6函数奇 偶 性判断证明和图象对称性.docx

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6函数奇偶性判断证明和图象对称性

6、　奇偶性

1．函数的奇偶性

（1）定义：

①奇函数：

设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有，则这个函数叫做奇函数．

②偶函数：

设函数y＝g（x）的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有，则这个函数叫做偶函数．

（2）性质

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

如果一个函数是偶函数，则它的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于对称，则这个函数是偶函数．

（3）判断奇偶性

①f（x）＝|x|；②f（x）＝＋③f（x）＝x2　（x≥1）；④f（x）＝|x＋1|－|x－1|.

2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：

（1）求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．

（2）定义域关于原点对称时，看f（－x）＝±f（x）（或f（x）±f（－x）＝0或＝±1（用此式时，f（x）≠0对定义域内任意x都成立））是否成立．如不成立，则为非奇非偶函数．

（3）f（－x）＝－f（x）成立时为奇函数．f（－x）＝f（x）成立时为偶函数．

3．若一次函数y＝kx＋b为奇函数，则b＝，若二次函数y＝ax2＋bx＋c为偶函数则b＝.反比例函数y＝（k≠0）是函数．

对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：

①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y＝f（x）是否具有奇偶性，不仅考察f（x）与f（－x）之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称．

③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：

偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f（x）一定是常数函数f（x）＝0，但f（x）＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．

④奇函数y＝f（x）若在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0.

⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：

奇函数在区间[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性；偶函数在区间[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性（ab>0）．

⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：

偶函数的和、差、积、商（定义域符合要求）仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．

⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f（x）的表达式，观察其特点，然后再进行判断．

[例1]　1、判断下列函数的奇偶性

（1）f（x）＝x3＋；

（2）f（x）＝x2＋1；（3）f（x）＝|x＋1|＋|x－1|；

（4）f（x）＝2x＋1；（5）f（x）＝＋；（6）f（x）＝.

2、判断函数f（x）＝|x＋a|－|x－a|（a∈R）的奇偶性．

[例2]　已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3.试求f（x）在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．

2、已知函数f（x）为偶函数，且当x<0时，f（x）＝x＋1，则x>0时，f（x）＝________.

[例3]　1、已知b＞a＞0，偶函数y＝f（x）在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f（x）在区间[a，b]上是增函数还是减函数？

2、

（1）已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f（－5）与f（3）的大小结果为______．

（2）如果奇函数f（x）在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f（x）在[－6，－1]上是增函数还是减函数？

求f（x）在[－6，－1]上的最大值和最小值．

[例4]　1、已知偶函数f（x）（图

（1））和奇函数g（x）（图

（2））在y轴右边的一部分图象，试根据偶函数和奇函数的性质，分别作出它们在y轴左边的图象．

2、

（1）如图①是奇函数y＝f（x）的部分图象，则f（－4）·f（－2）＝________.

（2）如图②是偶函数y＝f（x）的部分图象，比较f

（1）与f（3）的大小的结果为________．

[例5]　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝（x－1）；

（2）f（x）＝.

课堂练习

一、选择题

1．下列函数不具备奇偶性的是（　　）

A．y＝－x　　　B．y＝－C．y＝D．y＝x2＋2

2．下列命题中真命题的个数为（　　）

（1）对f（x）定义域内的任意x，都有f（x）＋f（－x）＝0则f（x）是奇函数

（2）对f（x）的定义域内的任意x，都有f（x）－f（－x）＝0，则f（x）是偶函数

（3）对f（x）的定义域内的任意x，都有＝－1，则f（x）是奇函数

（4）对f（x）的定义域内的任意x，都有＝1，则f（x）是偶函数

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4

3．若函数y＝f（x）为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f（x）的图象上的是（　　）

A．（a，－f（a））B．（－a，－f（－a））C．（－a，f（a））D．（－a，－f（a））

4．已知y＝f（x）是奇函数，且方程f（x）＝0有六个实根，则方程f（x）＝0的所有实根之和是（　　）

A．4　　　B．2　　　C．1　　　D．0

5．已知f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在（－5，－2）上是（　　）

A．增函数B．减函数C．部分为增函数，部分为减函数D．无法确定增减性

6．偶函数y＝f（x）在区间[－4，－1]是增函数，下列不等式成立的是（　　）

A．f（－2）

（1）f（）

二、解答题7．判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝.

（2）f（x）＝|2x＋1|－|2x－1|.

（3）f（x）＝2|x|.（4）f（x）＝

课后练习

一、选择题1．下列命题中错误的是（　　）

①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点

③偶函数的图象与y轴一定相交④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数

A．①②　　　　　B．③④C．①④D．②③

2．如果奇函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则f（x）在（－∞，0）上（　　）

A．减函数B．增函数C．既可能是减函数也可能是增函数D．不一定具有单调性

3．已知f（x）＝x7＋ax5＋bx－5，且f（－3）＝5，则f（3）＝（　　）

A．－15B．15C．10D．－10

4．若f（x）在[－5,5]上是奇函数，且f（3）

（1），则下列各式中一定成立的是（　　）

A．f（－1）f

（1）C．f

（2）>f（3）D．f（－3）

5．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－3，则f（－2）的值等于（　　）

A．－1B．1C.D．－

6．设f（x）在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f（x）为偶函数，则f（x）在[1,2]上（　　）

A．为减函数，最大值为3B．为减函数，最小值为－3C．为增函数，最大值为－3D．为增函数，最小值为3

7．（胶州三中高一模块测试）下列四个函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．y＝x3B．y＝－x2＋1C．y＝|x|＋1D．y＝2－|x|

8．（09·辽宁文）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）单调递增，则满足f（2x－1）

A.B.C.`D.

9．若函数f（x）＝（x＋1）（x＋a）为偶函数，则a＝（　　）

A．1B．－1C．0D．不存在

10．奇函数f（x）当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－2x＋3，则f

（1）与f

（2）的大小关系为（　　）

A．f

（1）

（2）B．f

（1）＝f

（2）C．f

（1）>f

（2）D．不能确定

二、填空题

11．若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）为偶函数，则g（x）＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性为________．

12．偶函数y＝f（x）的图象与x轴有三个交点，则方程f（x）＝0的所有根之和为________．

三、解答题

13．判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝；

（2）f（x）＝.

14．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，求f（x），g（x）的表达式．

15．函数f（x）＝是定义在（－1,1）上的奇函数，且f＝，求函数f（x）的解析式．

16．定义在（－1,1）上的奇函数f（x）是减函数，且f（1－a）＋f（1－a2）<0，求实数a的取值范围．

17．f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）的图象是经过点（3，－6），顶点为（1,2）的抛物线的一部分，求f（x）的解析式，并画出其图象．

答案

1．函数的奇偶性

（1）定义：

①奇函数：

－x∈D，且f（－x）＝－f（x）②偶函数：

－x∈D，且g（－x）＝g（x）

（2）性质：

坐标原点坐标原点y轴y轴

（3）

[答案]　①偶　②既是奇函数，又是偶函数　③非奇非偶　④奇

2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：

（1）求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．

（2）定义域关于原点对称时，看f（－x）＝±f（x）（或f（x）±f（－x）＝0或＝±1（用此式时，f（x）≠0对定义域内任意x都成立））是否成立．如不成立，则为非奇非偶函数．

（3）f（－x）＝－f（x）成立时为奇函数．f（－x）＝f（x）成立时为偶函数．

3．b＝0，b＝0奇.

对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：

①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y＝f（x）是否具有奇偶性，不仅考察f（x）与f（－x）之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称．

③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：

偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f（x）一定是常数函数f（x）＝0，但f（x）＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．

④奇函数y＝f（x）若在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0.

⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：

奇函数在区间[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性；偶函数在区间[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性（ab>0）．

⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：

偶函数的和、差、积、商（定义域符合要求）仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．

⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f（x）的表达式，观察其特点，然后再进行判断．

[例1]　1、

[分析]　利用函数奇偶性定义来判断．

∴f（x）为奇函数．

（2）f（x）定义域为R，且f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1＝f（x），∴f（x）为偶函数．

（3）定义域为（－∞，＋∞），∵f（－x）＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f（x），∴f（x）为偶函数．

（4）定义域为（－∞，＋∞），f（－x）＝－2x＋1，

∵f（－x）≠－f（x）且f（－x）≠f（x），

∴f（x）为非奇非偶函数．

（5）定义域为{1}，

∵定义域不关于原点对称，∴f（x）为非奇非偶函数．

2、[解析]　f（x）的定义域为R，当a≠0时，f（－x）＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－f（x），

∴f（x）为奇函数，

当a＝0时，有f（x）＝0，∴f（x）既是奇函数又是偶函数.

[例2]　1、[分析]　由函数图象关于原点对称可知y＝f（x）是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．

[解析]　∵函数f（x）的图象关于原点对称．

∴f（x）为奇函数，则f（0）＝0，

设x＜0，则－x＞0，∵x>0时，f（x）＝x2－2x＋3，

∴f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3

于是有：

f（x）＝

先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象．如下图．

由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]、[1，＋∞），单调递减区间是[－1,0）、（0,1]．

2、[答案]　－x＋1

[解析]　x>0时，－x<0，∴f（－x）＝－x＋1，

又∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝－x＋1.

[例3]　1、已知b＞a＞0，偶函数y＝f（x）在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f（x）在区间[a，b]上是增函数还是减函数？

[分析]　由函数的奇偶性进行转化．

[解析]　设a≤x1＜x2≤b，则－b≤－x2＜－x1≤－a.∵f（x）在[－b，－a]上是增函数．∴f（－x2）＜f（－x1）

又f（x）是偶函数，∴f（－x1）＝f（x1），f（－x2）＝f（x2）

于是　f（x2）＜f（x1），故f（x）在[a，b]上是减函数．

[点评]　由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的．

2、[答案]　

（1）f（－5）

[解析]　

（1）∵f（x）是偶函数，∴f（－5）＝f（5），

∵f（x）在[2,6]上是减函数，

∴f（5）

（2）设－6≤x1

∵f（x）在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4，∴4＝f

（1）≤f（－x2）

又∵f（x）为奇函数，∴4≤－f（x2）<－f（x1）≤10，

∴－10≤f（x1）

即f（x）在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.

[例4]　1、[解析]　

（1）根据偶函数图象关于y轴对称的性质，画出函数在y轴左边的图象，如图

（1）．

（2）根据奇函数的图象关于原点对称的性质，画出函数在y轴左边的图象，如图

（2）．

2、[答案]　

（1）2　

（2）f（3）>f

（1）

[解析]　

（1）∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f（x）图象过点（2,1）和（4,2），

∴必过点（－2，－1）和（－4，－2），

∴f（－4）·f（－2）＝（－2）×（－1）＝2.

（2）∵偶函数f（x）满足f（－3）>f（－1），

∴f（3）>f

（1）．

[点评]

（1）可由奇函数的性质，先去掉函数记号¡°f¡±内的负号，f（－4）·f（－2）＝－f（4）·[－f

（2）]＝f（4）·f

（2）＝2×1＝2.

[辨析]　要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f（x）进行变形，以利于判定其奇偶性．

[例5]　[正解]　

（1）由≥0得{x|x＞1，或x≤－1}，

∵f（x）定义域关于原点不对称，∴f（x）为非奇非偶函数．

（2）由得－1≤x≤1且x≠0，

定义域关于原点对称，又－1≤x≤1且x≠0时，f（x）＝＝，

∵f（－x）＝＝－＝－f（x），

∴f（x）为奇函数．

课后练习答案

一、选择题

1．[答案]　C

2．[答案]　D

[解析]　四个命题都正确，故选D.

3．[答案]　D

[解析]　∵－f（a）＝f（－a），∴点（－a，－f（a））在y＝f（x）的图象上，故选D.

4．[答案]　D

[解析]　奇函数的图象关于原点对称，方程f（x）＝0的六个根，即f（x）图象与x轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称，

∴和为0.

5．[答案]　A

[解析]　∵f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，

∴m＝0，∴f（x）＝－x2＋3，因此f（x）在（－5，－2）上为增函数，故选A.

6．[答案]　D

二、解答题a

7．[解析]　

（1）为偶函数．∵x∈Q时，－x∈Q，

∴f（－x）＝1＝f（x）．

同理，x为无理数时，－x也为无理数．

∴f（－x）＝－1＝f（x），∴f（x）为偶函数．

（2）奇函数．∵f（－x）＝|－2x＋1|－|－2x－1|aa

＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f（x），

∴f（x）为奇函数．

（3）偶函数．∵f（－x）＝2|－x|＝2|x|＝f（x），

∴f（x）为偶函数．

（4）画出其图象如图，可见f（x）为奇函数．

课后练习答案

一、选择题

1．[答案]　D

[解析]　f（x）＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．

2．[答案]　B

3．[答案]　A

[解析]　解法1：

f（－3）＝（－3）7＋a（－3）5＋（－3）b－5＝－（37＋a·35＋3b－5）－10＝－f（3）－10＝5，∴f（3）＝－15.

解法2：

设g（x）＝x7＋ax5＋bx，则g（x）为奇函数，

∵f（－3）＝g（－3）－5＝－g（3）－5＝5，∴g（3）＝－10，∴f（3）＝g（3）－5＝－15.

4．[答案]　A[解析]　∵f（3）

（1），∴－f

（1）<－f（3），∵f（x）是奇函数，∴f（－1）

5．[答案]　A

[解析]　∵x>0时，f（x）＝2x－3，∴f

（2）＝22－3＝1，又f（x）为奇函数，∴f（－2）＝－f

（2）＝－1.

6．[答案]　D

[解析]　∵f（x）在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f（－1）＝3，

又∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[1,2]上为增函数，且最小值为f

（1）＝f（－1）＝3.

7．[答案]　C[解析]　由偶函数，排除A；由在（0，＋∞）上为增函数，排除B，D，故选C.

8．[答案]　A[解析]　由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒

9．[答案]　B

[解析]　解法1：

f（x）＝x2＋（a＋1）x＋a为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.

解法2：

∵f（x）＝（x＋1）（x＋a）为偶函数，

∴对任意x∈R，有f（－x）＝f（x）恒成立，∴f（－1）＝f

（1），即0＝2（1＋a），∴a＝－1.

10．[答案]　C[解析]　由条件知，f（x）在（－∞，0）上为减函数，

∴f（－1）

（1）>f

（2）．

[点评]　也可以先求出f（x）在（0，＋∞）上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．

二、填空题

11．[答案]　奇函数[解析]　由f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）为偶函数得b＝0，因此g（x）＝ax3＋cx，∴g（－x）＝－g（x），

∴g（x）是奇函数．

12．[答案]　0

[解析]　由于偶函数图象关于y轴对称，且与x轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.

三、解答题

13．[解析]　

（1）f（－x）＝，∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）为奇函数．

（2）f（－x）＝≠f（x），f（－x）≠－f（x），∴f（x）既不是奇函数，又不是偶函数．

14．[解析]　f（－x）＋g（－x）＝x2－x－2，由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f（x）－g（x）＝x2－x－2

又f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，两式联立得：

f（x）＝x2－2，g（x）＝x.

15．[解析]　因为f（x）是奇函数且定义域为（－1,1），所以f（0）＝0，即b＝0.

又f＝，所以＝，所以a＝1，所以f（x）＝.

16．[解析]　由f（1－a）＋f（1－a2）<0及f（x）为奇函数得，f（1－a）

∵f（x）在（－1,1）上单调减，∴　解得0

17．[解析]　设x≥0时，f（x）＝a（x－1）2＋2，

∵过（3，－6）点，∴a（3－1）2＋2＝－6，∴a＝－2.即f（x）＝－2（x－1）2＋2.

当x<0时，－x>0，f（－x）＝－2（－x－1）2＋2＝－2（x＋1）2＋2，∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），

∴f（x）＝2（x＋1）2－2，即f（x）＝，

其图象如图所示．