《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习.docx

《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习.docx

《《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习

《13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质》教案

教学目标

1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．

2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．

教学重点

含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．

教学难点

1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．

2．引导学生全面、周到地思考问题．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？

问题：

用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由．

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

你能证明你的结论吗？

Ⅱ．导入新课

用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．

其中，图

（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

图

（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．

由此能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？

你能证明它吗？

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

求证：

BC=

AB．

分析：

从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．

延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）

∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．

∵AC=AC，

∴△ABC≌△ADC（SAS）．

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

∴BC=

BD=

AB．

[例]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？

分析：

观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=

AD，BC=

AB，又由D是AB的中点，所以DE=

AB．

解：

因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知

BC=

AB，DE=

AD，

所以BD=

×7.4=3.7（m）．

又AD=

AB，

所以DE=

AD=

×3.7=1.85（m）．

答：

立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．

[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

求：

CD的长．

分析：

观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°，

∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．

∴CD=

AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．

Ⅲ．随堂练习

1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？

边AB与BC之间有什么关系？

答案：

∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC．

2.已知：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．

求证：

BD=

AB．

证明：

在Rt△ABC中，∠A=30°，

∴BC=

AB．

在Rt△BCD中，∠B=60°，

∴∠BCD=30°．

∴BD=

BC．

∴BD=

AB．

2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．

求证：

其中一条是另一条的2倍．

已知：

在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．

求证：

CD=2AD．

证明：

在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，

∴∠ABC=60°，∠C=30°．

又∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠DBC=30°．

∴AD=

BD，BD=CD．

∴CD=2AD．

Ⅳ．课时小结

这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．

板书设计

含30°角的直角三角形的性质

定理：

在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

13.3.2等边三角形

《第2课时含30°角的直角三角形的性质》导学案

学习目标：

1．探索含30°角的直角三角形的性质.

2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．

重点：

含30°角的直角三角形的性质．

难点：

运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．

知识链接

1.等边三角形的性质有哪些？

2.如何判定一个三角形是等边三角形？

1、要点探究

探究点：

含30°角的直角三角形的性质

拼一拼：

如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？

填一填：

∠A=∠D=_______，

∠BAC=___________;

AB=DE,

△ABE是__________三角形；

2BC=BE=________.

要点归纳：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

证一证：

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：

BC=

AB.

方法一：

倍长法

【提示：

延长BC至D，使CD=BD，连接AD】

证明：

方法二：

截半法

【提示：

在BA上截取BE=BC，连接EC】

证明：

方法总结:

在证明线段之间的和差倍分关系时，倍长法与截半法是常用的两种作辅助线的方法.

典例精析

例1：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）

A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm

注意：

运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．

例2：

如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于（　　）

A．3B．2C.1.5D．1

方法总结：

含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．

例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？

请说明理由．

方法总结：

含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．

例4：

已知:

等腰三角形的底角为15°，腰长为20.求腰上的高.

方法总结：

在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.

针对训练

1.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AC的长是（）

A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm

2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝____．

第2题图第3题图

3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝____m.

4.如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°.

求证：

AB=4BD

证明：

∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30

∴BC=AB

∠B=

又∵△BCD中,CD⊥AB

∴∠BCD=

∴BD=BC

∴BD=AB

即.

5.如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4.求PD的长.

二、课堂小结

含30°角的直角三角形的性质：

应用的前提在三角形中，结论是30°角所对的直角边是的一半，而不是任一直角边是斜边的一半．

1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）

A．6米B．9米C．12米D．15米

第1题图第2题图

2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）

A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元

3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=.

第3题图第5题图

4.在△ABC中,∠A:

∠B:

∠C=1:

2:

3,若AB=10,则BC=.

5.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______.

6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．

.

7.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：

BE=3EA.

拓展提升

8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:

BP=2PQ.

《第2课时含30°角的直角三角形的性质》导学案

学习目标

1、探索、发现、猜想、证明直角三角形中有一个角为

30°的性质．

2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．

3、体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．

学习重点

含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．

学习难点

含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．

学具使用

多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等

学习内容

学习活动

设计意图

一、创设情境独立思考（课前20分钟）

1、阅读课本，思考下列问题：

直角三角形中有一个角为30°的性质是什么？

．

2、独立思考后我还有以下疑惑：

二、答疑解惑我最棒（约8分钟）

甲：

乙：

丙：

丁：

同伴互助答疑解惑

三、合作学习探索新知（约15分钟）

1、小组合作分析问题

2、小组合作答疑解惑

3、师生合作解决问题

【1】含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？

【2】用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

你能证明你的结论吗？

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

求证：

BC=

AB．

分析：

从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°则∠B=60°．

延长BC至D，使CD=BC，连接AD

∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．

∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

∴BC=

BD=

AB．

四、归纳总结巩固新知（约15分钟）

1、知识点的归纳总结：

★定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

2、运用新知解决问题：

（重点例习题的强化训练）

【1】例1右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？

分析：

观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=

AD，BC=

AB，又由D是AB的中点，所以DE=

AB．

解：

因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知

BC=

AB，DE=

AD，

所以BD=

×7.4=3.7（m）．

又AD=

AB，

所以DE=

AD=

×3.7=1.85（m）．

答：

立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．

五、课后反思：

1、学习目标完成情况反思：

2、掌握重点突破难点情况反思：

3、错题记录及原因分析：

自我评价

课上

1、本节课我对自己最满意的一件事是：

2、本节课我对自己最不满意的一件事是：

作业

独立完成（）求助后独立完成（）

未及时完成（）未完成（）

《第2课时含30°角的直角三角形的性质》导学案

一、学习目标

1、理解含30°锐角的直角三角形的性质；

2、能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。

二、温故知新（口答）

1、等边三角形三边，三个角都等于，

2、等边三角形是轴对称图形,它有条对称轴，它的对称轴。

三、自主探究合作展示

探究

（一）

1、如图

（1），将两个含有30°角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？

2、你能用所学的知识验证以上结论吗？

方法1：

如图

（2），△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，∠BAD=°,BD=BC=AB。

方法2：

如图（3），△ABC中，延长BC到D使BD=AB，连接AD，则△ABD是三角形,

BC=

=

。

探究

（二）

例题：

如图（4）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？

分析：

观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=，BC=，又由D是AB的中点，所以DE=．

探究（三）

A

例题：

如图（5），要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°，

∠A＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.

四、双基检测

1、等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为30°，则此三角形中腰与底边的关系（）

A、腰大于底边B、腰小于底边

C、腰等于底边D、不能确定

2、在Rt△ABC中，∠C=90度，∠A=30°，CD⊥AB于点D，AB=8cm,则BC=，BD=，AD=

3、如图（6）,在△ABC中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.

五、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

《第2课时含30°角的直角三角形的性质》同步练习

一．选择题（共8小题）

1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　）

A．3.5B．4.2C．5.8D．7

第1题第2题第3题

2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（　　）

A．10B．8C．5D．2.5

3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于

的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D．若△BDC的面

积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为（　　）

A．25B．30C．35D．40

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（　　）

A．4cmB．2cmC．1cmD．

m

5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（　　）

A．BD=ABB．BD=ABC．BD=ABD．BD=AB

第5题第6题第7题第8题

6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（　　）

A．5mB．8mC．10mD．20m

7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　）

A．6米B．9米C．12米D．15米

8．如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：

①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

二．填空题（共10小题）

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是　_________　．

10．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=　_________　．

11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为　_________　．

12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD=　_______cm．

第9题第10题

第11题第12题

13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD=　_________　cm．

第13题第14题第15题第16题

14．如图，在△ABC中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D是BC延长线上一点．

且AC=DC．则AD=　_________　cm．

15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为　_________　米．

16．在△ABC中，已知A

B=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=　_________　．

17．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm，则CE=　______　cm．

18．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是　_________　海里．

三．解答题（共5小题）

19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：

△ACD≌△AED；

（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

20．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：

AD=

DC．

21．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．

22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长．

23．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．

（1）在图

（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：

AD+AB=AC．

（2）若把

（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图

（2）所示．则

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

等边三角形

（2）

：

一、DABCCABC

二、9、2；10、2；11、5；12、6；13、2；14、18；15、6；

16、10；17、3；18、10

三、19、

（1）证明：

∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，

∵在Rt△ACD和Rt△AED中

∴Rt△ACD≌

Rt△AED（HL）；

（2）解：

∵DC=DE=1，DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=2．

20、解：

如图，连接DB．

∵MN是

AB的垂直平分线，

∴AD=DB，

∴∠A=∠ABD，

∵BA=BC，∠B=120°，

∴∠A=∠C=

（180°﹣120°）=30°，

∴∠ABD=30°，

又∵∠ABC=120°，

∴∠DBC=120°﹣30°=90°，

∴BD=

DC，

∴AD=

DC．

21、解：

∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，

∴∠2=∠3=30°；

在Rt△BCD中，

CD=

BD，∠4=90°﹣30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；

∴∠1+∠2=60°（外角定理），

∴∠1=∠2=30°，

∴AD=BD（等角对等边）

；

∴AC=AD+CD=

AD；

又∵AD=6，

∴AC=9．

22

、解：

∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，

∴BC=

AB=

×4=2，

∵CD是△A

BC的高，

∴∠CDA=∠ACB=90°，

∠B=∠B，

故∠BCD=∠A=30°，

∴在Rt△BCD中，BD=

BC=

×2=1，

∴BD=1

．

23、

（1）证明：

∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，

∴∠DAC=∠BAC=60°

∵∠AB

C=∠ADC=90°，

∴∠DCA=∠BCA=30°，

在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠

BCA=30°

∴AC=2AD，AC=2AB，

∴AD+AB=AC；

（2）

解：

结论AD+AB=AC成立．

理由如下：

在AN上截取AE=AC，连接CE，

∵∠BAC=60°，

∴△CAE为等边三角形，

∴AC=CE，∠AEC=60°，

∵∠DAC=60°，

∴∠DAC=∠AEC，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠ADC=∠EBC，

∴△ADC≌△EBC，

∴DC=BC，DA=BE，

∴AD+AB=AB+BE=AE，

∴AD+AB=AC．

《第2课时含30°角的直角三角形的性质》同步练习

1.在Rt△ABC中，∠C=90°∠A=30°，若AB=4cm,则BC=_______________.

2.等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9cm，则其腰长为__________,顶角是__________.

3.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥A