数字信号处理课程设计双线性变换法设计数字高通滤器.docx
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数字信号处理课程设计双线性变换法设计数字高通滤器
《数字信号处理》课程设计报告
题目双线性变换法设计数字高通滤器
学院信息工程学院
专业通信工程
班级1004
学号20100135982010013643
学生姓名陈涛周亮
指导教师刘振
二0一二年十二月
一前言
数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。
因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。
而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。
数字信号处理的算法需要利用计算机或专用处理设备如数字信号处理器（DSP）和专用集成电路（ASIC）等。
数字信号处理技术及设备具有灵活、精确、抗干扰强、设备尺寸小、造价低、速度快等突出优点，这些都是模拟信号处理技术与设备所无法比拟的。
巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种。
巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑。
这种滤波器最先由英国工程师斯替芬·巴特沃斯（StephenButterworth）在1930年发表在英国《无线电工程》期刊的一篇论文中提出的。
数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
此课程设计主要介绍了用双线性不变法设计数字高通滤波器，要求采用巴特沃斯型滤波器，介绍了设计步骤，然后在MATLAB环境下进行了仿真与调试，实现了设计目标。
二课程设计的目的和意义
1.了解和掌握使用MATLAB的应用过程和方法，学会使用MATLAB。
2.进一步掌握数字信号处理课程的基本理论﹑基本方法和基本技术。
3.增进对MATLAB的认识，利用MATLAB加深对理论知识的理解。
4.进一步掌握双线性不变法的原理和巴特沃斯滤波器原理。
5.学会如何用巴特沃斯滤波器结合双线性不变法去设计数字高通滤波器。
6.能提高我们动手操作能力，这对我们以后很有帮助。
三课程设计题目描述及要求
双线性变换法设计数字高通滤波器
设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率wp=0.7
rad，通带衰减不大于3dB,阻带截止频率ws=0.4
rad，阻带衰减不大于20dB。
采用巴特沃斯型滤波器。
四详细设计过程
1.设计思想
对于数字高通滤波器的设计，通常方法为双线性变换。
可以借助于模拟滤波器的频率变
换设计一个所需类型的过渡模拟滤波器，再通过双线性变换将其转换成所需类型的数字滤波器，例如高通数字滤波器。
具体设计步骤如下：
（1）确定所需类型数字滤波器的技术指标。
（2）将所需类型数字滤波器的边界频率转换成模拟滤波器的边界频率，转换公式为
（3）将相应类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。
（4）设计模拟低通滤波器。
（5）通过频率变换将模拟低通转换成相应类型的过渡模拟滤波器。
（6）采用双线性变换法将相应类型的过渡模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。
从归一化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率变换成为所需类型的模拟滤波器；然后进行双线性变换，由S域变换到Z域，而得到所需类型的数字滤波器。
2.设计原理
2.1巴特沃斯型滤波器原理
巴特沃斯型滤波器是滤波器的一种设计分类，其采用的是巴特沃斯传递函数，有高通﹑低通﹑带通和带阻等多种滤波器类型。
巴特沃斯滤波器的特点是是同频带内的频率响应曲线最为平坦，没有起伏，而在组频带则逐渐下降为零。
在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界见频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向于负无穷大。
它具有单调下降的幅频特性。
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数
用下式表示：
=
式中，N称为滤波器的阶数。
当
=0时，
=1；
=
c时，
=
，
c是3dB截止频率。
在
=
c附近，随
加大，幅度迅速下降。
幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大，通带愈平坦，，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快，总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为
（2.1.1）
其中C为一常数参数，N为滤波器阶数，
为归一化低通截止频率,
。
式中N为整数，是滤波器的阶次。
N=4
N=10
N=2
1
0.707
图2.1.2巴特沃斯低通滤波器的振幅特性
巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N阶低通滤波器在
处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。
巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图2.1.2所示。
滤波器的特性完全由其阶数N决定。
当N增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由（2.1.1）式决定了在
处的幅度函数总是衰减3dB，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。
滤波器的振幅特性对参数N的依赖关系如图
2.1.2所示。
设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为
，归一化传递函数为
，其中
，得：
由于
1
图2.1.3巴特沃斯低通滤波器指标
所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。
常用设计巴特沃斯低通滤波器指标
：
通带截止频率；
：
通带衰减，单位：
dB；
：
阻带起始频率；
：
阻带衰减，单位：
dB。
说明：
（1）衰减在这里以分贝（dB）为单位；即
（2）当
时
为通常意义上的截止频率。
（3）在滤波器设计中常选用归一化的频率
，即
在二维复平面上
在s=jω点的数值=|H（ω）|2,因此通过解析延拓:
上述函数的极点等距离地分布在半径为ωc的圆上
k=0,1,2,.....,n-1
因此,
k=0,1,2,....,n-1
n阶巴特沃斯低通滤波器的振幅和频率关系可用如下的公式表示：
其中：
∙G表示滤波器的放大率，
∙H表示传递函数，
∙j是虚数单位，
∙n表示滤波器的级数，
∙ω是信号的角频率，以弧度/秒为单位，
∙
是振幅下降3分贝时的截止频率。
令截止频率ωc=1,将上列公式规定一化成为：
2.2双线性变换法原理
双线性变换法是从频域出发，使DF的频率响应与AF的频率响应相似的一种变换法。
直接使数字滤波器的频率响应，逼近模拟滤波器的频率响应,进而求得H（z）。
优点：
（1）避免了频率响应的混迭现象。
（2）在特定AF和特定DF处，频率响应是严格相等的，它可以较准确地控制截止频率的位置。
（3）它是一种简单的代数关系，设计十分方便。
缺点：
（1）除了零频率附近，ω与Ω之间严重非线性，即线性相位模拟滤波器变为非线性相位数字滤波器
（2）
要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变。
（2）对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。
双线性变换法的映射关系
双线性变换法与脉冲响应不变法不同，它是一种从S平面到z平面简单映射。
双线性变换中数字域与频率和模拟频率之间的非线性关系限制了它的应用范围，只有当非线性失真是允许的或能被裣时，才能采用双线性变换法，通常低通、高通、带通和带阻等滤波器等具有分段恒定的频率特性，可以采用预畸变的方法来补偿频率畸变，因此可以采用双线性变换设计方法。
3.设计过程
3.1巴特沃斯模拟滤波器的设计
（1）计算归一化频率
，
。
（2）根据设计要求按照
和
其中
计算巴特沃斯滤波器的参数C和阶次N；注意
当
时C=1。
（3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数
；
（4）令
中的
得到截止频率为
的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。
3.2巴特沃斯模拟滤波器转变为数字高通滤波器
（1）确定数字高通的技术指标：
wp=0.7
rad，
ap=3dB
ws=0.4
rad，as=20dB
（2）将高通数字滤波器的技术指标转换成高通模拟滤波器的设计指标：
令T=2s，预畸变校正得到模拟边界频率
p=tan
wp=1.9626ap=3dB
=tan
ws=0.7265as=20dB
（3）模拟低通滤波器的技术指标计算如下：
对通带边界频率归一化
ap=3dB
求出归一化低通滤波器的阻带截止频率
=2.7014as=20dB
（4）设计归一化模拟滤波器G（p）
=
=2.7014
=2.3167
取N=3
查表得到归一化模拟低通原型系统函数G（p）
G（p）=
（5）利用频率变换公式将G（p）转换成模拟高通
=
=
（6）用双线性变换法将模拟高通
转换成数字高通
程序如下：
wpz=0.7;
wsz=0.4;
rp=3;
rs=20;
[N,wc]=buttord（wpz,wsz,rp,rs）;
[Bz,Az]=butter（N,wc,'high'）;
[hw,w]=freqz（Bz,Az,512）;
plot（w/pi,20*log10（abs（hw）））;
grid
axis（[0,1,-200,10]）
title（'ButterworthTypeHighpassDigitalFilter'）
xlabel（'w/pi'）;
ylabel（'幅度（dB）'）;
图1数字高通滤波器
五总结
1.设计过程中遇到的问题及解决办法
一个线性是不变系统的典型表达式有状态空间型、传递函数型、零极增益型、极点留数型共四种，在开始的设计过程中我发现在把零极点增益型向传递函数型的转换过程中多用了一步，即先把零极点增益型转换为状态空间型，进行相应的频率变换和双线性变换后，再由状态空间型转换为传递函数型，进而绘制出其频率响应图，但是经仿真分析后发现，性能并不理想，所以并没有采用。
在设计过程中，对MATLAB及WORD的使用不够熟练，导致有时会出现错误。
所以就必须去多练习，才能熟能生巧。
2.总结与体会
在课设之前，我对MATLAB软件，特别是滤波器设计中的函数基本上处于一种模糊状态。
通过在学校的电子资源的期刊网上找了些论文资料，借阅图书，一点一滴的自学，以及和同学不断的交流，最后完成了这次课设，对滤波器的设计有了比较清楚的了解。
这次课程设计极大的拓展了我的知识，让我知道了以前好多不知道的，让我现在能熟练运用MATLAB和WORD，让我对以后的学习充满了信心。
总的来说，这次课程设计让我对MATLAB有了更深刻的了解，对数字滤波器的设计流程有了大致的了解，掌握了一些设计滤波器的基本方法，提高了理论用于实践的能力，掌握了更多专业相关的使用知识与技能。
同时，也暴露了我很多的不足，在以后的学习中，将进一步发扬有点，克服缺点。
最后我得感谢刘振老师的指导才能顺利完成这次课程设计。
参考文献
[1]丁玉美.高西全.《数字信号处理第二版》.西安.西安电子科技大学出版社.2001
[2]高西全.《数字信号处理（第二版）学习指导书》.西安.清华大学出版社.2001
[3]万永革.数字信号处理的MATLAB实现.科学出版社.2007
[4]高西全.丁玉美.数字信号处理--原理，实现及应用.北京.电子工业出版社.2006
[5]王宏.MATLAB6.5及其在信号处理中的应用.北京.清华大学出版社.2004
[6]刘顺节，吴杰.数字信号处理.西安：
西安电子科技大学出版社，2003
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