k＝0.2.
∴y＝
＝
.
即y与x之间的函数关系式为y＝
.
（2）根据题意，得
·（x－0.3）
＝1×（0.8－0.3）×（1＋20%）．
整理，得x2－1.1x＋0.3＝0.解得x1＝0.5，x2＝0.6.
经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．
因x的取值范围是0.55～0.75之间，故x＝0.5不符合题意，应舍去．
所以，取x＝0.6.
答 当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
10．已知函数f（x）＝x－ln（x＋2），证明：
函数f（x）在[e－2－2，e4－2]内至少有两个零点．
证明 f（e－2－2）＝e－2>0，f（e4－2）＝e4－6>0.
f（0）＝－ln2<0，又函数f（x）＝x－ln（x＋2）在[e－2－2，e4－2]内的图象是连续的，所以函数f（x）在[e－2－2，e4－2]内至少有两个零点．章末检测
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若函数y＝f（x）在区间（－2,2）上的图象是连续不断的曲线，且方程f（x）＝0在（－2,2）上仅有一个实数根，则f（－1）·f
（1）的值（ ）
A．大于0B．小于0
C．无法判断D．等于零
答案 C
解析 由题意不能断定零点在区间（－1,1）内部还是外部．
2．函数f（x）＝x2－3x－4的零点是（ ）
A．（1，－4）B．（4，－1）
C．1，－4D．4，－1
答案 D
解析 由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.
3．下列给出的四个函数f（x）的图象中能使函数y＝f（x）－1没有零点的是（ ）
答案 C
解析 把y=f（x）的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．
4．方程x3＋3x－3＝0的解在区间（ ）
A．（0,1）内B．（1,2）内
C．（2,3）内D．以上均不对
答案 A
解析 将函数y1＝x3和y2＝3－3x的图象在同一坐标系中画出，可知方程的解在（0,1）内．
5．已知f（x）、g（x）均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f（x）＝g（x）有实数解的区间是（ ）
x
－1
0
1
2
3
f（x）
－0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g（x）
－0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A.（－1,0）B．（0,1）
C．（1,2）D．（2,3）
答案 B
解析 令φ（x）＝f（x）－g（x），φ（0）＝f（0）－g（0）<0.
φ
（1）＝f
（1）－g
（1）>0
且f（x），g（x）均为[－1,3]上连续不断的曲线，
所以φ（x）的图象．
在[－1,3]上也连续不断，因此选B.
6．某人从甲地去乙地，一开始跑步前进，后来步行，图中横轴表示走的时间，纵轴表示此人距乙地的距离，则较符合该人走法的图是（ ）
答案 D
解析 此人距乙地越来越近，故排除A、C，又先跑后步行，因而开始时速率变化大，故选D.
7．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2008年的湖水量为m，从2008起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝0.9
B．y＝（1－0.1
）m
C．y＝0.9
·mD．y＝（1－0.150x）m
答案 C
解析 设湖水量每年为上一年的q%，则（q%）50＝0.9，所以q%＝0.9
，即x年后湖水量为y＝0.9
·m.
8．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机的价格平均每次降低的百分率是（ ）
A．10%B．15%C．18%D．20%
答案 D
9．若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（2,16），（2,8），（2,4）内，那么下列命题中正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间（2,3）内有零点
B．函数f（x）在区间（2,3）或（3,4）内有零点
C．函数f（x）在（3,16）内无零点
D．函数f（x）在区间（4,16）内无零点
答案 D
10．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：
每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水（ ）
A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨
答案 D
解析 设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.
则水费y＝16＋2×2（x－8）＝4x－16＝20，∴x＝9.
11．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f（m）＝1.06×（0.50×[m]＋1）给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数（如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6）．则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为（ ）
A．3.71B．3.97C．4.24D．4.77
答案 C
解析 ∵[5.5]＝6，
∴f（5.5）＝1.06×（0.50×6＋1）＝4.24.
12．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：
一种是即时价格曲线y＝f（x），另一种是平均价格曲线y＝g（x），如f
（2）＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g
（2）＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f（x），虚线表示y＝g（x），其中可能正确的是（ ）
答案 C
解析 A选项中即时价格越来越小时，而平均价格在增加，故不对；而B选项中即时价格在下降，而平均价格不变化，不正确．D选项中平均价格不可能越来越高，排除D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是________．
答案 －
和－
解析 2和3是方程x2－ax－b＝0的两根，
所以a＝5，b＝－6，
∴g（x）＝－6x2－5x－1.
令g（x）＝0得x1＝－
，x2＝－
.
14．若一元二次方程f（x）＝ax2＋bx＋c＝0（a>0）的两根x1、x2满足m”、“＝”或“<”）
答案 <
解析 ∵a>0，∴f（x）的图象开口向上，
∴f（m）>0，f（n）<0，f（p）>0，∴f（m）·f（n）·f（p）<0.
15．下表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高h米处落下，弹跳高度d与下落高度h的关系.
h（米）
50
80
100
150
…
d（米）
25
40
50
75
…
写出一个能表示这种关系的式子为________．
答案 d＝
16．我国股市中对股票的股份实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票连续四个交易中日前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是________．
答案 跌了1.99%
解析 （1＋10%）2·（1－10%）2＝0.9801，
而0.9801－1＝－0.0199，即跌了1.99%.
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．（12分）用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解（精确度0.1）．
解 f（0）＝－5，f
（1）＝－1，f
（2）＝9，f（3）＝31.
所以f（x）在区间（1,2）内存在零点x0.
区间
中点m
f（m）的符号
区间长度
（1,2）
1.5
＋
1
（1,1.5）
1.25
＋
0.5
（1,1.25）
1.125
－
0.25
（1.125,1.25）
1.1875
＋
0.125
（1.125,1.1875）
0.0625
∵|1.875－1.125|＝0.0625<0.1，
∴x0可取为1.125（不唯一）．
18．（12分）某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，将汽车离开A地的路程x（km）表示为时间t（h）（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再将车速v（km/h）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图象．
解 汽车离开A地的距离与时间t（h）之间的关系为
x＝
它的图象如图甲．
车速v（km/h）与时间t（h）的函数关系式为
v＝
它的图象如图乙．
19．（12分）若方程x2－ax＋2＝0有且仅有一个根在区间（0,3）内，求a的取值范围．
解 令f（x）＝x2－ax＋2，则方程x2－ax＋2＝0有且仅有一个根在区间（0,3）内⇔
或f（0）·f（3）<0⇔a＝2
或a>
.
20．（12分）已知函数f（x）＝x－1＋
x2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f（x）有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间（各区间长度不超过1）．
解
由f（x）=0，得x-1=-_x2+2，令y1=x-1，y2=-_x2+2，
分别画出它们的图象如图，其中抛物线顶点为（0,2），
与x轴交于点（-2,0）、（2,0），y1与y2的图象有3个交点，从而函数y=f（x）有3个零点．
由f（x）的解析式知x≠0，f（x）的图象在（-∞，0）和（0，+∞）上分别是连续不断的曲线，
且f（-3）=
>0，f（-2）=
<0，
f
=
>0，f
（1）=
<0，f
（2）=
>0，
即f（－3）·f（－2）<0，f
·f
（1）<0，f
（1）·f
（2）<0，
∴三个零点分别在区间（－3，－2）、
、（1,2）内．
21．（12分）
某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图所示）．
（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元．试用销售单价x表示利润S；并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？
最大毛利润是多少？
此时的销售量是多少？
解
（1）由图象知，当x＝600时，y＝400；
当x＝700时，y＝300，
代入y＝kx＋b中，得
，
解得
.
∴y＝－x＋1000（500≤x≤800）．
（2）销售总价＝销售单价×销售量＝xy，
成本总价＝成本单价×销售量＝500y，
代入求毛利润的公式，得
S＝xy－500y＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000）
＝－x2＋1500x－500000
＝－（x－750）2＋62500（500≤x≤800）．
∴当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．
22．（14分）某农产品从5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该农产品种植成本Q（单位：
元/102kg）与上市时间t（时间：
天）的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝abt，Q＝alogbt；
（2）利用你选取的函数，求该农产品种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．
解
（1）由表中提供的数据知道，描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝abt，Q＝alogbt中的任一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，应选取二次函数Q＝at2＋bt＋c（a≠0，当a＝0时，为单调函数）进行描述．
将表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c，
得到：
.
解上述方程组得a＝
，b＝－
，c＝
，
所以，描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝
t2－
t＋
.
（2）当t＝－
＝150（天）时，该农产品种植成本最低为Q＝
×1502－
×150＋
＝100（元/102kg）．
所以，该农产品种植成本最低时的上市时间为150天，最低种植成本为100元/102kg.
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