小初高学习高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法二求空间角.docx
《小初高学习高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法二求空间角.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小初高学习高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法二求空间角.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
小初高学习高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法二求空间角
第8讲 立体几何中的向量方法
（二）——求空间角
最新考纲 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
知识梳理
1.异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β
l1与l2所成的角θ
范围
（0，π）
求法
cosβ＝
cosθ＝|cosβ|＝
2.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝
.
3.求二面角的大小
（1）如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈
，
〉.
（2）如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角（或其补角）.
诊断自测
1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.（ ）
（2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.（ ）
（3）两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.（ ）
（4）两异面直线夹角的范围是
，直线与平面所成角的范围是
，二面角的范围是[0，π].（ ）
答案
（1）×
（2）× （3）× （4）√
2.（选修2－1P104练习2改编）已知两平面的法向量分别为m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），则两平面所成的二面角为（ ）
A.45°B.135°
C.45°或135°D.90°
解析 cos〈m，n〉＝
＝
＝
，即〈m，n〉＝45°.
∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.
答案 C
3.（2014·全国Ⅱ卷）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析
建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B（0，2，0），A（2，0，0），M（1，1，2），N（1，0，2），所以
＝（1，－1，2），
＝（－1，0，2），故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝
＝
＝
.
答案 C
4.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且
＝
1，N为B1B的中点，则|
|为（ ）
A.
aB.
a
C.
aD.
a
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A（a，0，0），C1（0，a，a），N
.
设M（x，y，z），
∵点M在AC1上且
＝
1，
（x－a，y，z）＝
（－x，a－y，a－z）
∴x＝
a，y＝
，z＝
.
得M
，∴|
|＝
＝
a.
答案 A
5.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－
，则l与α所成的角为________.
解析 设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－
，∴sinθ＝|cos〈m，n〉|＝
，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
答案 30°
6.（2017·郑州预测）过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.
解析
如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，
又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.所以
＝（0，1，0），
＝
分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈
，
〉＝45°.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.
答案 45°
考点一 利用空间向量求异面直线所成的角
【例1】如图，
在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB＝2，AD＝2
，PA＝2.求：
（1）△PCD的面积.
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.
解
（1）因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，从而CD⊥PD.因为PD＝
＝2
，CD＝2，
所以△PCD的面积为
×2×2
＝2
.
（2）法一 如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角.
图1
在△AEF中，由于EF＝
，AF＝
，AE＝
PC＝2.所以AF2＋EF2＝AE2，∠AFE＝90°，
则△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝
.
因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是
.
法二 如图2，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（2，2
，0），
E（1，
，1），
＝（1,
，1），
＝（0，2
，0）.
图2
设
与
的夹角为θ，则
cosθ＝
＝
＝
，所以θ＝
.
由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是
.
规律方法
（1）利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：
①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v1，v2；③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝
求解.
（2）两异面直线所成角的范围是θ∈
，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
【训练1】（2016·上海卷）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，
长为
，
长为
，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.
（1）求三棱锥C－O1A1B1的体积；
（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小.
解
（1）连接A1B1，因为
＝
，∴∠O1A1B1＝∠A1O1B1＝
，∴△O1A1B1为正三角形，∴S△O1A1B1＝
·O1A1·O1B1·sin60°＝
.
∴VC－O1A1B1＝
·OO1·S△O1A1B1＝
×1×
＝
，
∴三棱锥C－O1A1B1的体积为
.
（2）以O为坐标原点建系如图，则A（0，1，0），A1（0，1，1），
B1
，C
.∴
＝（0，0，1），
＝（0，－1，－1），
∴cos〈
，
〉＝
＝
＝－
，
∴〈
，
〉＝
，
∴异面直线B1C与AA1所成的角为
.
考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角
【例2】（2016·全国Ⅲ卷）如图，
四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.
（1）证明MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
（1）证明 由已知得AM＝
AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝
BC＝2.
又AD∥BC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.
（2）解 取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，
从而AE⊥AD，且AE＝
＝
＝
.
以A为坐标原点，
的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
由题意知，P（0，0，4），M（0，2，0），C（
，2，0），N
，
＝（0，2，－4），
＝
，
＝
.
设n＝（x，y，z）为平面PMN的法向量，则
即
可取n＝（0，2，1）.
于是|cos〈n，
〉|＝
＝
.
所以直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为
.
规律方法 利用向量法求线面角的方法：
（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；
（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
【训练2】（2017·福州质检）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°.
（1）证明：
AB⊥B1C；
（2）若B1C＝2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.
（1）证明 连接AB1，在△ABB1中，AB＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°，
由余弦定理得，AB
＝AB2＋BB
－2AB·BB1·cos∠ABB1＝3，
∴AB1＝
，∴BB
＝AB2＋AB
，
∴AB1⊥AB.
又△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC，
∴AC⊥AB，∵AC∩AB1＝A，
∴AB⊥平面AB1C.又B1C⊂平面AB1C，
∴AB⊥B1C.
（2）解 ∵AB1＝
，AB＝AC＝1，B1C＝2，
∴B1C2＝AB
＋AC2，∴AB1⊥AC.
如图，以A为原点，以
，
，
的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（0，0，
），
B（1，0，0），C（0，1，0），
∴
＝（－1，0，
），
＝（－1，1，0）.
设平面BCB1的一个法向量为n＝（x，y，z），
由
得
令z＝1，得x＝y＝
，
∴平面BCB1的一个法向量为n＝（
，
，1）.
∵
＝
＋
＝
＋
＝（0，1，0）＋（－1，0，
）＝（－1，1，
），
∴cos〈
，n〉＝
＝
＝
，
∴AC1与平面BCB1所成角的正弦值为
.
考点三 利用空间向量求二面角（易错警示）
【例3】（2017·金丽衢十二校联考）
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.
（1）求证：
平面ABB1A1⊥平面ABC；
（2）求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；
（3）求二面角B－B1D－C的余弦值.
（1）证明 取AB中点为O，连接OD，OB1，
∵B1B＝B1A，∴OB1⊥AB.
又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，①
∴AB⊥平面B1OD，
∵OD⊂平面B1OD，∴AB⊥OD.
∵∠B1BC＝90°，即BC⊥BB1，
又OD∥BC，∴OD⊥BB1，又AB∩BB1＝B，
∴OD⊥平面ABB1A1，
又OD⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABB1A1.
（2）解 由
（1）知，OB，OD，OB1两两垂直.②
以O为坐标原点，
的方向为x轴的方向，|
|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题设知B1（0，0，
），D（0，1，0），
A（－1，0，0），C（1，2，0），C1（0，2，
）.
则
＝（0，1，－
），
＝（2，2，0），
＝（－1，0，
）.
设平面ACC1A1的一个法向量为m＝（x，y，z），则由
得
可取m＝（
，－
，1）.
∴cos〈
，m〉＝
＝
＝－
，
∴直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值为
.③
（3）解 由题设知B（1，0，0），则
升级会员 