七年级数学 平行线的性质与判定的证明 练习题及答案解析.docx
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七年级数学平行线的性质与判定的证明练习题及答案解析
平行线的性质与判定的证明
练习题
温故而知新:
1.平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)两直线平行,内错角相等;
(3)两直线平行,同旁内角互补.
2.平行线的判定
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)内错角相等,两直线平行;
(3)同旁内角互补,两直线平行互补.
例1已知如图2-2,AB∥CD∥EF,点M,N,P分别在AB,CD,EF上,NQ平分∠MNP.
(1)若∠AMN=60°,∠EPN=80°,分别求∠MNP,∠DNQ的度数;
(2)探求∠DNQ与∠AMN,∠EPN的数量关系.
解析:
根据两直线平行,内错角相等及角平分线定义求解.
(标注∠MND=∠AMN,∠DNP=∠EPN)
答案:
(标注∠MND=∠AMN=60°,
∠DNP=∠EPN=80°)
解:
(1)∵AB∥CD∥EF,
∴∠MND=∠AMN=60°,
∠DNP=∠EPN=80°,
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°,
又NQ平分∠MNP,
∴∠MNQ=
∠MNP=
×140°=70°,
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°,
∴∠MNP,∠DNQ的度数分别为140°,10°.(下一步)
(2)(标注∠MND=∠AMN,∠DNP=∠EPN)
由
(1)得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN,
∴∠MNQ=
∠MNP=
(∠AMN+∠EPN),
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND
=
(∠AMN+∠EPN)-∠AMN
=
(∠EPN-∠AMN),
即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.
小结:
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时,注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换,即同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.
例2如图,∠AGD=∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明:
∠1=∠2.
解析:
(标注:
∠1=∠2=∠DCB,DG∥BC,CD∥EF)
答案:
(标注:
∠1=∠2=∠DCB)
证明:
因为∠AGD=∠ACB,
所以DG∥BC,
所以∠1=∠DCB,
又因为CD⊥AB,EF⊥AB,
所以CD∥EF,
所以∠2=∠DCB,
所以∠1=∠2.
小结:
在完成证明的问题时,我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系,由直线之间的关系也可得到角的关系.
例3
(1)已知:
如图2-4①,直线AB∥ED,求证:
∠ABC+∠CDE=∠BCD;
(2)当点C位于如图2-4②所示时,∠ABC,∠CDE与∠BCD存在什么等量关系?
并证明.
(1)解析:
动画过点C作CF∥AB
由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠ABC,∠2=∠CDE)
答案:
证明:
如图,过点C作CF∥AB,
∵直线AB∥ED,
∴AB∥CF∥DE,
∴∠1=∠ABC,∠2=∠CDE.
∵∠BCD=∠1+∠2,
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD;
(2)解析:
动画过点C作CF∥AB,由平行线性质找到角的关系.
(标注∠ABC+∠1=180°,∠2+∠CDE=180°)
答案:
∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°.
证明:
如图,过点C作CF∥AB,
∵直线AB∥ED,
∴AB∥CF∥DE,
∴∠ABC+∠1=180°,∠2+∠CDE=180°.
∵∠BCD=∠1+∠2,
∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°.
小结:
在运用平行线性质时,有时需要作平行线,取到桥梁的作用,实现已知条件的转化.
例4如图2-5,一条公路修到湖边时,需绕道,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度?
解析:
动画过点B作BD∥AE,
答案:
解:
过点B作BD∥AE,∵AE∥CF,
∴AE∥BD∥CF,∴∠A=∠1,∠2+∠C=180°
∵∠A=120°,∠1+∠2=∠ABC=150°,
∴∠2=30°,
∴∠C=180°-30°=150°.
小结:
把关于角度的问题转化为平行线问题,利用平行线的性质与判定予以解答.
举一反三:
1.如图2-9,FG∥HI,则∠x的度数为()
A.60°B.72°C.90°D.100°
解析:
∠AEG=180°-120°=60°,由外凸角和等于内凹角和有60°+30°+30°=x+48°,解得x=72°.
答案:
B.
2.已知如图所示,AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,∠B-∠D=24°,求∠GEF的度数.
解析:
解:
∵AB∥EF∥CD,
∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D.
∵∠B+∠BED+∠D=192°,
即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°,
∴2(∠B+∠D)=192°,
即∠B+∠D=96°.
∵∠B-∠D=24°,
∴∠B=60°,
即∠BEF=60°.
∵EG平分∠BEF,
∴∠GEF=
∠BEF=30°.
3.已知:
如图2-10,AB∥EF,BC∥ED,AB,DE交于点G.
求证:
∠B=∠E.
解析:
标注AB∥EF,BC∥ED
答案:
证明:
∵AB∥EF,
∴∠E=∠AGD.
∵BC∥ED,
∴∠B=∠AGD,
∴∠B=∠E.
例5如图2-6,已知AB∥CD,试再添上一个条件,使∠1=∠2成立,并说明理由.
解析:
标注AB∥CD,∠1=∠2
答案:
方法一:
(标注CF∥BE)
解:
需添加的条件为CF∥BE,
理由:
∵AB∥CD,
∴∠DCB=∠ABC.
∵CF∥BE,
∴∠FCB=∠EBC,
∴∠1=∠2;
方法二:
(标注CF,BE,∠1=∠2=∠DCF=∠ABE)解:
添加的条件为CF,BE分别为∠BCD,∠CBA的平分线.
理由:
∵AB∥CD,
∴∠DCB=∠ABC.
∵CF,BE分别为∠BCD,∠CBA的平分线,
∴∠1=∠2.
小结:
解决此类条件开放性问题需要从结果出发,找出结果成立所需要的条件,由果溯因.
例6如图1-7,已知直线
,且
和
、
分别交于A、两点,点P在AB上,
和
、
分别交于C、D两点,连接PC、PD。
(1)试求出∠1、∠2、∠3之间的关系,并说明理由。
(2)如果点P在A、B两点之间运动时,问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。
(3)如果点P在AB两点的外侧运动时,试探究∠1、∠2、∠3之间的关系(点P和A、B不重合)
解:
(1)解析:
在题目中直接画出辅助线
∠3=∠1+∠2。
理由:
如图
(1)所示
过点P作PE∥
交
于E,则∠1=∠CPE,
又因为
∥
,所以PE∥
,则∠EPD=∠2,
所以∠CPD=∠1+∠2,即∠3=∠1+∠2
(2)解析:
点P在A、B两点之间运动时,∠3=∠1+∠2的关系不会发生改变。
(3)解析:
如图
(2)和(3)所以,当P点在A、B两点外侧运动时,分两种情况:
4.如图2-11,CD平分∠ACB,DE∥AC,EF∥CD,EF平分∠DEB吗?
请说明理由.
解析:
标注CD平分∠ACB,DE∥AC,EF∥CD
答案:
标注∠CDE=∠ACD=∠DCE=∠DEF=∠BEF
解:
EF平分∠DEB.理由如下:
∵DE∥AC,EF∥CD,
∴∠CDE=∠ACD,∠CDE=∠DEF,
∠BEF=∠DCE.
∵CD平分∠ACB,
∴∠DCE=∠ACD,
∴∠DEF=∠BEF,
即EF平分∠DEB.
5.如图1-12,CD∥EF,∠1+∠2=∠ABC,
求证:
AB∥GF
解析:
如图,作CK∥FG,延长GF、CD交于H,则∠H+∠2+∠KCB=180°.因为CD∥EF,所以∠H=∠1,又因为∠1+∠2=∠ABC,所以∠ABC+∠KCB=180°,所以CK∥AB,所以AB∥FG.
6.如图2-13,已知AB∥CD,∠ECD=125°,∠BEC=20°,求∠ABE的度数.
解析:
(过E点作EF∥CD)标注AB∥EF∥CD
答案:
解:
过E点作EF∥CD,
∴∠ECD+∠CEF=180°,
而∠ECD=125°,
∴∠CEF=180°-125°=55°,
∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=20°+55°=75°.
∵AB∥CD,∴AB∥EF,
∴∠ABE=∠BEF=75°.