测量误差.docx

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测量误差

教学要点

一、教学内容

（1）测量误差产生的原因、分类及特性；

（2）衡量测量精度的标准；

（3）合理地处理含有误差的观测成果，求出最可靠值；

（4）误差传播率。

二、重点和难点

（1）重点算术平均值、观测值中误差、算术平均值中误差及相对中误差的计算；

（2）难点误差传播率。

三、教学要求

（1）了解测量误差产生的原因，误差的分类与处理原则，偶然误差的特性；

（2）掌握测量精度的评定，观测值中误差、算术平均值中误差及相对中误差的计算，算术平均值的计算，误差传播率及其应用。

四、教学方法

多媒体课件教学。

五、作业

1．说明测量误差产生的原因，在测量中如何对待粗差。

2．什么是系统误差？

什么是偶然误差？

偶然误差有什么重要的特性？

3．用等精度对16个独立的三角形进行观测，其三角形闭合差分别为+4″，+16″，-14″，+10″，+9″，+2″，-15″，+8″，+3″，-22″，-13″，+4″，-5″，+24″，-7″，-4″，试计算其观测精度。

4．用钢尺丈量AB两点间距离，共量六次，观测值分别为：

187.337m、187.342m、187.332m、187.339m、187.344m及187.338m，求算术平均值D，观测值中误差m、算术平均值中误差M及相对中误差mK。

5．在ΔABC中，C点不易到达，测得∠A＝74°32′15″±20″，∠B＝42°38′50″±30″，求∠C值及中误差。

6．在一直线上依次有A、B、C三点，用钢尺丈量得AB＝87.245m±10mm，BC＝125.347m±15mm，求AC的长度及中误差，在这三段距离中，哪一段的精度高？

7．DJ6型光学经纬仪一测回的方向中误差m＝±6″，求用该仪器观测角度，一测回的测角中误差是多少？

如果要求某角度算术平均值的中误差M＝±5″，用这种仪器需要观测几个测回？

8．沿一倾斜平面量得AB两点的倾斜距离L＝25.000m，量距中误差mL＝±5mm，AB两点的高差h＝2.42m，中误差mh＝±50mm，用勾股定理可求得AB两点的水平距离D，求D值及中误差MD是多少？

第一节测量误差概述

一、测量误差产生的原因

1．测量仪器和工具

由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差存在所引起的误差。

2．观测者

由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。

3．外界条件的影响

外界条件的变化所引起的误差。

人、仪器和外界条件是引起测量误差的主要因素，通常称为观测条件。

观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。

在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。

粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。

二、测量误差的分类

误差按其特性可分为系统误差和偶然误差两大类。

1．系统误差

在相同观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大，但它具有一定的规律性，一般可采用以下两种方法消除或减弱其影响。

（1）进行计算改正

（2）选择适当的观测方法

2．偶然误差

在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。

在观测中，系统误差和偶然误差往往是同时产生的。

当系统误差设法消除或减弱后，决定观测精度的关键是偶然误差。

所以本章讨论的测量误差，仅指偶然误差。

三、偶然误差的特性

偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性。

例如，对一个三角形的三个内角进行测量，三角形各内角之和l不等于其真值180˚。

用X表示真值，则l与X的差值Δ称为真误差（即偶然误差），即

Δ=（5-1）

现在相同的观测条件下观测了217个三角形，按式（5-1）计算出217个内角和观测值的真误差。

再按绝对值大小，分区间统计相应的误差个数，列入表5-1中。

表5-1偶然误差的统计

误差区间

正误差个数

负误差个数

总计

0″～3″

3″～6″

6″～9″

9″～12″

12″～15″

15″～18″

18″～21″

21″～24″

24″～27″

27″以上

30

21

15

14

12

8

5

2

1

0

29

20

18

16

10

8

6

2

0

0

59

41

33

30

22

16

11

4

1

0

合计

107

110

217

从表5-1可以看出：

（1）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差个数多；

（2）绝对值相等的正负误差的个数大致相等；

（3）最大误差不超过27″。

通过长期对大量测量数据分析和统计计算，人们总结出了偶然误差的四个特性：

（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；

（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；

（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；

（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数n的无限增大而趋于零，即

（5-2）

式中——偶然误差的代数和，。

上述第四个特性是由第三个特性导出的，说明偶然误差具有抵偿性。

第二节衡量精度的标准

在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。

一、中误差

设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复观测，其观测值为l1，l2、…，ln，相应的真误差为Δ1，Δ2，…，Δn。

则观测值的中误差m为：

（5-3）

式中——真误差的平方和，。

例5-1设有1、2两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：

甲组：

+3″，-2″，-4″，+2″，0″，-4″，+3″，+2″，-3″，-1″；

乙组：

0″，-1″，-7″，+2″，+1″，+1″，-8″，0″，+3″，-1″；

试计算1、2两组各自的观测精度。

解根据式（5-8）计算1、2两组观测值的中误差为：

=±2.7″

=±3.6″

比较m1和m2可知，1组的观测精度比2组高。

中误差所代表的是某一组观测值的精度，而不是这组观测中某一次的观测精度。

二、相对中误差

中误差是绝对误差。

在距离丈量中，中误差不能准确地反映出观测值的精度。

例如丈量两段距离，D1＝100m，m1＝±1cm和D2＝300m，m2＝±1cm，虽然两者中误差相等，m1＝m2，显然，不能认为这两段距离丈量精度是相同的，这时应采用相对中误差mK来作为衡量精度的标准。

相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比，并化为分子为1的分数，即

（5-4）

在上面所举例中：

前者的精度比后者高。

三、极限误差

在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。

通常将2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许值，即

或

如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。

第三节观测值的算术平均值

一、算术平均值

在相同的观测条件下，对某量进行多次重复观测，根据偶然误差特性，可取其算术平均值作为最终观测结果。

设对某量进行了n次等精度观测，观测值分别为l1，l2，…，ln，其算术平均值为：

（5-5）

设观测量的真值为X，观测值为li，则观测值的真误差为：

（5-6）

将式（5-6）内各式两边相加，并除以n，得

将式（5-5）代入上式，并移项，得

根据偶然误差的特性，当观测次数n无限增大时，则有

那么同时可得

（5-7）

由式（5-7）可知，当观测次数n无限增大时，算术平均值趋近于真值。

但在实际测量工作中，观测次数总是有限的，因此，算术平均值较观测值更接近于真值。

我们将最接近于真值的算术平均值称为最或然值或最可靠值。

二、观测值改正数

观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测值改正数，用v表示。

当观测次数为n时，有

（5-8）

将式（5-8）内各式两边相加，得

将代入上式，得

（5-9）

观测值改正数的重要特性，即对于等精度观测，观测值改正数的总和为零。

三、由观测值改正数计算观测值中误差

按式（5-3）计算中误差时，需要知道观测值的真误差，但在测量中，我们常常无法求得观测值的真误差。

一般用观测值改正数来计算观测值的中误差。

由真误差与观测值改正数的定义可知：

（5-10）

（5-11）

由式（5-10）和式（5-11）相加，整理后得：

（5-12）

将式（5-12）内各式两边同时平方并相加，得

（5-13）

因为，令，代入（5-13），得

（5-14）

式（5-14）两边再除以，得

（5-15）

又因为，所以

故

=

由于为真误差，所以也具有偶然误差的特性。

当n→∞时，则有

所以

（5-16）

将式（5-15）代入式（5-16），得

（5-17）

又由式（5-3）知，代入式（5-17），得

整理后，得

（5-18）

这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式。

四、算术平均值的中误差

算术平均值L的中误差M，按下式计算

（5-19）

例5-2某一段距离共丈量了六次，结果如表5-2所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。

表5-2

测次

观测值/m

观测值改正数v/mm

vv

计算

1

148.643

＋15

225

2

148.590

－38

1444

3

148.610

－18

324

4

148.624

－4

16

5

148.654

＋26

676

6

148.647

＋19

361

平均值

148.628

3046

第四节误差传播律

在测量工作中，有些未知量往往不能直接测得，而需要由其它的直接观测值按一定的函数关系计算出来。

由于独立观测值存在误差，导致其函数也必然存在误差，这种关系称为误差传播。

阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播律。

一、线性函数的中误差

设线性函数

（5-20）

式中k1、k2——常数；

x、y——独立直接观测值。

设独立直接观测值x、y相应的中误差为mx、my，函数Z的中误差为mZ。

当观测值x、y中分别含有真误差∆x、∆y时，函数Z产生真误差∆z，即

（5-21）

式（5-20）减式（5-21），得

设对x、y各独立观测了n次，则有

…

取上式两端平方和，并除以n，得

从偶然误差的特性可知，当n→∞时，趋近于零。

所以，上式可变为

根据中误差的定义，得

或（5-22）

当Z是一组观测值x1、x2、……、xn的线性函数时，即

根据上面的推导方法，可求得Z的中误差为

（5-23）

由式（5-13）可推知和差函数与倍数函数的中误差。

（1）对于和差函数Z＝±x±y，有

（5-24）

如果mx＋my＝m，则

当Z是n个独立观测值的代数和时，即

可推得

（5-25）

如果m1＝m2＝…＝mn＝m，则

（5-26）

（2）对于倍数函数Z＝kx，有

（5-27）

例5-3设对某量进行了n次等精度观测，其观测值分别为l1、l2、…、ln，每一观测值的中误差为m，算术平均值为L，求算术平均值的中误差M。

解算术平均值为

由式（5-13）得：

所以

例5