圆与相似三角函数结合一.docx

圆与相似三角函数结合一.docx

《圆与相似三角函数结合一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆与相似三角函数结合一.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

圆与相似三角函数结合一

圆与相似、三角函数结合

（一）

1、垂径定理：

2、圆心角、圆周角：

3、切线：

4、元幂定理：

5、平行线分线段成比例：

6、相似三角形性质：

7、相似三角形判定：

知识点一圆与角平分线结合

【知识梳理】

如图1：

AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：

（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。

（2）如图2，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（如图3，弓形BCE的半弦EF）。

（3）如图（4）：

若CK⊥AB于K，则：

①CK=CD；BK=DE；CK=

BE=DC；AE+AB=2AK=2AD；

（4）在

（1）中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD于E时（如图5），则：

①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG=

DG2=DC2

【例题精讲】

例1、如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E。

（1）求证：

AC平分∠DAB；

（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；

（3）如图2，连接OD交AC于点G，若

，求

的值。

例2、△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧

=

，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.

（1）求证：

CD为⊙O的切线；

（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求

的值。

【课堂练习】

1、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F。

（1）求证：

⊙O与AC相切；

（2）若EF=2，BC=4，求BC：

AC的值。

2、如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，，过D作AE的垂线，F为垂足。

（1）求证：

DF为⊙O的切线；

（2）若DF=3，⊙O的半径为5，求

的值.

例3、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE。

（1）求证：

AC平分∠DAB；

（2）求证：

△PCF是等腰三角形；

（3）若AC：

BC=4:

3，BE=7

，求线段PC的长。

【课堂练习】

如图，△ABG中，∠ABG=90°，以AB为直径作⊙O交AG于D点，D是弧BC的中点，过D作AC的垂线，垂足为E，ED的延长线交BG于F。

（1）求证：

BF=GF；

（2）连BC交AG于H，若2BG=3CH，求tan

的值。

知识点二圆与双切线结合

【知识梳理】

如图：

Rt△ABC中，∠ACB=90°。

点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：

（1）在“BO平分∠CBA”，“BO∥DE”，“AB是⊙O的切线”，“BD=BC”中，知一推三。

（2）①G是△BCD的内心；②弧CG=弧GD；③△BCO∽△CDE，BO•DE=CO•CE=

CE2；

（3）在图

（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。

（4）如图

（2），若①BC=CE，则：

②

=

=tan∠ADE；③BC：

AC：

AB=3：

4：

5；（在①、②、

③中知一推二）

【例题精讲】

例1、如图，AB为直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP。

（1）求证：

PC为⊙O的切线。

（2）过D点作DE⊥AB，E为垂足，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF=FG，CG=3，

DE=4，求DG：

DB的值。

【课堂练习】

如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD//OC，弦DF⊥AB于点G。

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若

，⊙O的半径为5，求DF的长。

例2、如图，AB为⊙O的直径，CA、CD分别切⊙O于A、D，CO的延长线交⊙O于M，连BD、DM。

（1）求证：

BD//CM；

（2）若

，求

的值。

【课堂练习】

如图，AB为⊙O的直径，BC⊥AB，CP切⊙O与点P，连OC，交⊙O与N，交BP与E，连接AP。

（1）求证：

BN平分∠PBC；

（2）连AC交BP于M，若AB=BC=4，求tan∠PAC的值。

已知如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．过D点作⊙O的切线FG交AC于F，交AB的延长线于G，连接AD。

若AB：

BG=3：

1，FG⊥AC。

（1）求证：

AD平分∠CAB；

（2）若GD=4，求BD；

（3）求AE：

EF：

FC。

1、如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC。

（1）求证：

FB=FC；

（2）求证：

FB2=FA•FD；

（3）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长。

2、如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。

（1）求证：

AC与⊙O相切；

（2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长。

3、如图，Rt△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC于点D，弧BD与弧DE相等，过D作AE的垂线，F为垂足。

（1）求证：

DF为⊙O的切线；

（2）若DF=12，⊙O的半径为13，求EF的值。

4、已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O。

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）设⊙O交BC于点F，连接EF，若BC=9，CA=12。

求EF：

AC的值。