初二上册压轴题.docx
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初二上册压轴题
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1.△ABC为正三角形,点M是射线BC上任意一点,点N是射线CA上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,∠AQN等于多少度?
2.已知:
如图,△ABC中,∠A的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D,过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F.求证:
AB﹣AC=2CF.
3.某县为了落实中央的“强基惠民工程”,计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍.如果由甲、乙队先合做15天,那么余下的工程由甲队单独完成还需5天.
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元,乙队每天的施工费用为3500元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成.则该工程施工费用是多少?
4.已知:
如图,点D、E分别在AC上,DE∥BC,F是AD上一点,FE的延长线交BC的延长线于点G.求证:
(1)∠EGH>∠ADE;
(2)∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
5.已知A、B两市相距200千米,甲车从A市前往B市运送物资,行驶2小时在M地汽车出现故障不能行驶,立即通知技术人员乘乙车从A市赶去维修(通知时间忽略不计),乙车到达M地后用24分钟修好甲车后以原速度原路返回,同时甲车以原速1.5倍的速度前往B市,如图是两车距A市的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(小时)之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1)甲车提速后的速度是 千米/小时,点C的坐标是 ,点C的实际意义是 ;
(2)求乙车返回时y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围;
(3)乙车返回A市多长时间后甲车到达B市.
6.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由.
(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想△ABC的形状并证明你的结论.
7.乌梅是郴州的特色时令水果.乌梅一上市,水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅,前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg,第三天她发现市场上乌梅数量陡增,而自己的乌梅卖相已不大好,于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出,前后一共获利750元,求小李所进乌梅的数量.
8.某县为了落实中央的“强基惠民工程”,计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍.如果由甲、乙队先合做15天,那么余下的工程由甲队单独完成还需5天.
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元,乙队每天的施工费
用为3500元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成.则该工程施工费用是多少?
9.如图,在四边形ABCD中,BA=BC,AC是∠DAE的平分线,AD∥EC,∠AEB=120°.求∠DAC的度数α的值.
10.如图,已知:
E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD,且交OE于点F.
(1)求证:
OE是CD的垂直平分线.
(2)若∠AOB=60°,请你探究OE,EF之间有什么数量关系?
并证明你的结论.
11.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
①求证:
△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
12.如图,在△ABC中,∠BAC=110°,点E、G分别是AB、AC的中点,DE⊥AB交BC于D,FG⊥AC交BC于F,连接AD、AF.试求∠DAF的度数.
13.为庆祝2015年元旦的到来,学校决定举行“庆元旦迎新年”文艺演出,根据演出需要,用700元购进甲、乙两种花束共260朵,其中甲种花束比乙种花束少用100元,已知甲种花束单价比乙种花束单价高20%,乙种花束的单价是多少元?
甲、乙两种花束各购买了多少朵?
14.小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题:
“如图
(1),在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.小敏与小颖讨论后,进行了如下解答:
(1)取特殊情况,探索讨论:
当点E为AB的中点时,如图
(2),确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AE DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:
如图(3),过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出图形,并直接写出结果).
15.如图,已知:
在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD.图中的CE、BD有怎样的大小和位置关系?
试证明你的结论.
16.我市某学习机营销商经营某品牌A、B两种型号的学习机.用10000元可进货A型号的学习机5个,B型号的学习机10个;用11000元可进货A型号的学习机10个,B型号的学习机5个.
(1)求A、B两种型号的学习机每个分别为多少元?
(2)若该学习机营销商销售1个A型号的学习机可获利120元,销售1个B型号的学习机可获利90元,该学习机营销商准备用不超过30000元购进A、B两种型号的学习机共40个,且这两种型号的学习机全部售出后总获利不低于4440元,问有几种进货方案?
这几种进货方案中,该学习机营销商将这些型号的学习机全部售出后,获利最大的是哪种方案?
最大利润是多少?
17.如图1,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的运动速度相同,连接AQ、CP交于点M.
(1)求证:
△ABQ≌△CAP;
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,∠QMC变化吗?
若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠QMC变化吗?
若变化,请说明理由;若不变,则求出它的度数.
18.如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,E是BC的中点,DE⊥AB,垂足为点F,且AB=DE.
(1)求证:
BD=BC;
若BD=8cm,求AC的长.
19.在△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=__________
(2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=__________
(3)思考:
通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?
请用式子表示:
__________
(4)如图3,如果AD不
是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?
如有,
请你写出来,并说明理由.
20.(2015•徐州一模)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
①求证:
△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
21.已知:
点A、C分别是∠B的两条边上的点,点D、E分别是直线BA、BC上的点,直线AE、CD相交于点P点,D、E分别在线段BA、BC上.若∠B=60°,且AD=BE,BD=CE,求∠APD的度数.
22.如图,△ACB和△ECD都
是等腰直角三角形,A、C、D三点在同一直线上,连接BD、AE,并延长AE交BD于F.
(1)求证:
AE=BD;
(2)试判断直线AE与BD的位置关系,并证明你的结论.
23.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O
作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF.求证:
AE=AF.
24.几个小伙伴打算去德州看音乐演出,他们准备用180元钱购买门票.下面是两个小伙伴的对话:
小红说:
如果今天去看演出,我们每人一张票,正好会差一张票的钱.
小明说:
过两天就是“儿童节”了,那时候去看演出,票价会打六折,我们每人一张票,还能剩36元钱呢!
根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.
25.已知△ABC是等边三角形,点D是直线BC上一点,以AD为一边在AD的右侧作等边△ADE
.
(1)如图①,点D在线段BC上移动时,直接写出∠BAD和∠CAE的大小关系;
(2)如图②,点D在线段BC的延长线上移动时,猜想∠DCE的大小是否发生变化.若不变请求出其大小;若变化,请
说明理由.
26.问题背景:
如图1:
在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ;
探索延伸:
如图2,若在四边
形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
实际应用:
如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.
27.已知:
点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图1,若点O在边BC上,求证:
AB=AC;
(2)如
图2,若点O在△ABC的内部,求证:
AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?
请画出图表示.
28.如图
(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥A
B,垂足为D.AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F
(1)求证:
CE=CF.
将图
(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使点E′落在BC边上,其它条件不变,如图所示.试猜想:
BE′与CF有怎样的数量关系?
请证明你的结论.
29.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支,第二次又用600元购进该款铅笔,但这次每支的进价是第一次进价的
倍,购进数量比第一次少了30支.
(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元?
若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元,问每支售价至少是多少元?
30.在等腰直角三角形AOB中,已知AO⊥OB,点P、D分别在AB、OB上,
(1)如图1中,若PO=PD,∠OPD=45°,证明△BOP是等腰三角形.
(2)如图2中,若AB=10,点P在AB上移动,且满足PO=PD,DE⊥AB于点E,试问:
此时PE的长度是否变化?
若变化,说明理由;若不变,请予以证明.
31.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
若CD=2,求DF的长.
32.如图已知,CE⊥AB,BF⊥AC,BF交CE于点D,且BD=CD.
(1)求证:
点D在∠BAC的平分线上;
若将条件“BD=CD”与结论“点D在∠BAC的平分线上”互换,成立吗?
试说明理由.
33.某号台风的中心位于O地,台风中心以25千米/小时的速度向西北方向移动,在半径为240千米的范围内将受影响、城市A在O地正西方向与O地相距320千米处,试问A市是否会遭受此台风的影响?
若受影响,将有多少小时?
34.感知:
如图①,点E在正方形ABCD的边BC上,BF⊥AE于点F,DG⊥AE于点G,可知△ADG≌△BAF.(不要求证明)
拓展:
如图②,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E、F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC,求证:
△ABE≌△CAF.
应用:
如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为9,则△ABE与△CDF的面积之和为 .
35.
(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB的度数为 ;②线段AD,BE之间的数量关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
36.如图1,△ABC是边长为4cm的等边三角形,点P,Q分别
从顶点A,B同时出发,沿线段AB,BC运动,且它们的速度都为1cm/s.当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
连接AQ、CP,相交于点M,如图2,则点P,Q在运动的过程中,∠CMQ会变化吗?
若变化,则说明理由;若不变,请求出它的度数.
37.如图,AB=AC,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,交AC于点F,∠A=50°,AB+BC=6.求:
(1)△BCF的周长;
(2)∠E的度数.
38.已知:
在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.
(1)直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G(如图1),求证:
AE=CG;
(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图2),找出图中与BE相等的线段,并证明.
39.如图1,P为等边△ABC的边AB上一点,Q为BC延长线上一点,且PA=CQ,连PQ交AC边于D.
(1)证明:
PD=DQ.
(2)如图2,过P作PE⊥AC于E,若AB=2,求DE的长.
40.四边形ABCD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成,将一个60°角顶点放在D处,将60°角绕D点旋转,该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N.交直线AB于E、F两点,
(1)当E、F分别在边AB上时(如图1),求证:
BM+AN=MN;
(2)当E、F分别在边BA的延长线上时如图2,求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系 ;
(3)在
(1)的条件下,若AC=5,AE=1,求BM的长.
41.已知:
如图,△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形,且BE=AD,△CDE是等边三角形.求证:
△ABC是等边三角形.
42.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线DE交AC于D,垂足为E,若
∠A=30°,CD=3.
(1)求∠BDC的度数.
(2)求AC的长度.
43.如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED.
(1)写出图中所有的全等三角形;
(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°,求∠AFE的度数.
44.已知:
如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是中线,F是CE的中点,CD=
AB,求证:
DF⊥CE.
45.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,以AC为边作等边△ACD,并作斜边AB的垂直平分线EH,且EB=AB,联结DE交AB于点F,求证:
EF=DF.
46.如图,正方形ABCD的边长为4厘米,(对角线BD平分∠ABC)动点P从点A出发沿AB边由A向B以1厘米/秒的速度匀速移动(点P不与点A、B重合),动点Q从点B出发沿折线BC﹣CD以2厘米/秒的速度匀速移动.点P、Q同时出发,当点P停止运动,点Q也随之停止.联结AQ,交BD于点E.设点P运动时间为t秒.
(1)用t表示线段PB的长;
(2)当点Q在线段BC上运动时,t为何值时,∠BEP和∠BEQ相等;
(3)当t为何值时,P、Q之间的距离为2
cm.
46.如图,△ABC中,AB=AC=5,∠BAC=100°,点D在线段BC上运动(不与点B、C重合),连接AD,作∠1=∠C,DE交线段
AC于点E.
(1)若∠BAD=20°,求∠EDC的度数;
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE?
试说明理由;
(3)△ADE能成为等腰三角形吗?
若能,请直接写出此时∠BAD的度数;
若不能,请说明理由.
47.如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有 .(把你认为正确的序号都填上)
48.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求证:
BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.
求证:
①ME⊥BC;②DE=DN.
49.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB上一点,连接CD,过点A、B分别向CD作垂线,垂足分别为点F、E,试判断AF、BE与EF之间的数量关系,并证明你的结论.
50.
(1)如图①,在△ABC中,分别以AB,AC为边作等边△ABD和等边△ACE,猜想CD与BE有什么样的数量关系,直接写出结论,不需证明;
(2)如图②,在
(1)的条件下,若△ABC中,AB=AC,连结DE分别交AB、AC于点M、N,猜想DM与EN有什么样的数量关系,证明你的结论;
(3)如图③,在
(1)的条件下,若△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,连结DE分别交AB、AC于点M、N,则有DM=EM,请证明.
51.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,
①求证:
△BCE≌△ACD;
②判断△CFH的形状并说明理由.
52.如图,已知△ABC中AB=AC,BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA,BD交AC于F,连接AD,
①直接写出∠BDC与∠BAC之间的关系式;
②求证:
△ABD为等腰三角形;
③当∠EBA的大小满足什么条件时,以A、B、F为顶点的三角形为等腰三角形?