2<2^,O<|z-zo|<
上连续，记rr={z|\z-Zq\=GD},r\的方向是逆时针，且
lim（z-Zo）/⑵二力，
%、
limf.f（z）dz=i（&-OJA.
r->0*JR
以及
［提示］利用积分的估值性，并注意到f」一（k=i（d-q）,J几Z—Zo
J/（z）dz-z⑹-&“訂（7心％訂脸-5）/⑵-川圈.J几孔Z—Zo兀r
7.熟练掌握以下几种类型的实积分利用留数来计算的方法
1形如J/?
（cos&,sin〃）d〃或|7?
（cos^5sin0）A0的积分，其中/?
（cos〃,sin。
）J（）J-2T
是三角有理函数，且分母函数在［0,2刃或［-矩刃上恒不为零.
特别，当R（cos0,sin0）是偶函数时，还可考虑积分「7?
（cos&,sin0）d0.
J0
注意：
•当被积函数是cos'g或sin2^的有理函数时，可先用公式
cos2&=丄（1+cos20）或sin2^=—（1-cos20）
22
降次，再计算.
•当被积函数是
R（cos0,sin0）•cosm0或7?
（cos0,sin0）•sinm0
时，可利用欧拉公式将积分先化为
Z?
（cos0,sin&）cosM〃d〃=Re［7?
（cos0,sin0）-el,n<）A0
［/?
（cos0ysin^）•sinm0d=Im［/?
（cos0,sin0）-e"n（）d0
JoJo
再计算.
r+oo
2形如］R（x）dx的反常积分，其中R（x）为实有理函数.
J-00
f4-00特别，当/?
（x）是偶函数时，还可考虑积分［/?
（x）ck.
Jo
注意：
此类型的积分的柯西主值（P・V・值）用留数来计算时，可分两种情况补充积分路径•当/?
（兀）的分母在i上恒不为零时，可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径.
•当/?
（兀）的分母在i上仅有一阶零点时，可用以原点为心充分大的正数7?
为半径的上半圆周和以/?
（兀）在i上的一阶零点为心充分小的正数w为半径的上半圆周作为补充路径.
f*00.
形如fR{x\eunxAx或
J-00
/?
（x）-cos/?
?
xiv或
r+oo
J-00
/?
（%）•sinmx（Xx的反常积分，
其中Z?
（x）为实有理函数，加＞0.
f+oo
特别，当/?
（兀）是偶函数时，还可考虑积分£7?
（兀）•cosnude;当7?
（兀）是奇函数时,
r+8
也可考虑积分I/?
（x）・sinmxd「
Jo
注意：
此类型的积分的柯西主值（P.V.值）用留数来计算时，可分两种情况补充积分路径
•当/?
（x）的分母在i上恒不为零时，可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补
充路径.
•当/?
（兀）的分母在i上仅有一阶零点时，可用以原点为心充分大的正数/?
为半径的上半圆周和以7?
（兀）在i上的一阶零点为心充分小的正数£为半径的上半圆周作为补充路径.
④被积函数含有因子lnx,於，寸丽和寸丽的实积分
注意：
此类型的积分的柯西主值（P・V•值）用留数来计算时，常选择相应多值函数的支割线的两沿以及单独围绕各支点的适当圆周作为补充积分路径.
8.理解对数留数—［丄@灰的几何意义，掌握对数留数的计算公式.并掌握下面的一2加*/⑵
个结论：
若％是函数/（Z）的加阶零点或加阶极点，则z（）必为以勺的一阶极点，且
当％是函数/（z）的血阶零点时，Res/⑺=加;
当z（）是函数/（z）的m阶极点时，Res'⑵=-加.
t/⑵
9.正确理解幅角原理与儒歇定理的条件和结论，并能熟练地运用幅角原理和儒歇定理来讨论区域内函数的零点和极点的分布情况或者方程根的分布情况.
1（）.附：
孤立奇点处留数的常用计算方法；合理使用留数定理计算复积分的技巧；补充积分路径利用留数计算实积分的基本思路;用儒歇定理讨论解析函数在有界区域内零点的个数的思路.
•孤立奇点处留数的常用计算方法
我们仅对函数的孤立奇点才定义留数，对有限孤立奇点处的留数的计算归纳起来，主
要有下面的三种常用方法，
①洛朗展式法，即若于（Z）在其孤立奇点Q的去心邻域0—内的罗郎展式为
f（z）=L+~+LH—+c°+C]（z-a）+L+c”（z-d）"+L
（z—Q）z-a
则Res/（z）=c_（,其中c-是罗郎展式中丄这一项的系数。
这种方法是留数计算的一般mz-a
方法.
②孤立奇点的类型法，即根据孤立奇点的具体类型来计算留数的方法，其具体方法如下:
对可去奇点处的留数
若Q为函数/（z）的可去奇点，则Res/（z）=o.
z=a
对极点处的留数
若点。
为函数/（Z）的m阶极点，则
Res/（z）=—lim[（z-胖•/⑵]（心）•m（777-1）!
f
特别，若点d为函数/（z）的1阶极点，则Res.f（z）=lim（z-d）・/（z）.
z=az->a
若点Q为函数/（z）的1阶极点，且广
（2）=匹丄，其中0（z）和肖（Z）都在点Q解析,肖⑵
0（d）
0（d）
0（。
）工0,妙（。
）=0,妙‘⑷工0（即a为妙⑵的1阶零点）,则
Res/（z）=lim（z-a）/（z）=
z-az->a
若点。
为函数/（z）的2阶极点，则
Res/（z）=lim[（z-a）2./（z）y.
Z-aZTd
严（a）
（加一1）!
若/⑵=（:
X"'其中e（z）在点a解析，则
Res/⑵=lim[（z-a）fn•于⑵严）m（7/7-1）!
zw
（这个公式表明：
只要点。
是/（Z）的至多m阶极点，我们仍可用m阶极点留数的计算公式
计算Res/U））
2=4
对本性奇点处的留数
本性奇点处的留数的计算一般直接用洛朗展式法计算.
3留数定理法，即若函数于（z）在扩充复平面上只有有限个孤立奇点匚，4,
00.则/（込）在扩充复平面上的所有奇点（包括00）处的留数之和等于0.即
ReS/（z）+XRes/U,）=O.
注意：
方法③会涉及到00处的留数.
对孤立奇点00处的留数的计算有下面的三种常用方法：
①洛朗展式法，即若于⑵在其孤立奇点00的去心邻域内的罗郎展式为
/（z）=L+—^-+L+—+c（）+L+c”z"+L
zz
则Res/Xz）=_j・
2=8
注意此公式与有限孤立奇点处留数计算公式的区别.
②化为有限孤立奇点处的留数，即
Resg
Z=0O
③留数定理法，即若函数/（z）在扩充复平面上只有有限个孤立奇点召，3L,乙，
00.则
R即⑵诗陰心.
注意：
关于函数在孤立奇点8处的留数，我们不能根据孤立奇点oo的类型来计算，例如，oo为函数于⑵的可去奇点，并不一定保证Res/U）=0（如/（z）=-,显然oo为它的可
K£
去奇点，但Res/⑵=-1*0）.
Z=oo
•使用留数定理计算复积分的技巧
留数定理和留数定理的推广提供了计算围线积分的一种方法，它是对第三章复积分计算的一种补充.通常在计算复积分J/（z）dz（其中C是围线）时，如果.f（z）在围线C内部
的孤立奇点不太多，可考虑用留数定理，将此积分的计算化为函数/（z）在C内部各孤立奇点处的留数来计算；如果.f（z）在围线C内部的孤立奇点比较多，而在C外部的孤立奇点（包括00）不太多，可考虑用留数定理的推广，将此积分的计算化为函数/（z）在C外部各孤立奇点（包括g）处的留数来计算.
•补充积分路径利用留数计算实积分的基本思路
对于一个实函数/（兀）沿兀轴上一条有限线段［a,b］的积分Cf\x）dx,我们在平面上
Ja
补充一条或几条适当的辅助曲线厂，使线段⑺上］和：
r一起构成一条围线，并围成一个区域
D（如下图）.
如果存在除D内有限个点外解析，在万=D+C上也除这有限个点外连续的辅助函数
g（z）,使得在［。
切上g（z）或g（z）的实部或虚部中的一个等于/（x）,则由留数定理就有
fMdx+jrg（z）dz=2加工
其中刀是g（z）在D内的奇点处的留数总和.
假如上式中的第二个积分能够计算出来，则ff（x）dx的计算问题就解决了.
Ja
如果。
或b不是有限数，则积分ff（x）dx为反常积分，此时，可由上式两端取极限,
Ja
如能求得［g（z）dz的极限，就能至少得到所求反常积分的柯西主值（注意，当反常积分收敛时，柯西主值就是反常积分的值；通常情况下，所考虑的问题，只要求得到柯西主值即可）.
•用儒歇定理讨论解析函数在有界区域内零点的个数的思路
儒歇定理是讨论解析函数在区域内零点分布或方程在区域内根的个数的一种强有力的工具.
用儒歇定理讨论解析函数F（z）在有界区域Q内零点的个数或者方程F（z）=0在D内根的个数时，其关键是寻找满足定理要求的/U）,而0（z）可通过F（z）-/（z）来得到,其中/（z）可按下面的两个原则来寻找：
一方面/（z）在D的零点个数比较容易得到，另一方面在区域D的边界上，）|=|F（z）-/（z）|.
二.问题研究
问题1：
探讨下面几类实积分的留数计算的一般公式：
公式1：
若实有理函数R（x）=^~满足：
P⑴和0（兀）互质，分母Q（QhO（xej）,
QM
且5Q>8P+2,则
fR（x）dx=2加VRes7?
⑵，
5Imz,>0f
其中亞是/?
（z）在上半平面内的孤立奇点，yRes/?
a）表示对R（z）在上半平面内的所
Inu*>0z=Zk
有孤立奇点的留数求和.
公式2：
若实有理函数7?
⑴=£凶满足：
戶（兀）和!
2d）互质，分母0（x）hO（xei）,
QM
且dQ>dP+\,m>0,则
R（x）eimxd.x=2加丫
Imz4>0
其中族是R⑵在上半平面内的孤立奇点>yRes7?
（z疋加表示对R（z）eimz在上半平面
ImZt>0
内的所有孤立奇点的留数求和.
公式3:
若实有理函数R⑴满足：
P（x）和0（兀）互质，分母0（兀）在i上仅有QM
一阶零点，且dQ>8P+l,m>0,则
PRMeimxdx=27ri（VRes/?
（zk，W2+-工Res/?
⑵/*）,
sTm族>02jmz>=os右
其中族是R（z）在上半平面内的孤立奇点，右是R（z）在i上的一阶极点.
公式4：
若实有理函数R（兀）=些1满足：
P（x）和0（x）互质，<2（兀）在/?
+=[0,+oo）
QM
上恒不为零，且8Q>cP+l,0晋g]—宀
yrcs空
z_ja
4赳\|0・+8）z=Zkz
其中疋为£\[0,+Q上满足疋|口上=1的解析分支（即主值支），$为畀在£\[0,+a））内的孤立奇点，即0（Z）在£\[0,+oo）内的零点.
公式5:
若实有理函数/?
（兀）二竺满足：
P（Q和Q（Q互质，0（兀）在R+=[0,+oo）
QM
上恒不为零，且8Q>8P+2,则
£/?
（x）lnxdx=
=——[-4/r2rR（x）dx+2加VRes/?
（z）ln2z]4加1后炖）f
=-CR（x）dx--YRes7?
（^）ln2^
i）2qw£\[0・xo）沪乂
其中Inz为£\[0,+oo）上满足lnz2=lf.=0的解析分支（即主值支）,比为解析分支
/?
（z）ln2z在£\[0,+8）内的孤立奇点，即0匕）在£\[0,+oo）内的零点.
公式6:
设实有理函数/?
（兀）=£（9满足：
PCx）和Q（Q互质，分母Q（x）在[0,1]上
0（x）
恒不为零，则
（1）
L1
/?
（x）Vx\l-xrAdx=
XRes/（皿（1W
zAe£\[0J]
+ResR（z）Qh（l—
2=8
其中钗Q-旷为£\[0,l]上满足在割线[0,1]的上沿取正数的解析分支（即主值支）,s
为解析分支R（讽“-旷在£\[0,1]内的孤立奇点，即0匕）在£\[0,1]内的零点.
其中钗（1-旷为£\［0,1］上满足在割线［0,1］的上沿取正数的解析分支（即主值支），兀为解析分支/R⑺在£\［0,1］内的孤立奇点，即！
2
（2）在£\［0,1］内的零点.
问题2：
按下面的步骤探讨数项级数的和：
第一步：
设C“表示曲线
x=土（N+—）71和y=土（N+—）71
围成的正方形区域的边界，其中W为正整数，C”的方向为逆时针.
（1）证明：
对任意复数z=x+iyef,总有
sinz»sinx\和|sinz.>|sinhy\
其中sinhy=—（R—e~y）.
2
（2）利用
（1）证明：
在正方形区域的竖边界上有|sinz|>l;而在正方形区域的竖边界
77
上有sinsinh—.从而存在与N无关的正常数A,使得对任意zeCN,都有
sinz>A.
第二步：
（1）利用留数定理证明:
问题3:
按下面的步骤探究儒歇定理的另一种证法.
设D是有界区域，C为其边界，/（z）和g（z）都在万=D+C上解析，且在C上,
|/⑵|>|g⑵I，对任意虫［0,1］，
（1）证明：
对每一个固定的虫［0,1］,函数/（z）+rg（z）在Q内解析，在5=£>+C±连续，且在C上
\f（z）+绘⑵|>0・
（2）在［0,1］上定义函数如下：
①⑴
•广⑵+収⑵c/⑵+/g⑵
证明：
a）对每一个固定的re［0,lJ,①（r）表示函数/（z）+孩（z）在区域D零点的个数;
b）对任意r,/（）e[0,1],
mmJ厂g‘—广•
（/+rg）（/+r°g）一（\f\-\g\）2
C）对任意r,r（）GL0,lJ,存在常数A>0,使得
|①⑴-①仏）|=
271
、f・gT'・g
dg）dog）
dz
其中仕
（3）证明：
①（/）为［0,1］上连续的函数，且为常函数.从而①（0）二①
（1）,即
/⑵和/⑵+g⑵
在D内有相同的零点个数.
参考文献：
［1］方企勤.复变函数教程.北京：
北京大学出版社，1996:
148〜189.
［2］余家荣.复变函数（第三版）.北京：
高等教育出版社，2000:
88-108.
［3］郑建华.复变函数.北京：
清华大学出版社，2005:
74〜94.
［4］范宜传，彭清泉.复变函数习题集.北京：
高等教育出版社，1980:
136〜155.
［5JJamesWardBrownandRuelV・Churchill.ComplexVariablesandApplications（SeventhEdition）.McGraw-HillHigherEducationBurrRidge>IL,2004.
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