小初高学习高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法二求空间角.docx

1、小初高学习高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法二求空间角第8讲立体几何中的向量方法(二)求空间角最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.知 识 梳 理1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角l1与l2所成的角范围(0，)求法cos cos |cos |2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin |cosa，n|.3.求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，

2、则二面角的大小_，.(2)如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，.()答案(1)(2)(3)(4)2.(选修21P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)

3、，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45 B.135C.45或135 D.90解析cosm，n，即m，n45.两平面所成二面角为45或18045135.答案C3.(2014全国卷)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D. 解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以(1，1，2)，(1，0，2)，故BM与AN所成角的余弦值cos .答案C4.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，

4、点M在AC1上且1，N为B1B的中点，则|为()A. a B. aC. a D. a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A( a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且1，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，|a.答案A5.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若 cosm，n，则l与所成的角为_.解析设l与所成角为，cosm，n， sin | cosm，n|，090，30.答案306.(2017郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_.解析如

5、图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，CDAE，从而AE平面PCD.所以(0，1，0)，分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.答案45考点一利用空间向量求异面直线所成的角【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB2，AD2，PA2.求：(1)PCD的面积.(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.解(1)因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以P

6、ACD.又ADCD，PAADA，所以CD平面PAD，又PD平面PAD，从而CDPD.因为PD2，CD2，所以PCD的面积为222. (2)法一如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.图1在AEF中，由于EF，AF，AEPC2.所以AF2EF2AE2，AFE90，则AEF是等腰直角三角形，所以AEF.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.法二如图2，建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(1，1)，(1,，1)，(0，2，0).图2设与的夹角为，则cos ，所以.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.

7、规律方法(1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：选好基底或建立空间直角坐标系；求出两直线的方向向量v1，v2；代入公式|cosv1，v2|求解.(2)两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【训练1】 (2016上海卷)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求三棱锥CO1A1B1的体积；(2)求异面直线B1C与AA1所成的角的大小.解(1)连接A1B1，因为，O1

8、A1B1A1O1B1，O1A1B1为正三角形，SO1A1B1O1A1O1B1sin 60.VCO1A1B1OO1SO1A1B11，三棱锥CO1A1B1的体积为.(2)以O为坐标原点建系如图，则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B1，C.(0，0，1)，(0，1，1)，cos，异面直线B1C与AA1所成的角为.考点二利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】 (2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.(1)证明由已知得A

9、MAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，(0，2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0，2，1).于是|cosn，|.所以直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为.规律方法利用向量法求线面角

10、的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【训练2】 (2017福州质检)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC1，BB12，ABB160.(1)证明：ABB1C；(2)若B1C2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.(1)证明连接AB1，在ABB1中，AB1，BB12，ABB160，由余弦定理得，ABAB2BB2ABBB1cosABB13，AB1，BBAB2AB，AB1AB.又ABC为

11、等腰直角三角形，且ABAC，ACAB，ACAB1A，AB平面AB1C.又B1C平面AB1C，ABB1C.(2)解AB1，ABAC1，B1C2，B1C2ABAC2，AB1AC.如图，以A为原点，以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，(1，0，)，(1，1，0).设平面BCB1的一个法向量为n(x，y，z)，由得令z1，得xy，平面BCB1的一个法向量为n(，1).(0，1，0)(1，0，)(1，1，)，cos，n，AC1与平面BCB1所成角的正弦值为.考点三利用空间向量求二面角(易错警示)【例3】 (

12、2017金丽衢十二校联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90，D为AC的中点，ABB1D.(1)求证：平面ABB1A1平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；(3)求二面角BB1DC的余弦值.(1)证明取AB中点为O，连接OD，OB1，B1BB1A，OB1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，AB平面B1OD，OD平面B1OD，ABOD.B1BC90，即BCBB1，又ODBC，ODBB1，又ABBB1B，OD平面ABB1A1，又OD平面ABC，平面ABC平面ABB1A1.(2)解由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直.以O为坐标原点，的方向为x轴的方向，|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知B1(0，0，)，D(0，1，0)，A(1，0，0)，C(1，2，0)，C1(0，2，).则(0，1，)，(2，2，0)，(1，0，).设平面ACC1A1的一个法向量为m(x，y，z)，则由得可取m(，1).cos，m，直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值为.(3)解由题设知B(1，0，0)，则