圆与相似三角函数结合一.docx

1、圆与相似三角函数结合一圆与相似、三角函数结合（一）1、垂径定理：2、圆心角、圆周角：3、切线：4、元幂定理：5、平行线分线段成比例：6、相似三角形性质：7、相似三角形判定：知识点一 圆与角平分线结合【知识梳理】如图 1：AB 是O 的直径，点 E、C 是O 上的两点，基本结论有：（1）在“AC 平分BAE”；“ADCD”；“DC 是O 的切线”三个论断中，知二推一。（2）如图 2，DE 等于弓形 BCE 的高；DC=AE 的弦心距 OF（如图 3，弓形 BCE 的半弦 EF）。（3）如图（4）：若 CKAB 于 K，则：CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2AK=2AD；（4

2、）在(1)中的条件、中任选两个条件，当 BGCD 于 E 时（如图 5），则：DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG=DG 2 =DC2【例题精讲】例1、如图 1，AB 为半圆的直径，O 为圆心，C 为圆弧上一点，AD 垂直于过 C 点的切线，垂足为 D，AB 的延长线交直线 CD 于点 E。（1）求证：AC 平分DAB；（2）若 AB=4，B 为 OE 的中点，CFAB，垂足为点 F，求 CF 的长；（3）如图 2，连接 OD 交 AC 于点 G，若，求的值。例2、ABP中，ABP=90，以AB为直径作O交AP于C点，弧=，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.（1

3、）求证：CD为O的切线；（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求的值。 【课堂练习】1、如图，RtABC 中，C=90，BD 平分ABC，以 AB 上一点 O 为圆心过 B、D 两点作O，O 交 AB 于点一点 E，EFAC 于点 F。（1）求证：O 与 AC 相切；（2）若 EF=2，BC=4，求BC：AC 的值。 2、如图，RtABC，以AB为直径作O交AC于点D， ，过D作AE的垂线，F为垂足。（1）求证：DF为O的切线；（2）若DF=3，O的半径为5，求的值.例3、如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，直线 DC 与 AB

4、的延长线相交于点 P，弦 CE 平分ACB，交 AB 于点 F，连接 BE。（1）求证：AC 平分DAB；（2）求证：PCF 是等腰三角形；（3）若AC：BC=4:3，BE=7，求线段 PC 的长。 【课堂练习】如图，ABG 中，ABG=90，以 AB 为直径作O 交AG 于 D 点，D是弧BC的中点 ，过 D 作 AC 的垂线，垂足为E，ED 的延长线交 BG于F。（1）求证：BF=GF；（2）连 BC 交 AG 于 H，若 2BG=3CH，求tan的值。 知识点二 圆与双切线结合【知识梳理】如图：RtABC 中，ACB=90。点 O 是 AC 上一点，以 OC 为半径作O 交 AC 于点

5、E，基本结论有：（1）在“BO 平分CBA”，“BODE”，“AB 是O 的切线”，“BD=BC”中，知一推三。（2）G 是BCD 的内心；弧CG=弧GD；BCOCDE ，BODE=COCE=CE2；（3）在图（1）中的线段 BC、CE、AE、AD 中，知二求四。（4）如图（2），若BC=CE，则：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；（在、中知一推二） 【例题精讲】例1、如图，AB 为直径，PB 为切线，点 C 在O 上，ACOP。（1）求证：PC 为O 的切线。（2）过 D 点作 DEAB，E 为垂足，交 AC 于 F，PO 交 AC 于 H，BD 交 AC 于 G，DF=FG，

6、CG=3，DE=4，求DG：DB的值。 【课堂练习】如图，AB 是O 的直径，BCAB 于点 B，连接 OC 交O 于点 E，弦 AD/OC，弦 DFAB 于点 G。（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若，O 的半径为 5，求 DF 的长。 例2、如图，AB 为O 的直径，CA、CD 分别切O 于 A、D，CO 的延长线交O 于 M，连 BD、 DM。（1）求证：BD/CM；（2）若，求的值。 【课堂练习】如图，AB 为O 的直径，BCAB，CP 切O 与点 P，连 OC，交O 与 N，交 BP 与 E，连接AP。（1）求证：BN 平分PBC；（2）连AC交BP于M，若 AB=BC=4，求

7、tanPAC的值。 已知如图， ABC 中，以 AB 为直径作 O ，交 BC 于 D ，交 AC 于 E 过 D 点作 O 的切线 FG 交 AC 于 F，交 AB 的延长线于 G ，连接 AD。若 AB：BG=3：1，FG AC。（ 1）求证： AD 平分 CAB ；（ 2）若 GD=4 ，求 BD ；（ 3）求 AE：EF：FC 。 1、如图，已知 AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ABC的外接圆于点 F，连接 FB、FC。（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FAFD；（3）若 AB 是ABC 外接圆的直径，EAC=120，BC=6

8、cm，求 AD 的长。 2、如图，已知ABC 中，以边 BC 为直径的O 与边 AB 交于点 D，点 E 为 弧 BD 的中点，AF为ABC 的角平分线，且 AFEC。（1）求证：AC 与O 相切；（2）若 AC6，BC8，求 EC 的长。 3、如图，RtABC中，以 AB 为直径作O 交 AC 于点 D，弧BD与弧DE相等，过 D 作 AE 的垂线，F 为垂足。（1）求证：DF 为O 的切线；（2）若 DF=12，O 的半径为 13，求EF的值。 4、已知：如图，在ABC 中，ACB=90，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，DEDB 交AB 于点 E，过 B、D、E 三点作O。（1）求证：AC 是O 的切线；（2）设O 交 BC于点 F，连接 EF，若 BC=9，CA=12。求EF：AC 的值。