圆方程高考历年真题精选.docx
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圆方程高考历年真题精选
圆与方程高考真题精选
2009年考题
1.（2009辽宁）已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）
2222
（A）（x1）2（y1）22（B）（x1）2（y1）22
（C）（x1）2（y1）22（D）（x1）2（y1）22
【解析】选B.圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2
即可.
2.（2009浙江）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）
A．3B．4C．5D．6
345
【解析】选B.由于3，4，5构成直角三角形S，故其内切圆半径为r=1,当该圆运动时，最多与直角三角形S的两边也有4个交点。
3.
（2009上海）.过圆C：
（x1）2（y1）21的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足SS￥SS|||,则直线AB有（）
（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条
【解析】选B.由已知，得：
SIVSIISIIISI,，第II，IV部分的面积是定值，所以，
SIVSII为定值，即SIIISI,为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直
线AB只有一条，故选B。
4.（2009湖南）已知圆C1：
（x1）2+（y1）2=1，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为（）
a1b1
解析】选B.设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，有
22
b1
1
a1
解得：
a2，对称圆的半径不变，为1，故选B.
5.（2009陕西高考）过原点且倾斜角为
b2
60的直线被圆学x2y24y0所截得的弦长为科网
6.（2009重庆高考）直线yx1与圆x2y21的位置关系为（
选B。
解析】选A.方法1（直接法）：
设圆心坐标为（0,b），则由题意知（01）2（b2）1，解得b2，
故圆的方程为x2（y2）21。
方法2（数形结合法）：
由作图根据点（1,2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为
x2（y2）21方法3（验证法）：
将点（1，2）代入四个选择支排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C。
8.（2009上海高考）过点P（0,1）与圆x2y22x30相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（）
（A）x0.（B）y1.（C）xy10.（D）xy10.
【解析】选C.点P（0,1）在圆x2y22x30内，圆心为C（1，0），截得的弦最长时的直线为CP，方程是xy1，即xy10。
11
9.（2009广东高考）以点（2，1）为圆心且与直线xy6相切的圆的方程是.
【解析】将直线xy6化为xy60,圆的半径r|216|5,112
2225
所以圆的方程（x2）2（y1）2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2
答案:
（x2）2（y1）225
2
10.（2009天津高考）若圆x2y24与圆x2y22ay60（a>0）的公共弦的长为23，则aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m。
【解析】由知x2y22ay60的半径为6a2，由图可知6a2（a1）2（3）2解之得a1
答案:
1.
11.（2009全国Ⅱ）已知AC、BD为圆O:
x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M1,2,则四边形ABCD的面积的最大值为。
【解析】设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d12+d22OM23.
四边形ABCD的面积S1|AC||BD|2（4d12）（4-d22）
2
2（1d2）（4-d2）2（d2-23）245
0d223
当d223时S四边形ABCD有最大值为5.
2
答案:
5.
12.（2009全国Ⅱ）已知圆O：
x2y25和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成
的三角形的面积等于
1
【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=（x-1），即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别
2
51525
是5和5，所以所求面积为15525。
2224
答案:
25
4
13.（2009湖北高考）过原点O作圆x2+y2－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，
则线段PQ的长为。
【解析】可得圆方程是（x3）2（y4）25又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ4
答案:
4
2222
14.（2009四川高考）若⊙O1:
x2y25与⊙O2:
（xm）2y220（mR）相交于A、B两点，
且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是.w
【解析】由题知O1（0,0）,O2（m,0），且5|m|35，又O1AAO2，所以
m2（5）2（25）225m5，∴AB25204。
5
答案:
4.
x12cos
15.（2009福建高考）已知直线l:
3x+4y-12=0与圆C:
（为参数）试判断他们的公
y22sin
共点个数.
【解析】圆的方程可化为（x1）2（y2）24.
其圆心为C（1,2）,半径为2.
圆心到直线的距离d|3
（1）4212|72
32425
故直线与圆的公共点个数为2.
答案：
2
x4cost,x8cos,
16.（2009海南、宁夏高考）已知曲线C1：
（t为参数），C2：
（为参
y3sint,y3sin,
数）。
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线
2
2
解析】（
Ⅰ）C1:
（x4）2（y3）21,C2:
6x4y91.
C1为圆心是（4,3），半径是1的圆.
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当t时，P（4,4）.Q（8cos,3sin）,故M（24cos,23sin）.
22
2）设P为平面上的点，满足：
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
化简得：
24k27k0,k0或k
24
求直线l的方程为：
y0或y7（x4），
24
即y0或7x24y280
（2）设点P坐标为（m,n），直线l1、l2的方程分别为：
由垂径定理，得圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
化简得：
（2mn）kmn3,或（mn8）kmn5
资料
关于k的方程有无穷多解，有：
2mn0m-n+8=0
或w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
mn30m+n-5=0
解之得：
点P坐标为（3,13）或（5,1（2,2）（2,2
2008年考题
1、（2008山东高考）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴相切，则该圆的标准方程是（）
27222
A．（x3）2（y）21B．（x2）2（y1）21
C．（x1）2（y3）21D．（x3）2（y1）21
2
【解析】选B.设圆心为（a,1）,由已知得d|4a3|1,a2（舍1）.
52
2、（2008广东高考）经过圆x22xy20的圆心C，且与直线xy0垂直的直线方程是（）
A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0
【解析】选C.易知点C为（1,0），而直线与xy0垂直，我们设待求的直线的方程为yxb，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b1，故待求的直线的方程为xy10（或由图象快速排除得正确答案）。
3、（2008山东高考）已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A．106B．206C．306D．406
【解析】选B。
将方程化成标准方程（x3）2（y4）225，过点（3,5）的最长弦（直径）为AC10,最短弦为BD2521246,S1ACBD206.
2
4、（2008全国Ⅰ）若直线xy＝1与圆x2y21有公共点，则（）
ab
A．a2b21B．a2b21C．12121D．12121
a2b2a2b2
【解析】选D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得：
dr，
d1111，（1a）2（b1）21．
（a1）2（1b）2ab
ab
5、（2008安徽高考）若过点A（4,0）的直线l与曲线（x2）2y21有公共点，则直线l的斜率的取
值范围为（）
即kxy4k0，直线l与曲线（x2）2y21有公共点，
得4k2k21,k23133k33.
当Q在上时，左上的点不在圆上，
不存在其它优于Q的点，Q组成的集合是劣弧。
7、（2008天津高考）已知圆C的圆心与点P（2，1）关于直线yx1对称．直线3x4y110与圆C
相交于A，B两点，且AB6，则圆C的方程为．
【解析】本小题主要考查直线方程中的对称问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识．
答案:
x2（y1）218
8、（2008宁夏海南高考）已知mR,直线l:
mx（m21）y4m和圆C:
x2y28x4y160.
（Ⅰ）求直线l斜率的取值范围；
1
（Ⅱ）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为1的两段圆弧？
为什么？
2【解析】（Ⅰ）k2m,km2mk0（），
m21
11mR,∴当k≠0时≥0，解得≤k≤且k≠0
22
11
又当k＝0时，m＝0，方程（）有解，所以，综上所述1≤k≤1
22
1（Ⅱ）假设直线l能将圆C分割成弧长的比值为1的两段圆弧．设直线l与圆C交于A，B两点
2
则∠ACB＝120°．∵圆C:
（x4）2（y2）24，∴圆心C（4，-2）到l的距离为1．
4m2（m21）4m
故有2221，整理得3m45m230．
m2（m21）2
∵524330，∴3m45m230无实数解．
1
因此直线l不可能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧．
2
9、（2008江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，二次函数f（x）x22xb（xR）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C．
（Ⅰ）求实数b的取值范围；
（Ⅱ）求圆C的方程；
（Ⅲ）圆C是否经过定点（与b的取值无关）？
证明你的结论．
【解析】（Ⅰ）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）
2
令f（x）=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b
令x=0，得y2+Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1
所以圆C的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0
（Ⅲ）圆C必过定点（0，1），（-2，1）
证明如下：
将（0，1）代入圆C的方程，得左边=02+12+2×0-（b+1）×1+b=0，右边=0
所以圆C必过定点（0，1）；
同理可证圆C必过定点（-2，1）．
BD所在直线的斜率
10、（2008北京高考）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x23y24上，对角线为1．
（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
Ⅱ）当ABC60时，求菱形ABCD面积的最大值．
解析】（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为yx1．
因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD．于是可设直线AC的方程为yxn．
22x23y24yxn
22
得4x26nx3n240
因为A，C在椭圆上，
所以12n2640，解得43n43．
33
设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
3n3n24
则x1x2，x1x2，y1x1n，y2x2n．
24
所以y1y2n2．
所以AC的中点坐标为3n，n．
44
由四边形ABCD为菱形可知，点3n，n在直线yx1上，
44
所以n3n1，解得n2．
44
所以直线AC的方程为yx2，即xy20．
（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且ABC60，所以ABBCCA．
11、（2008湖北高考）如图，在以点
所以当n0时，菱形ABCD的面积取得最大值43．
O为圆心，|AB|4为直径的半圆ADB中，
ODAB，P是半圆弧上一点，POB30，曲线C是满足||MA||MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.
若△OEF的面积不．小．于．22，求直线l斜率的取值范围.
【解析】（Ⅰ）方法1：
以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，
0），B（2，0），D（0,2）,P（3,1），依题意得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝（23）212（23）212＝22<｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
22
则c＝2，2a＝22，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为xy1.
22
MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜<｜AB｜＝4.
方法2：
同方法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
22
设双曲线的方程为x2y21（a>0，b>0）.
a2b2
（3）2121
则由a2b2解得a2=b2=2,
a2b24
22
∴曲线C的方程为xy1.
22
图1
图2
（Ⅱ）方法1：
依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0.①
k1
3）.
1k20
（4k）246（1k2）0
∴k∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，
EF｜＝（x1x2）2（y1y2）2（1k2）（x1x2）2
＝1k2
2
（x1x2）4x1x2
1k2223k2
而原点O到直线l
的距离d＝2
122223k2223k21k
若△OEF面积不小于22,即S△OEF22，则有
223k2
22k4k220,解得2k2.
∪（1,2].
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1）∪（-1,1）方法2：
依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-K2）x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
1k20k1∴22
（4k）246（1k2）03k3
∴k∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）.
设E（x1,y1）,F（x2,y2）,则由①式得
x1-x2｜=（x1x2）24x1x22
1k2
当E、F在同一支上时（如图1所示），
若△OEF面积不小于22,即SOEF22,则有
2232k22k4k220,解得2k2.
1k2
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1）∪（-1，1）∪（1，2].
2007年考题
22
解析】选C.若圆x2y22x4y0的圆心（1，2）到直线xya0的距离为
|12a|2
a=2或0，选C。
2、（2007上海高考）圆x2y22x10关于直线2xy30对称的圆的方程是（）
221221
Ａ．（x3）2（y2）2Ｂ．（x3）2（y2）2
22
Ｃ．（x3）2（y2）22Ｄ．（x3）2（y2）22
【解析】选C.圆x2y22x10（x1）2y22，圆心（1，0），半径2，关于直线2xy30
对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线，线段的中点在直线2xy30上，C中圆
（x3）2（y2）22的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。
3、（2007湖北高考）已知直线xy1（a，b是非零常数）与圆x2y2100有公共点，且公共点的ab
横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）
A．60条B．66条C．72条D．78条
【解析】选A.可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，
而圆x2y2100上的整数点共有12个，分别为6,8,6,8,8,6，
8,6,10,0,0,10，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，
2
构成C12266条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。
综上可知满足题设的直线共有52860条，选A.
4、（2007湖北高考）由直线y=x+1上的一点向圆（x-3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为
A.1B.22
C.7D.3
解析】选C.切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距
离为d=|301|22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2r2817，选C.
2
5、（2007重庆高考）若直线ykx1与圆x2y21相交于
且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为
（A）3或3（B）3
（C）2或2（D）2
【解析】选A.如图，直线过定点（0，1），
OPQ30,1120,260,k3.
xt3
6、（2007广东高考）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为xt3y3t
（参数t∈R），圆C的参数方程为x2cos（参数[0,2]），则圆C的圆心坐标为，圆心到
y2sin2
直线l的距离为.
【解析】直线的方程为x+y-6=0，d=|26|22;
2
答案:
（0，2）；22.
7、（2007广东高考）[几何证明选讲选做题]如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。
ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线l，过Ａ作l的垂线ＡＤ，垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝；线段AE的长为。
【解析】根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，很容易得到答案，AE=EC=BC=；3
答案:
；3。
6
8、（2007天津高考）已知两圆x2y210和（x1）2（y3）220相交于A,B两点，则直线AB的方程
【解析】两圆方程作差得x3y0.
答案:
x3y0
9、（2007山东高考）与直线xy20和曲线x2y212x12y540都
相切的半径最小的圆的标准方程是.
【解析】曲线化为（x6）2（y6）218，其圆心到直线xy20的距离为
662
52.所求的最小圆的圆心在直线
yx上，其到直线的距离为
2，圆心坐标为（2,2）.标准方程为（x2）2（y2）22。
8
6
5
10
答案:
（x2）2（y2）22
22
10、（2007上海高考）已知圆的方程x2y11，P为圆上任意一点（不包括原点）直线OP的倾斜角为弧度，OPd，则df的图象大致为
【解析】OP2cos（）2sin,（0,）2
答案:
11、（2007湖南高考）圆心为（1，1）且与直线xy4相切的圆的方程是．
【解析】半径R=|114|2，所以圆的方程为（x1）2（y1）22
2
答案:
（x1）2（y1）22
12、（2007江西高考）设
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