版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 51 对数函数的概念 52 对数函数y.docx

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版高中数学第三章指数函数和对数函数51对数函数的概念52对数函数y

5．1　对数函数的概念5．2　对数函数y＝log2x的图像和性质

学习目标

　1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．

知识点一　对数函数的概念

思考　已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？

梳理　一般地，我们把_______________________________________________________

叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____________．a叫作对数函数的底数．

特别地，称以10为底的对数函数y＝lgx为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y＝lnx为自然对数函数．

知识点二　对数函数的图像与性质

思考　y＝logax化为指数式是x＝ay，你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？

梳理　类似地，我们可以借助指数函数图像和性质得到对数函数图像和性质：

a>1

0

图像

性质

（1）定义域：

（0，＋∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1,0），即x＝1时，y＝0

（4）当x>1时，y>0，

0

（4）当x>1时，y<0，

00

（5）是（0，＋∞）上的增函数

（5）是（0，＋∞）上的减函数

类型一　对数函数的概念

例1　已知对数函数y＝f（x）过点（4,2），求f

及f（2lg2）．

反思与感悟　对数函数必须是形如y＝logax（a＞0，且a≠1）的形式，即必须满足以下条件：

（1）系数为1.

（2）底数为大于0且不等于1的常数．

（3）对数的真数仅有自变量x.

跟踪训练1　判断下列函数是不是对数函数？

并说明理由．

（1）y＝logax2（a＞0，且a≠1）；

（2）y＝log2x－1；

（3）y＝logxa（x＞0，且x≠1）；

（4）y＝log5x.

类型二　对数函数的定义域的应用

例2　求下列函数的定义域．

（1）y＝loga（3－x）＋loga（3＋x）；

（2）y＝log2（16－4x）．

引申探究

1．若把例2

（1）中的函数改为y＝loga（x－3）＋loga（x＋3），求定义域．

2．求函数y＝loga[（x＋3）（x－3）]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？

反思与感悟　求含对数式的函数定义域的关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．

跟踪训练2　求下列函数的定义域．

（1）y＝

；

（2）y＝log（x＋1）（16－4x）；

（3）y＝log（3x－1）（2x＋3）．

类型三　对数函数单调性的应用

例3　比较下列各组数中两个值的大小．

（1）log23.4，log28.5；

（2）log0.31.8，log0.32.7；

（3）loga5.1，loga5.9（a>0，且a≠1）．

反思与感悟　比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22

跟踪训练3　设a＝log3π，b＝log2

，c＝log3

，则（　　）

A．a＞b＞cB．a＞c＞b

C．b＞a＞cD．b＞c＞a

例4　函数f（x）＝log2（3x＋1）的值域为________．

反思与感悟　在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y＝logaf（x）型函数的值域必先求定义域，进而确定f（x）的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf（x）的取值范围．

跟踪训练4　函数y＝

的值域为（　　）

A．（0,3）B．[0,3]

C．（－∞，3]D．[0，＋∞）

类型四　对数函数的图像

例5　画出函数y＝lg|x－1|的图像．

反思与感悟　现在画图像很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．

跟踪训练5　画出函数y＝|lg（x－1）|的图像．

例6　函数f（x）＝4＋loga（x－1）（a>0，a≠1）的图像过一个定点，则这个定点的坐标是__________．

反思与感悟　y＝f（x）

y＝f（x＋a），y＝f（x）

y＝f（x）＋b.对具体函数（如对数函数）仍然适用．

跟踪训练6　已知函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a>0，a≠1）的图像如图，则下列结论成立的是（　　）

A．a>1，c>1

B．a>1,0

C．01

D．0

1．下列函数为对数函数的是（　　）

A．y＝logax＋1（a＞0且a≠1）

B．y＝loga（2x）（a＞0且a≠1）

C．y＝log（a－1）x（a＞1且a≠2）

D．y＝2logax（a＞0且a≠1）

2．函数y＝log2（x－2）的定义域是（　　）

A．（0，＋∞）B．（1，＋∞）

C．（2，＋∞）D．[4，＋∞）

3．函数f（x）＝log0.2（2x＋1）的值域为（　　）

A．（0，＋∞）B．（－∞，0）

C．[0，＋∞）D．（－∞，0]

4.函数y＝logax的图像如图所示，则a的值可以是（　　）

A．0.5B．2

C．eD．π

5．若函数f（x）＝2loga（2－x）＋3（a>0，且a≠1）过定点P，则点P的坐标是__________．

1．含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数．

判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax（a>0，且a≠1）的形式．如：

y＝2log2x，y＝log5

都不是对数函数，可称其为对数型函数．

2．研究y＝logaf（x）的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质．

3．研究与对数函数图像有关的问题，以对数函数图像为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈（0，＋∞）都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈（0，＋∞）．

梳理　函数y＝logax（a>0，a≠1）　（0，＋∞）

知识点二

思考　当a＞1时，若0＜x1＜x2，则ay1＜ay2，解指数不等式，得y1＜y2从而y＝logax在（0，＋∞）上为增函数．

当0＜a＜1时，同理可得y＝logax在（0，＋∞）上为减函数．

题型探究

例1　解　设y＝logax（a＞0，且a≠1），

则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，

因此f

＝log2

＝－1，

f（2lg2）＝log22lg2＝lg2.

跟踪训练1　解　∵

（1）中真数不是自变量x，∴不是对数函数；

∵

（2）中对数式后减1，∴不是对数函数；

∵（3）中底数是自变量x，而非常数a，

∴不是对数函数．

（4）为对数函数．

例2　解　

（1）由

得－3

∴函数的定义域是{x|－3

（2）由16－4x>0，得4x<16＝42，

由指数函数的单调性得x<2，

∴函数y＝log2（16－4x）的定义域为{x|x<2}．

引申探究

1．解　由

得x>3.

∴函数y＝loga（x－3）＋loga（x＋3）的定义域为{x|x>3}．

2．解　（x＋3）（x－3）>0，

即

或

解得x<－3或x>3.

∴函数y＝loga[（x＋3）（x－3）]的定义域为{x|x<－3或x>3}．

相比引申探究1，函数y＝loga[（x＋3）（x－3）]的定义域多了（－∞，－3）这个区间，原因是对于y＝loga[（x＋3）·（x－3）]，要使对数有意义，只需（x＋3）与（x－3）同号，而对于y＝loga（x－3）＋loga（x＋3），要使对数有意义，必须（x－3）与（x＋3）同时大于0.

跟踪训练2　解　

（1）要使函数有意义，需

即

即－3

故所求函数的定义域为（－3，－2）∪[2，＋∞）．

（2）要使函数有意义，需

即

所以－1

故所求函数的定义域为{x|－1

（3）要使函数有意义，需

即

所以x>

且x≠

，

故所求函数的定义域为

∪

.

例3　解　

（1）考察对数函数y＝log2x，

因为它的底数2>1，

所以它在（0，＋∞）上是增函数，

又3.4＜8.5，

于是log23.4

（2）考察对数函数y＝log0.3x，

因为它的底数0<0.3<1，

所以它在（0，＋∞）上是减函数，

又1.8＜2.7，

于是log0.31.8>log0.32.7.

（3）当a>1时，y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，

又5.1＜5.9，

于是loga5.1

当0

又5.1＜5.9，

于是loga5.1>loga5.9.

综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.

跟踪训练3　A　[∵a＝log3π＞1，

b＝

log23，

则

＜b＜1，c＝

log32＜

，

∴a＞b＞c.]

例4　（0，＋∞）

解析　f（x）的定义域为R.

∵3x>0，∴3x＋1>1.

∵y＝log2x在（0，＋∞）上递增，

∴log2（3x＋1）>log21＝0，

即f（x）的值域为（0，＋∞）．

跟踪训练4　D　[∵当x<－1时，

0<3x<3－1＝

，

当x≥1时，log2x≥log21＝0，

∴函数的值域为

∪[0，＋∞）＝[0，＋∞）．]

例5　解　

（1）先画出函数y＝lgx的图像（如图）．

（2）再画出函数y＝lg|x|的图像（如图）．

（3）最后画出函数y＝lg|x－1|的图像（如图）．

跟踪训练5　解　

（1）先画出函数y＝lgx的图像（如图）．

（2）再画出函数y＝lg（x－1）的图像（如图）．

（3）再画出函数y＝|lg（x－1）|的图像（如图）．

例6　（2,4）

解析　因为函数y＝loga（x－1）的图像过定点（2,0），所以函数f（x）＝4＋loga（x－1）的图像过定点（2,4）．

跟踪训练6　D　[由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0

当堂训练

1．C　2.C　3.B

4．A　[∵函数y＝logax的图像单调递减，∴0＜a＜1，只有选项A符合题意．]

5．（1,3）

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