数据分析观念上曹培英解读.docx
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数据分析观念上曹培英解读
跨越断层，走出误区：
《数学课程标准》核心词的实践解读之五
上海市静安区教育学院 曹培英
随着社会信息化程度的日益提高，人们每天都要面对来自网络、新闻媒体等渠道的各种数据信息，我们的日常生活、学习与工作都比过去更加依赖形形色色的数据信息。
因此，统计知识的习得与数据分析观念的形成，已成为当今社会每一位公民不可或缺的基本素养。
正是在这一社会发展的大背景下，我国1998年颁布的本科专业目录中，统计学上升为与数学、物理学、化学等学科并列的一级学科，表明国家对统计学的重视与重新定位。
2001 年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将原来的“统计初步知识”拓展为“统计与概率”，成为小学数学课程内容重新归并后的四个学习领域之一，并提出了发展学生统计观念的培养目标。
在此基础上，《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》进一步将“统计观念”修改为“数据分析观念”。
一、“统计观念”与“数据分析观念”
从名词本身看，“统计观念”涵盖“数据分析观念”，前者更概括，后者更具体。
从统计学科的研究内容看，统计学是一门收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。
由此可以认为，“数据分析是统计的核心”，将“统计观念”修改为“数据分析观念”，突显了统计的研究对象。
从教学工作现状看，有研究显示：
针对“您认为小学统计学习中，最重要的是什么?
”以及“您如何定位小学统计课程?
”两访谈问题，“我们的小学数学教师都从统计的应用、统计图表、统计活动的视角出发，阐述自己的观点，然而对‘数据分析’和‘随机观念’却没有人提及”1。
这与笔者近年来有关工作中的感受与评估基本一致。
可见，将“统计观念”表述为“数据分析观念”，在一定程度上，有利于教师更深入地理解、把握“统计观念”的实质。
从名词的界定看，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：
“统计观念主要表现在：
能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。
”
这段话包含三层意思。
首先是“统计思考”，其次是“统计过程及其认识”，再次是“对统计过程、方法、结果的反思”。
“统计思考”是就统计观念的总体而言，它的具体内容由后两层意思分述。
明显的缺失是没有提及“随机性”。
《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：
“数据分析观念包括：
了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
”
这段话也包含三层意思。
对照比较：
首先，修改后去掉了较为空洞的“统计思考”；然后，对统计观念的两个具体内容作了较大的调整；最后，增补了“体验随机性”的学习要求。
具体地说：
关于“统计过程及其认识”，修改后将“决策”降低为“作出判断”，并强 调“数据蕴含信息”。
这比较符合小学数学的教学实际。
关于“对统计过程、方法、结果的反思”，淡化了“质疑”，强调了方法的“多样”与“合适”，也涵盖了统计的问题解决。
考虑到当前社会上忽悠人的虚假数据、不实信息较多，笔者以为，保留“质疑”较妥。
而且实践表明，在使小学生“了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适方法”的同时，“能对数据的来源、处理、结果进行合理的质疑”，也是可行的。
关于“体验随机性”，这一增补不仅十分必要，而且相当具体地从两方面刻画了随机性的涵义与体验途径，浅显地、呼之欲出地渗透了偶然与必然的关系。
二、“统计”与“概率”
1.关于统计
自统计与概率成为小学数学课程内容的学习领域之一以来，有关统计的内容一直处于与随机性无关的状态。
似乎只有在教学“可能性”时，才涉及随机现象。
尽管长期以来，在统计学领域内，存在不同学派，且争论不断，但统计学与概率论的结合，早已成为必然的发展趋势。
很难想象，离开了概率论，今天的统计还能走多远。
因为从采集数据开始，就会遇到不确定因素，就要对其影响加以估计。
正如已故中科院院士陈希孺先生所言：
“统计学是有关收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术”。
2
为什么极其现实的不确定因素、随机性误差，却始终与小学数学的统计教学绝缘呢？
恐怕主要原因还在于我们自身的认知偏差。
如，充分考虑学生的接受能力，小学的统计对象只能都是确定性的，这样才能保证统计表、统计图、统计量有唯一的标准答案。
又如，教材编排都是先学统计，再学可能性，没讲可能性，怎么渗透随机性呢，随机性只能在抛硬币、摸球、转盘等实验中才能体现。
其实不然。
以“统计全班每个同学最喜欢吃的水果”为例。
这一统计题材，因其适合低年级学生的年龄特点，并比较容易让学生经历统计的全过程，而受到各地教师的青睐。
一次观摩课，例题也是“最喜欢吃的水果”。
与众不同的是，同一问题统计了两次，第一次由教师组织，第二次请学生代替老师主持，相当于巩固练习。
不料，第二次统计结果：
最喜欢吃苹果的比第一次少了1人，香蕉则多了1人。
有学生“检举”，是同桌两次举手变了造成的。
教师回应：
要认真参加统计，两次举手不能变，否则统计结果就不准确了。
评课时，大家都认为执教老师将两次统计出现的误差，视为课堂上的生成性教育资源，利用得当。
从学科德育角度讲，抓住偶发事件，进行一丝不苟的教育，也是数学精神的一种体现。
但从培养数据分析观念角度看，又值得商榷。
事实上，学生很可能因为苹果、香蕉都喜欢，导致前后不一，这本是正常现象，也是调查统计时常有的事。
如果教师允许学生改变自己的选择，岂不就能让学生看到真实的一幕“同样的事情每次收集到的数据可能不同”。
学科德育的契机经常有，数据随机性的自然表现倒是比较难得。
如果说上面的实例可遇不可求，那么有些数据的随机误差是可以“设计”、预期的。
例如平均数的计算问题：
让学生用他们自己的尺测量课桌的长、宽，量4次，算出平均数。
也可以小组合作，每人量一次，算出小组测量值的平均数。
由于“学生尺”刻度有限，测量课桌的长、宽，都需连续接着量几次，精确到厘米，也很容易出现误差。
通过练习，既能让小学生感知测量误差，又能初步掌握解决测量误差的一般方法。
类似的易于感知数据随机性的统计问题还有不少，如：
一小盒葡萄干有多少粒？
一口气能屏多长时间？
一分钟脉搏跳动多少下？
等等。
原来数据的随机性离我们的课堂教学并不遥远，“预设”与“生成”都有可能使它落脚在小学生的最近发展区内。
积累诸如此类的实践经验，自然就会有信心，从开始教学统计起，就有意识地、不失时机地渗透随机性。
历史地看，统计学是一门相当古老的科学。
一般认为，它的学理研究始于古希腊亚里士多德时代，迄今已有2300多年的历史。
而概率论，从“赌金分配问题”解决算起，至今还不到400年。
也就是说，不依靠概率论的“古典统计学”有近2000年的历史。
但是，自统计学接纳了概率论之后，就再也离不开它了。
即便是社会统计学，也在介绍、应用概率知识。
因为人们一旦认识了随机现象，放眼看去，原来日常生活中不确定性事物，远多于确定性事物。
这与算术与代数的关系不同。
从算术发展到代数之后，算术不仅是学习代数的基础，而且在日常生活中仍然占据不可替代的地位。
因为日常生活所需，绝大多数是算术运算。
因此，不应片面地类比算术与代数，以为小学的统计与概率，统计还是原来的、古典的统计，只是最后再学一点概率（可能性）。
虽然小学数学还是只讲描述统计，不讲推断统计、随机变量，但可以也应该渗透随机性，并容忍不确定性的存在。
2.关于概率
（1）学生认知基础的研究。
早在上世纪80年代，我国心理学研究者就对儿童掌握概率概念作了实验研究，结论之一：
“儿童的概率概念随年龄而发展，10岁左右起，简单概率概念发展加速，这也许是易于传授概率知识的时期。
” 3
前不久，笔者根据小学五年级教材中有关可能性大小的主要内容，编制五道试题，给270名还没有学习可能性知识的四年级学生做，以了解学生的起始状态。
①抛一枚硬币，结果是（ ）。
（正确率92.2%）
A.正面朝上的可能性大 B.反面朝上的可能性大
C.正面、反面朝上的可能性相等 D.无法判断
②掷一个正方体骰子，结果是（ ）。
（正确率89.6%）
A.1点朝上的可能性大 B.2点朝上的可能性大 C.3点朝上的可能性大
D.4点朝上的可能性大 E.5点朝上的可能性大 F.6点朝上的可能性大
G.每面朝上的可能性相等 H.无法判断
③抛长方体骰子，结果是（ ）。
（正确率85.5%）
A面积大朝上的可能性大 B.面积小朝上的可能性大
C.每面朝上的可能性相等 D.无法判断
④袋里有10个球，3个黑色，7个白色。
这些球摸不出区别，摸出来才知道是白、是黑。
任意摸出一个球，摸出黑色球的可能性大，还是摸出白色球的可能性大？
为什么?
（正确率98.5%）
⑤袋里有6个球，3个黑色，3个白色。
这些球摸不出区别，摸出来才知道是白、是黑。
任意摸出一个球，摸出黑色球的可能性大，还是摸出白色球的可能性大？
为什么?
（正确率92.6%）
有81.6%的学生全对。
看来，生活已经先于学校，使多数孩子获得了一些关于可能性的感性认识。
作出错误选择、判断或解释的学生，原因多种多样。
如第②题，错误选择以选B、D为多，显然是受插图中2点朝上、4点在正面的影响。
试测时已经发现插图容易生成干扰因素，但因为出现了学生极少见到的长方体骰子，所以只好配图。
两道摸球题去掉了试测时的插图，实测时又冒出了其他误解。
如第⑤题，两色球数相等，错误率明显高于同题材的第④题，其中有学生以为“黑球先放进袋子，在下面，所以白色球摸到的可能性大”，显然是受题目叙述黑球在前、白球在后的影响。
那么，是否增加“摇晃均匀再摸”，会消除叙述顺序的影响呢？
不见得，因为有学生陈述的理由是“黑球会沉底”，由此生成两种截然相反的判断：
“白球浮在面上容易摸到”；“摸的人喜欢摸底，摸到黑球可能性大”。
可见，年龄又决定了孩子必然存在形形色色的天真想法。
很明显，如果加深试题内涵，可以提高测试的区分度，但势必加大阅读难度，并出现更多的误解，从而降低测试的效度与信度。
一位五年级老师看到第②题的测试结果非常感慨。
她说，好不容易按照教材组织学生开展实验，结果只有一半左右的学生认为每个点数朝上的可能性相等，教还不如不教。
这里不讨论实验目的定位在“发现等可能性”是否恰当，实验方式可以如何改进，综合以上事实只想说明：
有关可能性大小的知识，在小学的教学空间比较有限；至少在目前，教与不教差别不大的现象在所难免。
要想杜绝孩子匪夷所思的误解，明智的教学抉择之一就是“让孩子长大”。
随着年龄的增长，幼稚的想法自然会减少。
（2）教师知识现状的调研。
新一轮课改启动之初，笔者连续两年的调研发现，概率统计是数学教师本体性知识盲点集中的内容之一。
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之后的其他有关研究，也从不同角度相继得出类似结论。
新近还有小学统计教学现状的研究称“发现课堂教学中仍存在着教学目标定位偏差、教学活动设计割裂、教学活动组织浅表、教学活动评价盲目等问题。
究其原因主要是：
教师自身由于统计知识的不足以及相关培训的不力，对统计教材的解读能力与价值认识还不够”。
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确实，目前针对小学数学教师的概率统计知识培训，效果不够理想。
甚至有教师反映，越学越“糊涂”。
教师培训跟不上，课堂教学改进就难免盲目，陷入误区。
（3）理论支撑的现状。
相关培训不力的现状，既有实践问题，也有理论支撑问题。
多年来，我们如饥似渴地从课程论、教学论、教师发展论中寻觅理论支撑，却忘了解决技术层面的问题还需数学、哲学层面的支撑。
有教师反映，本体性知识的测试题令人摸不着头脑，举了几个例子：
简答题：
一个硬币抛2次与2个硬币抛1次，出现两个正面都朝上的可能性是否相等。
判断题：
下面的陈述是否正确，在括号里填“√”或“×”。
①可能性等于1的事件不一定是必然事件。
（ ）
②可能性等于0的事件不一定是不可能事件。
（ ）
简答题类似国外用来研究等可能性偏见的“标准问题”6。
认为可能性相等的理由是，两个样本空间都是｛正正，正反，反正，反反｝，出现两个正面都朝上的可能性都是。
认为可能性不等的理由是，2个硬币抛1次的样本空间中，“正反”、“反正”是一个元素，出现两个正面都朝上的可能性是 。
对此，比较容易说服持偏见者：
把两个硬币看作标了号或涂了色，则两个抛1次不就和一个抛2次一样了。
深入了解发现，教师误解的主要原因并非“等可能性偏见”，而是对随机事件的独立性认识不足。
两道判断题对于连续型随机变量的几何概率来说，都是正确的陈述。
概率产生于现实，经过数学的抽象处理重新“翻译”客观现象时，却背离了人们的直观感觉，本没有什么可大惊小怪的。
但对于现实的问题解决而言，大可不必如此抽象。
比如：
任意时刻看钟，分针指向某个点，点是没有大小的，所以几何概率等于0；但从实际讲，分针指向某个点，必定会有投影面的宽度，或者根据需要，给“瞬间”设定一个时间值，就能使几何概率等于一个适当小的正数。
考虑到小学数学教学的特殊性，更多地依靠联系生活实际促进学生理解，这势必影响小学教师的认知。
基于教师的实际需要，我们的培训应该侧重什么？
是抽象的理论，还是联系实际的应用，两者如何适当兼顾，值得研究。
事实上，施训者内部存在不同看法并不奇怪，概率论本身也有争议。
举例说，古典概率、几何概率的概念都少不了所有可能事件等可能性的假设，这就包含着一个逻辑循环：
概率以“等概率”为前提。
概率的频率定义克服了“循环”，且有大数定律保证重复实验次数 时，频率与概率偏差较大的可能性趋近于0，但该定义意味着概率是事件序列的性质，它难以回答对单个事件是否可使用概率的问题，而人们的工作和科研，大多需要在这一意义上使用它。
概率的公理化定义避开了这些矛盾。
但它没有提供概率的算法，而且越是抽象、严谨的定义，其解释也越容易各持己见。
因此，怎样协调理论与实际的关系，规避“先验”与“后验”之类的争论，自圆其说、深入浅出地选择、组织、处理培训内容，以充实、更新小学数学教师必须储备的“一桶水”，还需要有理论支撑的培训改进实践。
综上，现阶段适当精简小学阶段有关可能性的课程内容，降低教学要求是适宜的、可取的。
三、数据分析观念内涵的解读
既然统计与概率教学改革的路径，基于实际状况，不在于增加知识内容，那么，确立统摄全局的核心“数据分析观念”，作为教材处理及教学实施的聚焦点，就更显必要。
与其他核心词类似，课程标准关于数据分析观念的界定，侧重学习行为表现的描述。
进而还有必要揭示，行为表现背后的内涵究竟是什么？
1. 知识技能层面的内涵
首先，在知识技能层面上，数据分析观念的形成，有赖于统计过程的经历，主要是：
数据收集、数据整理描述、数据分析判断。
脱离了这一基础，观念就成了无本之木。
这一层面，是大家所熟知的。
国内外有关学生数据分析观念（统计观念）发展水平的研究，所构建的研究框架，基本上可以归结为：
数据收集＋数据整理、描述＋数据分析判断＋认识随机性
以往的教学经验、教训告诉我们，学生即使经历了统计的全过程，如果缺失“思想”，充其量只是扎实了统计的“双基”，并不能自动转化、升华为数据分析观念。
那么，除了随机思想，驾驭统计过程、方法的内在思想观点还有什么呢？
2. 思想观点层面的内涵
进一步，在思想观点层面上，数据分析观念的实质是三个相互紧密相连的思想：
整体思想、随机思想、相对思想。
所谓整体思想，是指无论是统计，还是概率，都需要从总体上加以观察、研究、把握。
在这过程中，自然而然将更多地依靠归纳思维，而不是演绎思维。
整体思想贯穿了统计的始终，因为统计的根本任务就是通过样本来描述、推断总体，所以从数据收集开始，就要考虑样本能否能够较好地代表、反映总体。
所谓随机思想，“课标2011年版”在数据分析观念的界定中，已有两个方面的描述，这里不再重复。
总的来说，就是认识不确定性的普遍存在，承认例外，知道可以透过偶然发现必然。
所谓相对思想，主要是指统计与人们的认识一样，无论多么科学、合理，都受到条件的制约，具有近似、相对的性质。
从评价角度通俗地说：
统计方法没有简单意义上的对与错，只有“好”和“不好”7。
显然，这里的统计方法也涵盖了统计结果。
此外，事物总是处在发展、变异过程中，因此统计具有时效性。
用发展的眼光，看待运动、变化的事物，也是相对思想的题中之义。
这三个“思想”，也可以说是统计的三个特性，即整体性、随机性、相对性。
它们对小学生来说，只是启蒙，只要求初步感知，但其价值不容低估。
特别是随机思想的感知，一方面，它是学生从“确定性数学”进入“随机性数学”的重要铺垫、台阶；另一方面，随着量子力学等科学前沿理论的日益普及，随机思想将成为人们不可或缺的基本素养。
这些思想相互渗透、三位一体。
在教学实施中，可以有所侧重，更宜整体落实。
例如，让学生用自己的尺测量课桌的长（精确到厘米），4个同学的测量结果（单位：
厘米）是：
119，120，120，121。
经过小组讨论，形成共识：
课桌长在119至121厘米之间，最有可能是120厘米，因为平均数是120厘米，而且有两个同学测得120厘米。
这样的小组汇报理所当然获得教师的表扬，同学的掌声。
这一测量活动使学生在课堂上，亲临了比较原始的随机环境。
他们不仅自己生成了随机数据，计算了平均数，还自发地通过数据的总体观察，用上了“极差”与“众数”。
学生并不知道这两个名词，但他们能用通俗的语言，如“测量结果的范围”、“出现次数最多的厘米数”等等来表达。
由此得出的多样性结论，是对数据的领悟与整体把握。
又如，布置学生每人准备3种花色的扑克牌各一张，实验时反面朝上，洗牌，铺开在桌上，任意抽取一张，举手统计：
8 17 15
8 17 15
11 12 17
19 29 32
8 17 15
11 12 17
19 15 6
38 44 38
……
第一次 → 第二次 → 第三次 → ……
学生惊奇地发现，每一次的统计数据都不同，随着数据的累加，3种花色抽到的总数呈现接近的趋势。
同样是等可能事件，这里，将实验器具改为扑克牌，避免了硬币、骰子抛掷高度、落点难以控制等麻烦。
同时着眼于课堂效率，将“先小组统计、再全班汇总”的“时髦”统计方式，改为全班举手统计。
更为重要的，逐次累加，让学生看到了数据波动的变化状况，从而有利于学生感悟足够多的数据蕴含着统计规律。
3. 价值观层面的内涵
再提升到价值观层面，数据分析观念的灵魂无疑是实事求是的科学精神。
具体说来，包括调查研究的意识，对数据的来源、处理、结果进行合理质疑的意识，以及尊重事实的态度，用数据说话的习惯。
教学永远具有教育性，科学精神是小学数学教学不应忽视的教育内涵。
统计与概率自身的特点，决定了它在培养学生的科学精神方面，具有得天独厚的有利因素。
举一个反例：
常态调研听课，进行到抛硬币实验，第一个汇报结果的学生说，我抛了10次，5次正面朝上，受到教师的表扬。
于是，接着发言的学生，抛的次数都是偶数，且一半正面朝上。
可能是有人旁听的缘故，教师没有干预，最后小结道：
“今天小朋友们的运气真好”。
数据收集→整理、描述→分析判断
整体观、随机观、相对观
求实精神
数据允许有误差，但必须真实。
人为编造数据，统计便失去了意义。
渗透诚信教育，从小教育孩子不造假，也是统计教学应当守住的底线。
统计的方法与结果可以放宽评价尺度，但在统计的科学精神上，对与错依然是分明的。
为求直观，三个层面的内涵粗略图示如右。
这里，分解是为了讨论、叙述、图示的方便，内涵之间，都是“水乳交融”的，应当视为一个有机的整体。
以上关于数据分析观念内涵的阐述，作为课程标准界定的补充与展开，大致对应了课程的三维目标，以便于教学实践参照。
［参 考 文 献］
[1] 赵迪.小学数学统计课程教学内容研究[D].吉林：
东北师范大学,2008（5）.
[2] 陈希孺．机会的数学[M]．北京：
清华大学出版社，2000．60．
[3] 张增杰等.5～15岁儿童掌握概率概念的实验研究—儿童认知发展研究（Ⅱ）[J].心理科学，1985（6）.
[4] 曹培英.小学数学教师本体性知识的缺失及其对策研究[J].课程.教材.教法，2006（6）.
[5] 范燕. 小学数学统计教学的问题与策略研究[D].上海：
华东师范大学,2012（4）.
[6] 李俊. 中小学概率的教与学 [M].上海：
华东师范大学,2002．11.
[7] 史宁中等.“数据分析观念”的内涵及教学建议[J].课程.教材.教法，2008（6）.
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