6函数奇 偶 性判断证明和图象对称性.docx

1、6函数奇 偶 性判断证明和图象对称性6、奇 偶 性1函数的奇偶性(1)定义： 奇函数：设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有 ，则这个函数叫做奇函数偶函数：设函数yg(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有 ，则这个函数叫做偶函数(2)性质如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数(3)判断奇偶性f(x)|x|；f(x) f(x)x2(x1)；f(x)|

2、x1|x1|.2用定义判断函数奇偶性的步骤是：(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数(2)定义域关于原点对称时，看f(x)f(x)(或f(x)f(x)0或1(用此式时，f(x)0对定义域内任意x都成立)是否成立如不成立，则为非奇非偶函数(3)f(x)f(x)成立时为奇函数f(x)f(x)成立时为偶函数3若一次函数ykxb为奇函数，则b ，若二次函数yax2bxc为偶函数则b .反比例函数y(k0)是 函数对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的考察一个函数yf(x)是否具有奇偶性，不仅考察f(x)与f(

3、x)之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)0，但f(x)0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件奇函数yf(x)若在x0处有定义，则一定有f(0)0.综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间a，b和b，a上有相同的单调性；偶函数在区间a，b和b，a上有相反的单调性(ab0)有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数奇函数的和、差为奇函数，两个

4、奇函数的积、商为偶函数有些判断奇偶性的题目，须先化简f(x)的表达式，观察其特点，然后再进行判断例11、判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3；(2)f(x)x21；(3)f(x)|x1|x1|；(4)f(x)2x1；(5)f(x)；(6)f(x).2、判断函数f(x)|xa|xa|(aR)的奇偶性 例2已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(x)x22x3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间2、已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_. 例31、已知ba0，偶函数yf(x)在区间b，a上是增函数，问函数yf(x)在区间a，b上是增函数还

5、是减函数？2、(1)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，在2,6上是减函数，比较f(5)与f(3)的大小结果为_(2)如果奇函数f(x)在区间1,6上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在6，1上是增函数还是减函数？求f(x)在6，1上的最大值和最小值 例41、已知偶函数f(x)(图(1)和奇函数g(x)(图(2)在y轴右边的一部分图象，试根据偶函数和奇函数的性质，分别作出它们在y轴左边的图象2、(1)如图是奇函数yf(x)的部分图象，则f(4)f(2)_.(2)如图是偶函数yf(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为_ 例5判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)

6、(x1)； (2)f(x).课堂练习一、选择题 1下列函数不具备奇偶性的是 ()AyxBy Cy Dyx222下列命题中真命题的个数为 ()(1)对f(x)定义域内的任意x，都有f(x)f(x)0则f(x)是奇函数(2)对f(x)的定义域内的任意x，都有f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数(3)对f(x)的定义域内的任意x，都有1，则f(x)是奇函数(4)对f(x)的定义域内的任意x，都有1，则f(x)是偶函数A1 B2 C3 D43若函数yf(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是 ()A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a)4已知yf

7、(x)是奇函数，且方程f(x)0有六个实根，则方程f(x)0的所有实根之和是 ()A4 B2 C1 D05已知f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在(5，2)上是 ()A增函数 B减函数 C部分为增函数，部分为减函数 D无法确定增减性6偶函数yf(x)在区间4，1是增函数，下列不等式成立的是 ()Af(2)f(3) Bf()f() Cf(1)f()二、解答题 7判断下列函数的奇偶性(1)f(x). (2)f(x)|2x1|2x1|.(3)f(x)2|x|. (4)f(x)课后练习一、选择题 1下列命题中错误的是()图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 奇函数的图象一定过原点偶函

8、数的图象与y轴一定相交 图象关于y轴对称的函数一定为偶函数AB C D2如果奇函数f(x)在(0，)上是增函数，则f(x)在(，0)上()A减函数 B增函数 C既可能是减函数也可能是增函数 D不一定具有单调性3已知f(x)x7ax5bx5，且f(3)5，则f(3)()A15 B15 C10 D104若f(x)在5,5上是奇函数，且f(3)f(1)，则下列各式中一定成立的是()Af(1)f(1) Cf(2)f(3) Df(3)0时，f(x)2x3，则f(2)的值等于()A1 B1 C. D6设f(x)在2，1上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在1,2上()A为减函数，最大值为

9、3 B为减函数，最小值为3 C为增函数，最大值为3 D为增函数，最小值为37(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，)上为增函数的是()Ayx3 Byx21 Cy|x|1 Dy2|x|8(09辽宁文)已知偶函数f(x)在区间0，)单调递增，则满足f(2x1)f的x取值范围是()A. B. C. D.9若函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，则a()A1 B1 C0 D不存在10奇函数f(x)当x(，0)时，f(x)2x3，则f(1)与f(2)的大小关系为()Af(1)f(2) D不能确定二、填空题11若f(x)ax2bxc(a0)为偶函数，则g(x)ax3bx2cx的奇偶性

10、为_12偶函数yf(x)的图象与x轴有三个交点，则方程f(x)0的所有根之和为_三、解答题13判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)； (2)f(x).14已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)的表达式15函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f，求函数f(x)的解析式16定义在(1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1a)f(1a2)0)有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数有些判断奇偶性的题目，须先化简f(x)的表达式，观察其特点，然后再进行

11、判断例11、分析利用函数奇偶性定义来判断f(x)为奇函数(2)f(x)定义域为R，且f(x)(x)21x21f(x)，f(x)为偶函数(3)定义域为(，)，f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)为偶函数(4)定义域为(，)，f(x)2x1，f(x)f(x)且f(x)f(x)，f(x)为非奇非偶函数(5)定义域为1，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数2、 解析f(x)的定义域为R，当a0时，f(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)，f(x)为奇函数，当a0时，有f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函数.例21、 分析由函数图象关于原点对称可知yf(x)是奇函数利用奇函数

12、性质可求得解析式解析函数f(x)的图象关于原点对称f(x)为奇函数，则f(0)0，设x0，则x0，x0时，f(x)x22x3，f(x)f(x)(x22x3)x22x3于是有：f(x)先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象如下图由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(，1、1，)，单调递减区间是1,0)、(0,12、 答案x1解析x0时，x0，f(x)x1，又f(x)为偶函数，f(x)x1.例31、已知ba0，偶函数yf(x)在区间b，a上是增函数，问函数yf(x)在区间a，b上是增函数还是减函数？分析由函数的奇偶性进行转化解析设ax1x2b，则bx2x1a.f(x)在b，a

13、上是增函数f(x2)f(x1)又f(x)是偶函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)于是f(x2)f(x1)，故f(x)在a，b上是减函数点评由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的2、答案(1)f(5)f(3)解析(1)f(x)是偶函数，f(5)f(5)，f(x)在2,6上是减函数，f(5)f(3)，f(5)f(3)(2)设6x1x21，则1x2x16，f(x)在1,6上是增函数且最大值为10，最小值为4，4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10，又f(x)为奇函数，4f(x2)f(x1)10，10f(x1)f

14、(1)解析(1)奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2)，必过点(2，1)和(4，2)，f(4)f(2)(2)(1)2.(2)偶函数f(x)满足f(3)f(1)，f(3)f(1)点评(1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号f内的负号，f(4)f(2)f(4)f(2)f(4)f(2)212.辨析要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性例5正解(1)由0得x|x1，或x1，f(x)定义域关于原点不对称，f(x)为非奇非偶函数(2)由得1x1且x0，定义域关于原点对称，又1x1且

15、x0时，f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数课后练习答案一、选择题1答案C2答案D解析四个命题都正确，故选D.3答案D解析f(a)f(a)，点(a，f(a)在yf(x)的图象上，故选D.4答案D解析奇函数的图象关于原点对称，方程f(x)0的六个根，即f(x)图象与x轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称，和为0.5答案A解析f(x)(m1)x22mx3为偶函数，m0，f(x)x23，因此f(x)在(5，2)上为增函数，故选A.6答案D二、解答题a7 解析(1)为偶函数xQ时，xQ，f(x)1f(x)同理，x为无理数时，x也为无理数f(x)1f(x)，f(x)为

16、偶函数(2)奇函数f(x)|2x1|2x1|aa|2x1|2x1|f(x)，f(x)为奇函数(3)偶函数f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(4)画出其图象如图，可见f(x)为奇函数课后练习答案一、选择题1 答案D解析f(x)为奇函数，其图象不过原点，故错；y为偶函数，其图象与y轴不相交，故错2答案B3答案A解析解法1：f(3)(3)7a(3)5(3)b5(37a353b5)10f(3)105，f(3)15.解法2：设g(x)x7ax5bx，则g(x)为奇函数，f(3)g(3)5g(3)55，g(3)10，f(3)g(3)515.4答案A解析f(3)f(1)，f(1)f(3)，f

17、(x)是奇函数，f(1)0时，f(x)2x3，f(2)2231，又f(x)为奇函数，f(2)f(2)1.6答案D解析f(x)在2，1上为减函数，最大值为3，f(1)3，又f(x)为偶函数，f(x)在1,2上为增函数，且最小值为f(1)f(1)3.7答案C解析由偶函数，排除A；由在(0，)上为增函数，排除B，D，故选C.8答案A解析由题意得|2x1|2x12xx，选A.9答案B解析解法1：f(x)x2(a1)xa为偶函数，a10，a1.解法2：f(x)(x1)(xa)为偶函数，对任意xR，有f(x)f(x)恒成立，f(1)f(1)，即02(1a)，a1.10答案C 解析由条件知，f(x)在(，0

18、)上为减函数，f(1)f(2)点评也可以先求出f(x)在(0，)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较二、填空题11 答案奇函数 解析由f(x)ax2bxc(a0)为偶函数得b0，因此g(x)ax3cx，g(x)g(x)，g(x)是奇函数12 答案0解析由于偶函数图象关于y轴对称，且与x轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.三、解答题13解析(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既不是奇函数，又不是偶函数14 解析f(x)g(x)x2x2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)g(x)x2x2又f(x)g(x)x2x2，两式联立得：f(x)x22，g(x)x.15 解析因为f(x)是奇函数且定义域为(1,1)，所以f(0)0，即b0.又f，所以，所以a1，所以f(x).16 解析由f(1a)f(1a2)0及f(x)为奇函数得，f(1a)f(a21)，f(x)在(1,1)上单调减，解得0a1. 故a的取值范围是a|0a117 解析设x0时，f(x)a(x1)22，过(3，6)点，a(31)226，a2.即f(x)2(x1)22.当x0，f(x)2(x1)222(x1)22，f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)2(x1)22，即f(x)，其图象如图所示