5第五节二次函数图象的平移旋转翻折与解析式的确定.docx

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5第五节二次函数图象的平移旋转翻折与解析式的确定

第三章　函数

第五节　二次函数图象的平移、旋转、翻折与解析式的确定

（建议时间：

45分钟）

基础过关

1.（2019哈尔滨）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）

A.y＝2（x＋2）2＋3B.y＝2（x－2）2＋3

C.y＝2（x－2）2－3D.y＝2（x＋2）2－3

2.（2019百色）抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（　　）

A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位

B.先向左平移6个单位，再向上平移7个单位

C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位

D.先向右平移3个单位，再向上平移2个单位

3.（2019绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x＋5）（x－3）经变换后得到抛物线y＝（x＋3）（x－5），则这个变换可以是（　　）

A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位

C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位

4.（2019陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋（2m－1）x＋2m－4与y＝x2－（3m＋n）x＋n关于y轴对称，则符合条件的m、n的值为（　　）

A.m＝

，n＝－

B.m＝5，n＝－6

C.m＝－1，n＝6D.m＝1，n＝－2

5.（2018牡丹江）将抛物线y＝x2＋2x＋3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是（　　）

A.（0，3）或（－2，3）B.（－3，0）或（1，0）

C.（3，3）或（－1，3）D.（－3，3）或（1，3）

6.（2019淄博）将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（　　）

A.a>3B.a<3C.a>5D.a<5

7.将二次函数y＝2x2＋bx＋c沿x轴翻折，得到新函数的顶点为P，绕点P将新函数旋转180°，得到二次函数y＝ax2－8x＋5，则a、b、c的取值分别是（　　）

A.2，－8，11B.2，－8，5

C.－2，－8，11D.－2，－8，5

8.（2018玉林改编）如图，一段抛物线y＝－x2＋4（－2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t＝x1＋x2＋x3，则t的最大值只能是（　　）

A.9B.10C.13D.12

第8题图

9.（2019资阳）如图是函数y＝x2－2x－3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m）.将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（　　）

A.m≥1B.m≤0

C.0≤m≤1D.m≥1或m≤0

第9题图

10.（2019江西逆袭卷）把抛物线y＝－x2向上平移1个单位，那么所得抛物线与x轴两个交点之间的距离是　　　　.

11.（2019凉山州改编）将抛物线y＝（x－3）2－2向左平移　　　　个单位后恰好经过点A（2，2）.

12.（2019徐州）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为　　　　　　.

能力提升

1.（2019福建）若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象过不同的五点A（m，n），B（0，y1），C（3－m，n），D（

，y2），E（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A.y1＜y2＜y3B.y1＜y3＜y2

C.y3＜y2＜y1D.y2＜y3＜y1

2.（2019德阳）对于二次函数y＝x2－6x＋a，在下列几种说法中：

①当x＜2时，y随x的增大而减小；②若函数的图象与x轴有交点，则a≥9；③若a＝8，则二次函数y＝x2－6x＋a（2＜x＜4）的图象在x轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标原点旋转180°，则旋转后的函数图象的顶点坐标为（－3，9－a）.其中正确的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

3.（2019玉林）已知抛物线C：

y＝

（x－1）2－1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（　　）

A.±4

B.±2

C.－2或2

D.－4或4

第3题图

满分冲关

1.（2019大连）定义：

将函数C1：

y＝ax2－2ax－3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°得到函数C2，称函数C2是函数C1关于P（m，0）的相关函数.函数C2的图象的对称轴与x轴交于点（t，0）.

（1）填空：

t的值为　　　　；

（2）若a＝－1，当

≤x≤t时，C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1－y2＝1，求函数C2的解析式；

（3）当m＝0时，C2交x轴于A，B两点（A点在B点的右侧），交y轴于点D.将线段AD绕点O逆时针旋转90°得到线段A′D′，若C2与线段A′D′有交点，求a的取值范围.

2.（2019广州）已知抛物线G：

y＝mx2－2mx－3有最低点.

（1）求二次函数y＝mx2－2mx－3的最小值（用含m的式子表示）；

（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1，经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）记

（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围.

参考答案

第五节　二次函数图象的平移、旋转、翻折与解析式的确定

基础过关

1.B　【解析】将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2x2＋3，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x－2）2＋3.

2.A　【解析】抛物线y＝x2＋6x＋7经变形为y＝（x＋3）2－2，故可由抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到．

3.B　【解析】∵y＝（x＋5）（x－3）＝（x＋1）2－16，顶点坐标为（－1，－16），变换后的抛物线为y＝（x＋3）（x－5）＝（x－1）2－16，顶点坐标为（1，－16），∴点（－1，－16）到点（1，－16）相当于将原抛物线向右平移2个单位，故选B.

4.D　【解析】∵y＝x2＋（2m－1）x＋2m－4与y＝x2－（3m＋n）x＋n关于y轴对称，∴

，解得

.

5.D　【解析】∵抛物线y＝x2＋2x＋3向下平移，∴原解析式中的二次项系数和一次项系数都不变，故可设平移后的解析式为y＝x2＋2x＋c，又∵抛物线y＝x2＋2x＋3上的点（0，3）沿y轴向下平移3个单位长度后的对应点为（0，0），故c＝0，∴平移后的解析式为y＝x2＋2x，当y＝3时，即x2＋2x＝3，解得x＝－3，或x＝1，∴交点坐标为（－3，3）或（1，3）．

6.D　【解析】二次函数y＝x2－4x＋a＝（x－2）2＋a－4，图象向左平移1个单位，变为y＝（x－1）2＋a－4，再向上平移1个单位，变为y＝（x－1）2＋a－3，若得到的函数图象与y＝2有两个交点，∴顶点纵坐标a－3＜2，解得a<5.

7.A　【解析】∵二次函数y＝2x2＋bx＋c关于x轴对称的图象，再绕图象的顶点旋转180度，所得抛物线与抛物线y＝2x2＋bx＋c的开口方向相同，∴a＝2，∴y＝2x2－8x＋5＝2（x－2）2－3，即抛物线y＝ax2－8x＋5的顶点坐标为（2，－3），而点（2，－3）关于x轴的对称点的坐标为（2，3），∴原抛物线的解析式为y＝2（x－2）2＋3＝2x2－8x＋11，∴b＝－8，c＝11.

8.D　【解析】令C1：

y＝－x2＋4＝0，解得x＝－2或x＝2，∴A0（－2，0），A1（2，0），∵将C1绕点A1旋转180°得到C2，∴C2的解析式为y＝（x－4）2－4，∴D2（4，－4），对称轴为直线x＝

＝4，则x1＋x2＝8，∵x1，x2，x3均为正数，∴点P3（x3，y3）在线段A1D2上，∴2≤x3≤4，∴10≤x1＋x2＋x3≤12，即10≤t≤12，t最大只能是12.

9.C　【解析】当x＝4时，y＝5，抛物线配方成y＝（x－1）2－4，顶点的坐标为（1，－4），当m＝0时，函数的最大值是0，最小值是－5，∴m≥0，当m＝1时，函数的最大值是1，最小值是－4，∴m的取值范围是0≤m≤1，故选C.

10.2

11.3　【解析】设抛物线向左平移m个单位，则平移后的解析式为y＝（x－3＋m）2－2，将点A（2，2）代入，有2＝（2－3＋m）2－2，解得m1＝－1（舍去），m2＝3，∴m＝3.

12.y＝

x2－4x＋8　【解析】设顶点为（0，0）的二次函数的表达式为y＝ax2，将（2，2）代入，解得a＝

，则二次函数的表达式为y＝

x2，易知，图象向右平移4个单位后再次经过点P，由二次函数平移性质得，向右平移4个单位，即得到抛物线的表达式为y＝

（x－4）2＝

x2－4x＋8.

能力提升

1.D　【解析】∵抛物线y＝|a|x2＋bx＋c，|a|＞0，∴抛物线的开口向上，∵A（m，n），C（3－m，n），∴对称轴是直线x＝

，∵0＜

＜

＜2，|

－

|＜|2－

|＜|0－

|，∴y2＜y3＜y1，故选D.

2.C　【解析】原二次函数可化为y＝（x－3）2＋a－9，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝3.①当x<2时，y随x的增大而减小，正确；②若函数的图象与x轴有交点，则a－9≤0，即a≤9，错误；③当a＝8时，函数化为y＝（x－3）2－1，令y＝（x－3）2－1＝0，解得x1＝2，x2＝4，则交点分别为（2，0）和（4，0），∴当2

3.A　【解析】如解图①，当向右平移m个单位时，∵抛物线C的顶点D的坐标为（1，－1），∴抛物线C1的顶点坐标为（1＋m，－1），过点Q作QP⊥DD1于点P，则由抛物线对称性可知，QD＝QD1，DP＝D1P.∵∠DQD1＝60°，∴△DQD1是等边三角形，∴DP＝

，QP＝

m，∴点Q的坐标为（1＋

，

m－1）．∵点Q在抛物线C上，∴

（1＋

－1）2－1＝

m－1，解得m＝4

或m＝0（舍）；同理如解图②，当抛物线C向左平移m个单位时，点Q的坐标为（1－

，

m－1），∴

（1－

－1）2－1＝

m－1，解得m＝4

.综上所述，m的值为±4

.

图①图②

第3题解图

满分冲关

1.解：

（1）2m－1

【解法提示】C1：

y＝ax2－2ax－3a＝a（x－1）2－4a，顶点（1，－4a）绕点P（m，0）旋转180°的对应顶点为（2m－1，4a），∴C2：

y＝－a（x－2m＋1）2＋4a，函数图象的对称轴为直线x＝2m－1，即t＝2m－1.

（2）当a＝－1时，

C1：

y＝－（x－1）2＋4，

①当

≤x≤t＜1时，

x＝

时，有最小值y2＝

，

x＝t时，有最大值y1＝－（t－1）2＋4，

则y1－y2＝－（t－1）2＋4－

＝1，无解；

②当1≤t≤

时，

x＝1时，有最大值y1＝4，

x＝

时，有最小值y2＝

，

y1－y2＝

≠1（不符合题意，舍去）；

③当t>

时，

x＝1时，有最大值y1＝4，

x＝t时，有最小值y2＝－（t－1）2＋4，

∴y1－y2＝（t－1）2＝1，

解得t＝0（不符合题意，舍去）或t＝2，

∴C2：

y＝（x－2）2－4＝x2－4x；

（3）当m＝0时，C2：

y＝－a（x＋1）2＋4a，如解图，A（1，0）、B（－3，0）、D（0，3a）、A′（0，1）、D′（－3a，0），

第1题解图

当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，

当C2过点A′时，y＝－a（0＋1）2＋4a＝1，解得a＝

，

当C2过点D′时，同理可得a＝1或a＝－

（不符合题意，舍去），

故0＜a≤

或a≥1；

当a＜0时，

当C2过点D′时，－3a＝1，解得a＝－

，a＝1（舍），

故a≤－

；

综上所述，a的取值范围为0＜a≤

或a≥1或a≤－

.

2.解：

（1）y＝mx2－2mx－3＝m（x－1）2－m－3.

∵抛物线G有最低点，∴m＞0，

∴当x＝1时，y取最小值，最小值为－m－3；

（2）由

（1）得抛物线G顶点坐标为（1，－m－3），

∵抛物线G向右平移m个单位得到G1，

∴G1顶点坐标为（1＋m，－m－3）．

则顶点横坐标x，纵坐标y有

，

则可得m＝x－1，将其代入y＝－m－3，

得y＝－（x－1）－3＝－x－2.

∵m＞0，∴x＝1＋m＞1.

即函数关系式为y＝－x－2（x>1）；

（3）解法一：

∵抛物线G：

y＝mx2－2mx－3，

∴抛物线G恒过定点（0，－3），

∵对称轴为直线x＝－

＝1，

∴抛物线G也恒过定点（2，－3）．

如解图，当x＝1时，抛物线G过点M（1，－m－3），

第2题解图

对于函数H：

y＝－x－2（x＞1），当x＝1时y＝－3，设点P1（1，－3），

∵－3＞－m－3，∴点P1在M上方．

当x＝2时，抛物线G过点N（2，－3），

函数H：

y＝－x－2过点P2（2，－4），

∵－4＜－3，∴点P2在N下方．

∴抛物线G与函数H的交点P在线段P1P2上（不包括端点），

∴交点P的纵坐标yp的取值范围为－4＜yp＜－3.

解法二：

对于抛物线G：

y＝mx2－2mx－3，

y＝（x2－2x）m－3＝x（x－2）m－3，

∴当x＝0或x＝2时，

无论m为何值，y总为－3，

∴抛物线G恒过定点（0，－3）和（2，－3）．

下同解法一．