版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形34函数yAsinωx+φ的图象及应用.docx
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版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形34函数yAsinωx+φ的图象及应用
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形3.4函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
1．y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0），x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝
＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin（ωx＋φ）
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的步骤如下：
【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．（ × ）
（2）y＝sin
的图象是由y＝sin
的图象向右平移
个单位得到的．（ √ ）
（3）由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．（ √ ）
（4）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．（ × ）
（5）函数y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为
.（ √ ）
1．y＝2sin
的振幅、频率和初相分别为（ ）
A．2，
，－
B．2，
，－
C．2，
，－
D．2，
，－
答案 A
2．（2015·山东）要得到函数y＝sin
的图象，只需将函数y＝sin4x的图象（ ）
A．向左平移
个单位B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位D．向右平移
个单位
答案 B
解析 ∵y＝sin
＝sin
，
∴要得到函数y＝sin
的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移
个单位．
3．（2015·湖南）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ
个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）－g（x2）|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝
，则φ等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 因为g（x）＝sin2（x－φ）＝sin（2x－2φ），
所以|f（x1）－g（x2）|＝|sin2x1－sin（2x2－2φ）|＝2.
因为－1≤sin2x1≤1，－1≤sin（2x2－2φ）≤1，
所以sin2x1和sin（2x2－2φ）的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin2x1＝1，sin（2x2－2φ）＝－1，则2x1＝2k1π＋
，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－
，k2∈Z,2x1－2x2＋2φ＝2（k1－k2）π＋π，（k1－k2）∈Z，
得|x1－x2|＝
.
因为0<φ<
，所以0<
－φ<
，
故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝
－φ＝
，
则φ＝
，故选D.
4．（教材改编）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b，则这段曲线的函数解析式为__________________．
答案 y＝10sin
＋20，x∈[6,14]
解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数
y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期，
所以A＝
×（30－10）＝10，
b＝
×（30＋10）＝20，
又
×
＝14－6，
所以ω＝
.
又
×10＋φ＝2π，解得φ＝
，
所以y＝10sin
＋20，x∈[6,14]．
5．已知函数f（x）＝2sin（ωx＋θ）（ω>0）的图象如图所示，则ω＝________，若将函数f（x）的图象向左平移φ
个单位后得到一个偶函数，则φ＝________.
答案 2
解析 设函数f（x）的最小正周期为T，则
T＝
－
＝
，得T＝π，则
＝π，解得ω＝2.函数f（x）过点
，代入得2sin
＝－2，则－
＋θ＝2kπ－
（k∈Z），解得θ＝2kπ－
（k∈Z）．故f（x）＝2sin
＝2sin
.将其图象向左平移φ
个单位后，得到函数y＝2sin
的图象，∵其是偶函数，∴2φ－
＝kπ＋
（k∈Z），解得φ＝
＋
（k∈Z）．又0<φ<
，∴φ＝
.
题型一 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
例1 已知函数y＝2sin
.
（1）求它的振幅、周期、初相；
（2）用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
（3）说明y＝2sin
的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．
解
（1）y＝2sin
的振幅A＝2，
周期T＝
＝π，初相φ＝
.
（2）令X＝2x＋
，则y＝2sin
＝2sinX.
列表如下：
x
－
X
0
π
2π
y＝sinX
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
描点画出图象，如图所示：
（3）方法一 把y＝sinx的图象上所有的点向左平移
个单位长度，得到y＝sin
的图象；
再把y＝sin
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到y＝sin
的图象；
最后把y＝sin
上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y＝2sin
的图象．
方法二 将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍（纵坐标不变），得到y＝sin2x的图象；
再将y＝sin2x的图象向左平移
个单位长度，得到y＝sin
＝sin
的图象；
再将y＝sin
的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），即得到y＝2sin
的图象．
思维升华
（1）五点法作简图：
用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，
，π，
π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
（2）图象变换：
由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，有两种主要途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
（1）把函数y＝sin（x＋
）图象上各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再将图象向右平移
个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A．x＝－
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
（2）设函数f（x）＝cosωx（ω>0），将y＝f（x）的图象向右平移
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A.
B．3C．6D．9
答案
（1）A
（2）C
解析
（1）将y＝sin（x＋
）图象上各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋
）；再将图象向右平移
个单位长度，得到函数y＝sin[2（x－
）＋
]＝sin（2x－
），故x＝－
是其图象的一条对称轴方程．
（2）由题意可知，nT＝
（n∈N*），
∴n·
＝
（n∈N*），
∴ω＝6n（n∈N*），∴当n＝1时，ω取得最小值6.
题型二 由图象确定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
例2
（1）将函数f（x）＝sin（2x＋θ）
的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P
，则φ的值可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为__________．
答案
（1）B
（2）f（x）＝
sin（2x＋
）
解析
（1）∵P
在f（x）的图象上，
∴f（0）＝sinθ＝
.
∵θ∈
，
∴θ＝
，
∴f（x）＝sin
.
∴g（x）＝sin
.
∵g（0）＝
，
∴sin
＝
.
验证φ＝
π时，
sin
＝sin
＝sin
＝
成立．
（2）由题图可知A＝
，
＝
－
＝
，
所以T＝π，故ω＝2，
因此f（x）＝
sin（2x＋φ），
又
为最小值点，
∴2×
π＋φ＝2kπ＋
，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋
，k∈Z，
又|φ|＜π，
∴φ＝
.
故f（x）＝
sin（2x＋
）．
思维升华 确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法：
（1）求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝
，b＝
.
（2）求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝
.
（3）求φ，常用的方法有：
①代入法：
把图象上的一个已知点代入（此时A，ω，b已知）或代入图象与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．
②特殊点法：
确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”（即图象的“峰点”）时ωx＋φ＝
；“最小值点”（即图象的“谷点”）时ωx＋φ＝
.
函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）
的部分图象如图所示，则φ＝________.
答案 －
解析 ∵
＝
π－
π，
∴T＝π.
又T＝
（ω＞0），
∴
＝π，
∴ω＝2.
由五点作图法可知当x＝
π时，
ωx＋φ＝
，
即2×
π＋φ＝
，
∴φ＝－
.
题型三 三角函数图象性质的应用
命题点1 三角函数模型的应用
例3 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P（x，y）．若初始位置为P0
，当秒针从P0（注：
此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（ ）
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
答案 C
解析 由题意可得，函数的初相位是
，排除B、D.又函数周期是60（秒）且秒针按顺时针旋转，即T＝
＝60，所以|ω|＝
，即ω＝－
.
命题点2 方程根（函数零点问题）
例4 已知关于x的方程2sin2x－
sin2x＋m－1＝0在
上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．
答案 （－2，－1）
解析 方程2sin2x－
sin2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋
sin2x
＝cos2x＋
sin2x
＝2sin
，x∈
.
设2x＋
＝t，则t∈
，
∴题目条件可转化为
＝sint，t∈
，有两个不同的实数根．
∴y＝
和y＝sint，t∈
的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，
的范围为（－1，－
），
故m的取值范围是（－2，－1）．
引申探究
例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．
答案 [－2,1）
解析 由例4知，
的范围是
，∴－2≤m<1，
∴m的取值范围是[－2,1）．
命题点3 图象性质综合应用
例5 已知函数f（x）＝
sin（ωx＋φ）－cos（ωx＋φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y＝f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为
.
（1）求f
的值；
（2）求函数y＝f（x）＋f
的最大值及对应的x的值．
解
（1）f（x）＝
sin（ωx＋φ）－co
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