中考真题三角函数综合应用 专题复习.docx

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中考真题三角函数综合应用专题复习

历届《三角函数综合题》中考真题训练

1.（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．

2.（2017•营口）如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点A处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近距离．（结果精确到0.1海里，参考数据

≈1.41，

≈1.73）

3.（2017•黄冈）在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已知标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．（计算结果精确到0.1米，参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

4.（2017•随州）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：

tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）

5.（2017•桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）

6（2018•青羊区模拟）如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它经过了200m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α=16°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面夹角∠β=42°，求缆车从点A到点D垂直上升的距离．（结果保留整数）（参考数据：

sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74）

7.（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

8.（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：

sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）

9.（2017•长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：

sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）

10（2016•常德）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？

（参考数据：

cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，

=1.732，

=1.414）

11.（2014•黔东南州）黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

12.（2012•黔东南州）如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处．

（1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离．

（2）若货轮以45海里/时的速度在A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？

（结果保留根号）

参考答案及分析

1.（2017•贵阳）

解：

延长AD交BC所在直线于点E．

由题意，得BC=17米，AE=15米，∠CAE=60°，∠AEB=90°，

在Rt△ACE中，tan∠CAE=

，

∴CE=AE•tan60°=15

米．

在Rt△ABE中，tan∠BAE=

=

，

∴∠BAE≈71°．

答：

第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键．

2.（2017•营口）

【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：

船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，根据∠DAB=30°，AB=20，从而可求出BD、AD的长度，进而可求出CE的长度．

【解答】解：

过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，

由题意可知：

船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，

AB=30×

=20，

∵∠NAC=45°，∠NAB=75°，

∴∠DAB=30°，

∴BD=

AB=10，

由勾股定理可知：

AD=10

∵BC∥AN，

∴∠BCD=45°，

∴CD=BD=10，

∴AC=10

+10

∵∠DAB=30°，

∴CE=

AC=5

+5≈13.7

答：

船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里

【点评】本题考查解三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及勾股定理，本题属于中等题型．

3.（2017•黄冈）

【分析】如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，推出AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=

x，在Rt△AEB中，由∠E=30°，AB=5米，推出AE=2AB=10米，可得x+

x=10，解方程即可．

【解答】

解：

如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，

∴AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=

x，

在Rt△AEB中，∵∠E=30°，AB=5米，

∴AE=2AB=10米，

∴x+

x=10，

∴x=5

﹣5，

∴EF=2x=10

﹣10≈7.3米，

答：

E与点F之间的距离为7.3米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建方程解决问题．

4.（2017•随州）

【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°•x知CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．

【解答】解：

如图，作BE⊥DH于点E，

则GH=BE、BG=EH=10，

设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，

在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，

∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，

∵∠DBE=45°，

∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°•x﹣10+35，

解得：

x≈45，

∴CH=tan55°•x=1.4×45=63，

答：

塔杆CH的高为63米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

5.（2017•桂林）

【分析】在Rt△BED中可先求得BE的长，过C作CF⊥AE于点F，则可求得AF的长，从而可求得EF的长，即可求得CD的长．

【解答】解：

∵BN∥ED，

∴∠NBD=∠BDE=37°，

∵AE⊥DE，

∴∠E=90°，

∴BE=DE•tan∠BDE≈18.75（cm），

如图，过C作AE的垂线，垂足为F，

∵∠FCA=∠CAM=45°，

∴AF=FC=25cm，

∵CD∥AE，

∴四边形CDEF为矩形，

∴CD=EF，

∵AE=AB+EB=35.75（cm），

∴CD=EF=AE﹣AF≈10.8（cm），

答：

线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，利用条件构造直角三角形是解题的关键，注意角度的应用．

6.（2018•青羊区模拟）

【分析】本题要求的实际是BC和DF的长度，已知了AB、BD都是200米，可在Rt△ABC和Rt△BFD中用α、β的正切函数求出BC、DF的长．

【解答】解：

Rt△ABC中，斜边AB=200米，∠α=16°，BC=AB•sinα=200×sin16°≈54（m），

Rt△BDF中，斜边BD=200米，∠β=42°，DF=BD•sinβ=200×sin42°≈132，

因此缆车垂直上升的距离应该是BC+DF=186（米）．

答：

缆车垂直上升了186米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理解题意是解决问题的关键．

7.（2017•呼和浩特）

【分析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．

【解答】解：

过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，

由题意得：

AC=40×10=400（米）．

在直角△ACM中，∵∠A=30°，

∴CM=

AC=200米，AM=

AC=200

米．

在直角△BCM中，∵tan20°=

，

∴BM=200tan20°，

∴AB=AM﹣BM=200

﹣200tan20°=200（

﹣tan20°），

因此A，B两地的距离AB长为200（

﹣tan20°）米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．

8.（2017•张家界）【分析】根据等腰直角三角形的性质得出BC的长，再利用tan70.5°=

求出答案．

【解答】解：

∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，

∴BC=2.3m，

∵在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，

∴tan70.5°=

=

≈2.824，

解得：

AD≈4.2，

答：

像体AD的高度约为4.2m．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．

9.（2017•长春）

【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出BC的长．

【解答】解：

过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，

∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）．

即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

10.（2016•常德）

【分析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD+DC求出AC的长即可．

【解答】解：

过B作BD⊥AC，

∵∠BAC=75°﹣30°=45°，

∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，

由勾股定理得：

BD=AD=

×20=10

（海里），

在Rt△BCD中，∠C=15°，∠CBD=75°，

∴tan∠CBD=

，即CD=10

×3.732=52.77048，

则AC=AD+DC=10

+10

×3.732=66.91048≈67（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．

11.（2014•黔东南州）

【分析】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，则MN=0.25m．由小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，可得△AEM是等腰直角三角形，继而得出得出AM=ME，设AM=ME=xm，则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m．在Rt△CEN中，由tan∠ECN=

=

，代入CN、EN解方程求出x的值，继而可求得旗杆的高EF．

【解答】解：

过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，

∴MN=0.25m，

∵∠EAM=45°，

∴AM=ME，

设AM=ME=xm，

则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m，

∵∠ECN=30°，

∴tan∠ECN=

=

=

，

解得：

x≈8.8，

则EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3（m）．

答：

旗杆的高EF为10.3m．

【点评】本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．

12.（2012•黔东南州）【分析】

（1）由条件可知△ABC为斜三角形，所以作AC上的高，转化为两个直角三角形求解．

（2）求得海盗船到达D处的时间，用BD的长度除以求得的时间即可得到结论．

【解答】解：

（1）作CD⊥AB于点D，

在直角三角形ADC中，

∵∠CAD=45°，

∴AD=CD．

在直角三角形CDB中，

∵∠CBD=30°，

∴

=tan30°，

∴BD=

CD．

∵AD+BD=CD+

CD=200，

∴CD=100（

﹣1）；

（2）∵海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，

∴海盗到达D处用的时间为100（

﹣1）÷50=2（

﹣1），

∴警舰的速度应为[200﹣100（

﹣1）]÷2（

﹣1）=50

海里/时．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形来求解．