圆方程高考历年真题精选.docx

1、圆方程高考历年真题精选圆与方程高考真题精选2009 年考题1.(2009 辽宁)已知圆 C与直线 xy=0 及 xy4=0都相切，圆心在直线 x+y=0 上， 则圆 C 的方程为( )2 2 2 2(A)(x 1)2 (y 1)2 2 (B) (x 1)2 (y 1)2 2(C) (x 1)2 (y 1)2 2 (D) (x 1)2 (y 1)2 2【解析】选 B.圆心在 xy0上,排除 C、D,再结合图象 , 或者验证 A、B中圆心到两直线的距离等于半径 2即可.2.（ 2009 浙江）已知三角形的三边长分别为 3,4,5 ，则它的边与半径为 1的圆的公共点个数最多为（ ）A 3 B 4 C

2、 5 D 6345【解析】 选 B. 由于 3， 4，5 构成直角三角形 S，故其内切圆半径为 r= 1, 当该圆运动时，最多 与直角三角形 S的两边也有 4 个交点。3.（2009 上海） .过圆 C：（x 1）2 （y 1）2 1的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于 点 A、B， AOB 被圆分成四部分 （如图），若这四部分图形面积满足 S S￥ S S|, 则直线 AB 有（ ）（A） 0 条 （B） 1 条 （C） 2 条 （D） 3 条【解析】 选 B.由已知，得： SIV SII SIII SI,，第 II ，IV 部分的面积是定值，所以，SIV SII 为定值，即 SIII S

3、I ,为定值，当直线 AB绕着圆心 C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB 只有一条，故选 B。4. （2009湖南）已知圆 C1：（x 1）2+（y 1）2 =1，圆 C2与圆 C1关于直线 x y 1 0对称，则圆 C2的方 程为（ ）a 1 b 1解析】 选 B.设圆 C2 的圆心为（ a，b），则依题意，有22b11a1解得： a 2 ，对称圆的半径不变，为 1，故选 B.5. （ 2009 陕西高考）过原点且倾斜角为b260 的直线被圆 学 x2 y2 4y 0 所截得的弦长为 科网6. （ 2009 重庆高考）直线 y x 1与圆 x2 y2 1的位置关系为（选 B。解析

4、】 选 A.方法 1（直接法）：设圆心坐标为 （0, b） ，则由题意知 （0 1）2 （b 2） 1，解得 b 2 ，故圆的方程为 x2 （y 2） 2 1 。方法 2（数形结合法） ：由作图根据点 （1,2） 到圆心的距离为 1易知圆心为（ 0，2），故圆的方程为x2 （y 2）2 1 方法 3（验证法）：将点（ 1，2）代入四个选择支排除 B， D，又由于圆心在 y 轴上，排除 C。8. （2009 上海高考）过点 P（0, 1） 与圆 x2 y2 2x 3 0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直 线方程是 （ ）（A）x 0. （B） y 1. （C）x y 1 0. （D） x

5、y 1 0.【解析】 选C.点P（0, 1）在圆 x2 y2 2x 3 0内，圆心为 C（1，0），截得的弦最长时的直线为 CP，方 程是 x y 1，即 x y 1 0 。119. （2009 广东高考）以点（ 2， 1）为圆心且与直线 x y 6相切的圆的方程是 .【解析】 将直线 x y 6化为 x y 6 0 ,圆的半径 r |2 1 6| 5 , 1 1 22 2 25所以圆的方程 (x 2)2 (y 1)2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2答案 : (x 2)2 (y 1)2 25210. (2009 天津高考)若圆 x2 y2 4 与圆 x2 y2 2ay 6 0 ( a

6、0)的公共弦的长为 2 3 ， 则 a w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 。【解析】 由知 x2 y2 2ay 6 0的半径为 6 a2 ，由图可知 6 a2 ( a 1)2 ( 3)2 解之得 a 1答案 :1.11. ( 2009全国)已知 AC、BD为圆 O: x2 y2 4的两条相互垂直的弦，垂足为 M 1, 2 , 则四边形 ABCD 的面积的最大值为 。【解析】 设圆心 O到 AC、BD的距离分别为 d1、d2,则d12+d22 OM 2 3.四边形 ABCD的面积 S 1 |AC| |BD | 2 (4 d12 )(4- d22)22 (1 d2 )(4- d2 ) 2 (

7、d2 - 23) 2450 d22 3当d22 3时S四边形 ABCD有最大值为 5.2答案: 5.12. ( 2009全国)已知圆 O：x2 y2 5和点 A(1，2)，则过 A且与圆 O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于1【解析】 由题意可直接求出切线方程为 y-2= (x-1) ，即 x+2y-5=0, 从而求出在两坐标轴上的截距分别25 1 5 25是 5 和 5 ，所以所求面积为 1 5 5 25 。2 2 2 4答案 : 25413. (2009 湖北高考)过原点 O作圆 x2+y26x8y20=0 的两条切线，设切点分别为 P、Q，则线段 PQ的长为 。【解析】 可得圆方

8、程是 ( x 3)2 ( y 4)2 5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 PQ 4答案:42 2 2 214. ( 2009 四川高考)若 O1:x2 y2 5与 O2:(x m)2 y2 20(m R)相交于 A、B两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB的长度是 . w【解析】 由题知 O1(0,0),O2(m,0)，且 5 |m| 3 5，又 O1A AO2 ，所以m2 ( 5)2 (2 5)2 25 m 5 ， AB 2 5 20 4 。 5答案: 4.x 1 2cos15. ( 2009 福建高考)已知直线 l:3x+4y-12=0 与圆 C: ( 为参数 )

9、 试判断他们的公y 2 2sin共点个数 .【解析】 圆的方程可化为 (x 1)2 (y 2)2 4.其圆心为 C( 1,2) , 半径为 2.圆心到直线的距离 d |3 ( 1) 4 2 12| 7 232 42 5故直线与圆的公共点个数为 2.答案： 2x 4 cost, x 8cos ,16. ( 2009海南、宁夏高考)已知曲线 C1： (t 为参数)， C2： ( 为参y 3 sint, y 3sin ,数)。(1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1上的点 P对应的参数为 t ，Q为 C2上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线22解析】()

10、C1:(x 4)2 (y 3)2 1,C2 : 6x4 y9 1.C1为圆心是( 4,3) ，半径是 1 的圆.C2为中心是坐标原点，焦点在 x轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3的椭圆 .()当 t 时， P( 4,4).Q(8cos ,3sin ),故M ( 2 4cos ,2 3sin ).222)设P为平面上的点， 满足：存在过点 P的无穷多对互相垂直的直线 l1和l2 ，它们分别与圆 C1和圆 C2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m化简得： 24k2 7k 0,k 0或k24求直线 l 的方程为： y 0 或 y 7 (x 4) ，24即 y 0 或 7x 24y 28 0(2)

11、 设点 P坐标为 (m,n)，直线 l1、 l2的方程分别为：由垂径定理，得圆心 C1 到直线 l1与 C2 直线 l2 的距离相等。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m化简得： (2 m n)k m n 3,或(m n 8)k m n 5资料关于 k 的方程有无穷多解，有：2 m n 0 m-n+8=0, 或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.mm n 3 0 m+n-5=0解之得：点 P坐标为 ( 3,13)或 (5, 1 ( 2, 2) (2, 22008 年考题1、(2008 山东高考)若圆 C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x 3y 0和 x轴相切，则该圆的 标准方程

12、是 ( )2 7 2 2 2A(x 3)2 (y )2 1 B (x 2)2 (y 1)2 1C (x 1)2 (y 3)2 1 D(x 3)2 (y 1)2 12【解析】 选 B.设圆心为 (a,1),由已知得 d |4a 3| 1, a 2(舍 1).522、(2008 广东高考)经过圆 x2 2x y2 0 的圆心 C，且与直线 x y 0垂直的直线方程是( )Axy10 Bxy 10 Cxy10 Dxy10【解析】 选 C.易知点 C为 ( 1,0) ，而直线与 x y 0 垂直，我们设待求的直线的方程为 y x b ， 将点 C的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b 1，故待求的

13、直线的方程为 x y 1 0 (或由图象 快速排除得正确答案) 。3、( 2008 山东高考)已知圆的方程为 x2y26x8y0. 设该圆过点( 3，5)的最长弦和最短弦分别为 AC和 BD，则四边形 ABCD的面积为 ( )A10 6 B20 6 C 30 6 D40 6【解析】 选 B。将方程化成标准方程 (x 3)2 (y 4)2 25，过点 (3,5) 的最长弦(直径)为 AC 10, 最短弦为 BD 2 52 12 4 6, S 1 AC BD 20 6.24、(2008 全国)若直线 x y 1 与圆 x2 y2 1有公共点，则( )abA a2 b2 1 B a2 b2 1 C

14、12 12 1 D 12 12 1a2 b2 a2 b2【解析】 选 D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得： d r ，d 1 1 1 1， (1a)2 (b1)2 1(a1)2 (1b)2 a bab5、（2008 安徽高考）若过点 A（4,0） 的直线 l 与曲线 （x 2）2 y2 1有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为（ ）即 kx y 4k 0 ，直线 l 与曲线 （x 2）2 y2 1有公共点，得 4k2 k2 1,k2 31 33 k 33.当 Q 在 上时，左上的点不在圆上，不存在其它优于 Q的点， Q组成的集合是劣弧。7、（2008天津高考）已知圆

15、C的圆心与点 P（ 2，1）关于直线 y x 1对称直线 3x 4y 11 0与圆 C相交于 A，B两点，且 AB 6，则圆 C 的方程为 【解析】 本小题主要考查直线方程中的对称 问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识答案 : x2 (y 1)2 188、（ 2008 宁夏海南高考）已知 m R,直线 l :mx （m2 1）y 4m和圆 C : x2 y2 8x 4y 16 0.（）求直线 l 斜率的取值范围；1（）直线 l能否将圆 C分割成弧长的比值为 1 的两段圆弧？为什么？2 【解析】（） k 2m , km2 m k 0（ ） ，m2 111 m R,当 k0时 0，解得 k 且 k

16、02211又当 k0时， m0，方程 （ ）有解，所以，综上所述 1k 1221 （）假设直线 l 能将圆 C分割成弧长的比值为 1 的两段圆弧设直线 l与圆 C交于 A，B两点2则 ACB120圆 C:（x 4）2 （y 2）2 4，圆心 C（ 4， -2 ）到 l 的距离为 14m 2（m2 1） 4m故有 2 2 2 1 ，整理得 3m4 5m2 3 0 m2 （m2 1）2 52 4 3 3 0 ， 3m4 5m2 3 0 无实数解1因此直线 l 不可能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧29、（2008江苏高考）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 f （x） x2 2x b（

17、 x R ）与两坐标轴有三 个交点记过三个交点的圆为圆 C （）求实数 b 的取值范围；（）求圆 C 的方程；（）圆 C 是否经过定点（与 b 的取值无关）？证明你的结论【解析】（）令 x=0，得抛物线于 y 轴的交点是（ 0，b）2令 f （x）=0 ，得 x2+2x+b=0，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b0（）设所求圆的一般方程为 x2+ y 2+Dx+Ey+F=0令 y=0，得 x2+Dx+F=0，这与 x2+2x+b=0 是同一个方程，故 D=2， F=b令 x=0，得 y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为 b，代入得 E=-b-1所以圆 C的方程为 x2+ y 2+2x

18、-（ b+1） y+b=0（）圆 C必过定点（ 0，1），（-2 ，1）证明如下：将（ 0，1）代入圆 C 的方程，得左边 = 02+ 12+20-（ b+1）1+b=0，右边 =0所以圆 C 必过定点（ 0，1）；同理可证圆 C必过定点（ -2 ，1）BD 所在直线的斜率10、（ 2008北京高考）已知菱形 ABCD的顶点 A，C 在椭圆 x2 3y2 4上，对角线 为 1 （）当直线 BD 过点 （0，1）时，求直线 AC 的方程；）当 ABC 60 时，求菱形 ABCD 面积的最大值解析】（）由题意得直线 BD 的方程为 y x 1 因为四边形 ABCD为菱形，所以 AC BD 于是可设

19、直线 AC 的方程为 y x n 22 x2 3y2 4 y x n22得 4x2 6nx 3n2 4 0因为 A，C 在椭圆上，所以 12n2 64 0 ，解得 4 3 n 4 3 33设 A，C两点坐标分别为 （ x1， y1 ），（ x2， y2 ） ，3n 3n2 4则 x1 x2 ， x1x2 ， y1 x1 n， y2 x2 n24所以 y1 y2 n2 所以 AC 的中点坐标为 3n，n 44由四边形 ABCD 为菱形可知，点 3n，n 在直线 y x 1上，44所以 n 3n 1 ，解得 n 2 44所以直线 AC的方程为 y x 2，即 x y 2 0（）因为四边形 ABCD

20、 为菱形，且 ABC 60 ， 所以 AB BC CA 11、（ 2008 湖北高考）如图，在以点所以当 n 0时，菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3O为圆心， |AB| 4为直径的半圆 ADB 中，OD AB， P 是半圆弧上一点， POB 30 ，曲线 C是满足 |MA| |MB | 为定值的动点 M 的轨迹，且曲线 C 过点 P. （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；（）设过点 D的直线 l 与曲线 C相交于不同的两点 E 、 F .若 OEF 的面积不小于 2 2 ，求直线 l 斜率的取值范围 .【解析】（）方法 1：以 O为原点， AB、OD所在直线分别为 x 轴

21、、y 轴，建立平面直角坐标系，则 A（-2 ，0），B（2，0），D（0,2）, P（ 3,1 ），依题意得 MA-MB=PA-PB （2 3）2 12 （2 3）2 122 2 AB 4. 曲线 C是以原点为中心， A、B 为焦点的双曲线 .设实半轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 c，22则 c2，2a2 2， a2=2, b2=c2- a2=2. 曲线 C的方程为 x y 1.22MA- MB = PA - PB0，b0）.a2 b2（ 3）2 12 1则由 a2 b2 解得 a2=b2=2,a2 b2 422曲线 C的方程为 x y 1.22图1图2 ()方法 1：依题意，可设直线

22、l 的方程为 y kx +2，代入双曲线 C的方程并整理得 ( 1- K2)x2-4 kx- 6=0. k13).1 k2 0( 4k)2 4 6(1 k2) 0k(- 3,-1 )( -1 ，1)( 1，EF (x1 x2)2 (y1 y2)2 (1 k2)(x1 x2)2 1 k22(x1 x2) 4x1x21 k2 2 2 3 k2而原点 O到直线 l的距离 d 21 2 2 2 2 3 k2 2 2 3 k2 1k若OEF面积不小于 2 2,即 SOEF 2 2，则有2 2 3 k22 2 k4 k 2 2 0,解得 2 k 2.(1, 2 .综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为 -

23、 2，-1) (-1,1) 方法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx+2，代入双曲线 C 的方程并整理， 得( 1- K2)x2-4kx-6=0.直线 l 与双曲线 C相交于不同的两点 E、 F，1 k2 0 k 1 2 2( 4k)2 4 6(1 k2) 0 3 k 3k( - 3 ，-1 )( -1 ， 1)( 1， 3).设 E(x1, y1), F( x2, y2), 则由式得x1-x2= (x1 x2 )2 4x1x2 21 k 2当 E、 F在同一支上时（如图 1 所示），若 OEF面积不小于 2 2,即S OEF 2 2,则有2 2 3 2 k 2 2 k4 k2 2 0

24、, 解得 2 k 2.1 k2综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为 - 2 ， -1 ）（ -1 ，1）（ 1， 2.2007 年考题22解析】 选 C.若圆 x2 y2 2x 4y 0的圆心 （1，2）到直线 x y a 0的距离为|1 2 a| 2a=2 或 0，选 C。2、（2007 上海高考）圆 x2 y2 2x 1 0关于直线 2x y 3 0 对称的圆的方程是（ ）2 2 1 2 2 1 （x 3）2 （ y 2）2 （x 3）2 （y 2）222 （x 3）2 （ y 2）2 2 （x 3）2 （y 2）2 2【解析】选 C.圆 x2 y2 2x 1 0 （x 1）2 y2 2

25、 ，圆心（ 1，0），半径 2 ，关于直线 2x y 3 0对称的圆半径不变，排除 A、B，两圆圆心连线，线段的中点在直线 2x y 3 0 上，C中圆（x 3）2 （ y 2）2 2的圆心为（ 3，2），验证适合，故选 C。3、（2007 湖北高考）已知直线 x y 1（ a，b是非零常数）与圆 x2 y2 100有公共点，且公共点的 ab横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）A60条 B66 条 C72 条 D78 条【解析】 选 A. 可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆 x2 y2 100上的整数点共有 12 个，分别为 6, 8 , 6, 8

26、, 8, 6 ，8, 6 , 10,0 , 0, 10 ，前 8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有 8 条；12个点中过任意两点，2构成 C122 66 条直线，其中有 4 条直线垂直 x 轴，有 4 条直线垂直 y 轴，还有 6 条过原点（圆上点的对称 性），故满足题设的直线有 52 条。综上可知满足题设的直线共有 52 8 60 条，选 A.4、（2007 湖北高考）由直线 y=x+1上的一点向圆 （ x-3） 2+y2=1引切线，则切线长的最小值为A.1 B.2 2C. 7 D.3解析】 选 C.切线长的最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心（ 3，0）到直线的距

27、离为 d=|3 0 1| 2 2 ，圆的半径为 1，故切线长的最小值为 d2 r 2 8 1 7 ，选 C.25、（2007 重庆高考）若直线 y kx 1 与圆 x2 y2 1相交于且 POQ120（其中 O为原点），则 k 的值为（A） 3或 3 （ B） 3（C） 2或 2 （ D） 2【解析】 选 A.如图，直线过定点（ 0， 1），OPQ 30 , 1 120 , 2 60 , k 3.xt36、（ 2007 广东高考）（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x t 3 y3t（参数 t R），圆 C的参数方程为 x 2cos （参数 0,2

28、 ），则圆 C的圆心坐标为 ，圆心到y 2sin 2直线 l 的距离为 .【解析】 直线的方程为 x+y-6=0 ，d=|2 6| 2 2;2答案: （0，2）；2 2 .7、（2007 广东高考） 几何证明选讲选做题如图所示，圆的直径为， 为圆周上一点。，过作圆的切线 l ，过作 l 的垂线， 垂足为，则 ；线段 AE 的长为 。【解析】 根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余， 很容易得到答案， AE=EC=BC=；3答案 : ；3。68、（2007 天津高考）已知两圆 x2 y2 10和 （x 1）2 （y 3）2 20相交于 A, B两点，则直线 AB的方程【解析】 两圆

29、方程作差得 x 3y 0.答案 : x 3y 09、（2007 山东高考）与直线 x y 2 0和曲线 x2 y2 12x 12y 54 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是 .【解析】 曲线化为 （x 6）2 （y 6）2 18 ，其圆心到直线 x y 2 0 的距离为6625 2. 所求的最小圆的圆心在直线y x 上，其到直线的距离为2， 圆心坐标为 （2, 2）. 标准方程为 （x 2）2 （y 2）2 2。86510答案 : (x 2)2 (y 2)2 22210、（2007上海高考） 已知圆的方程 x2 y 1 1 ，P为圆上任意一点 （不包括原点） 直线 OP 的倾斜角为 弧度， OP d ，则 d f 的图象大致为 【解析】 OP 2cos（ ） 2sin , （0, ） 2答案:11、（ 2007 湖南高考）圆心为 （1，1）且与直线 x y 4相切的圆的方程是 【解析】 半径 R=|1 1 4| 2 ，所以圆的方程为 （x 1）2 （y 1）2 22答案 : （x 1）2 （y 1）2 212、（ 2007江西高考）设