《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习.docx
《《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/26/2a6751c7-a9be-45f8-b097-6760040ea966/2a6751c7-a9be-45f8-b097-6760040ea9661.gif)
《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习
《13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质》教案
教学目标
1.探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质.
2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用.
教学重点
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
教学难点
1.含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
2.引导学生全面、周到地思考问题.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
我们学习过直角三角形,今天我们先来看一个特殊的直角三角形,看它具有什么性质.大家可能已猜到,我让大家准备好的含30°角的直角三角形,它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢?
问题:
用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?
能拼出一个等边三角形吗?
说说你的理由.
由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
你能证明你的结论吗?
Ⅱ.导入新课
用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形.
其中,图
(1)是等边三角形,因为△ABD≌△ACD,所以AB=AC,又因为Rt△ABD中,∠BAD=60°,所以∠ABD=60°,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
图
(1)中,∠B=∠C=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,所以∠B=∠C=∠BAC=60°,即△ABC是等边三角形.
由此能得出在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系吗?
你能证明它吗?
定理:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.
求证:
BC=
AB.
分析:
从三角尺的摆拼过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
证明:
在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=60°.
延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如下图)
∵∠ACB=60°,∴∠ACD=90°.
∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
∴BC=
BD=
AB.
[例]右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BD、DE要多长?
分析:
观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中,由于∠A=30°,所以DE=
AD,BC=
AB,又由D是AB的中点,所以DE=
AB.
解:
因为DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,由定理知
BC=
AB,DE=
AD,
所以BD=
×7.4=3.7(m).
又AD=
AB,
所以DE=
AD=
×3.7=1.85(m).
答:
立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
[例]等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高.
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高.
求:
CD的长.
分析:
观察图形可以发现,在Rt△ADC中,AC=2a,而∠DAC是△ABC的一个外角,则∠DAC=15°×2=30°,根据在直角三角形中,30°角所对的边是斜边的一半,可求出CD.
解:
∵∠ABC=∠ACB=15°,
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°.
∴CD=
AC=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
Ⅲ.随堂练习
1.Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∠B和∠A各是多少度?
边AB与BC之间有什么关系?
答案:
∠B=60°,∠A=30°,AB=2BC.
2.已知:
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.
求证:
BD=
AB.
证明:
在Rt△ABC中,∠A=30°,
∴BC=
AB.
在Rt△BCD中,∠B=60°,
∴∠BCD=30°.
∴BD=
BC.
∴BD=
AB.
2.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍,这个角的平分线把对边分成两条线段.
求证:
其中一条是另一条的2倍.
已知:
在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线.
求证:
CD=2AD.
证明:
在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,
∴∠ABC=60°,∠C=30°.
又∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBC=30°.
∴AD=
BD,BD=CD.
∴CD=2AD.
Ⅳ.课时小结
这节课,我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系.这个定理是个非常重要的定理,在今后的学习中起着非常重要的作用.
板书设计
含30°角的直角三角形的性质
定理:
在直角三角形中,有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
13.3.2等边三角形
《第2课时含30°角的直角三角形的性质》导学案
学习目标:
1.探索含30°角的直角三角形的性质.
2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
重点:
含30°角的直角三角形的性质.
难点:
运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
知识链接
1.等边三角形的性质有哪些?
2.如何判定一个三角形是等边三角形?
1、要点探究
探究点:
含30°角的直角三角形的性质
拼一拼:
如图,将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
填一填:
∠A=∠D=_______,
∠BAC=___________;
AB=DE,
△ABE是__________三角形;
2BC=BE=________.
要点归纳:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
证一证:
已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.求证:
BC=
AB.
方法一:
倍长法
【提示:
延长BC至D,使CD=BD,连接AD】
证明:
方法二:
截半法
【提示:
在BA上截取BE=BC,连接EC】
证明:
方法总结:
在证明线段之间的和差倍分关系时,倍长法与截半法是常用的两种作辅助线的方法.
典例精析
例1:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是( )
A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm
注意:
运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.
例2:
如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于( )
A.3B.2C.1.5D.1
方法总结:
含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.
例3如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?
请说明理由.
方法总结:
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.
例4:
已知:
等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.
方法总结:
在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30°角的直角三角形来解决.本题的关键是作高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30°角,利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
针对训练
1.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AC的长是()
A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD=____.
第2题图第3题图
3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图,其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h=____m.
4.如图所示,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠A=30°.
求证:
AB=4BD
证明:
∵△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30
∴BC=AB
∠B=
又∵△BCD中,CD⊥AB
∴∠BCD=
∴BD=BC
∴BD=AB
即.
5.如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4.求PD的长.
二、课堂小结
含30°角的直角三角形的性质:
应用的前提在三角形中,结论是30°角所对的直角边是的一半,而不是任一直角边是斜边的一半.
1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为()
A.6米B.9米C.12米D.15米
第1题图第2题图
2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要()
A.300a元B.150a元C.450a元D.225a元
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,AB=4.则BD=.
第3题图第5题图
4.在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,若AB=10,则BC=.
5.如图,Rt△ABC中,∠A=30°,AB+BC=12cm,则AB=______.
6.在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=5,则求AC的长.
.
7.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,DE⊥AB于E点,求证:
BE=3EA.
拓展提升
8.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证:
BP=2PQ.
《第2课时含30°角的直角三角形的性质》导学案
学习目标
1、探索、发现、猜想、证明直角三角形中有一个角为
30°的性质.
2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用.
3、体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.
学习重点
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
学习难点
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
学具使用
多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考(课前20分钟)
1、阅读课本,思考下列问题:
直角三角形中有一个角为30°的性质是什么?
.
2、独立思考后我还有以下疑惑:
二、答疑解惑我最棒(约8分钟)
甲:
乙:
丙:
丁:
同伴互助答疑解惑
三、合作学习探索新知(约15分钟)
1、小组合作分析问题
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
【1】含30°角的直角三角形,它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢?
【2】用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?
能拼出一个等边三角形吗?
说说你的理由.由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
你能证明你的结论吗?
已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.
求证:
BC=
AB.
分析:
从三角尺的摆拼过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
证明:
在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°则∠B=60°.
延长BC至D,使CD=BC,连接AD
∵∠ACB=60°,∴∠ACD=90°.
∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
∴BC=
BD=
AB.
四、归纳总结巩固新知(约15分钟)
1、知识点的归纳总结:
★定理:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2、运用新知解决问题:
(重点例习题的强化训练)
【1】例1右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BD、DE要多长?
分析:
观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中,由于∠A=30°,所以DE=
AD,BC=
AB,又由D是AB的中点,所以DE=
AB.
解:
因为DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,由定理知
BC=
AB,DE=
AD,
所以BD=
×7.4=3.7(m).
又AD=
AB,
所以DE=
AD=
×3.7=1.85(m).
答:
立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
五、课后反思:
1、学习目标完成情况反思:
2、掌握重点突破难点情况反思:
3、错题记录及原因分析:
自我评价
课上
1、本节课我对自己最满意的一件事是:
2、本节课我对自己最不满意的一件事是:
作业
独立完成()求助后独立完成()
未及时完成()未完成()
《第2课时含30°角的直角三角形的性质》导学案
一、学习目标
1、理解含30°锐角的直角三角形的性质;
2、能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。
二、温故知新(口答)
1、等边三角形三边,三个角都等于,
2、等边三角形是轴对称图形,它有条对称轴,它的对称轴。
三、自主探究合作展示
探究
(一)
1、如图
(1),将两个含有30°角的三角形放在一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
2、你能用所学的知识验证以上结论吗?
方法1:
如图
(2),△ABC是等边三角形,AD⊥BC于D,∠BAD=°,BD=BC=AB。
方法2:
如图(3),△ABC中,延长BC到D使BD=AB,连接AD,则△ABD是三角形,
BC=
=
。
探究
(二)
例题:
如图(4)是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BC、DE要多长?
分析:
观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中,由于∠A=30°,所以DE=,BC=,又由D是AB的中点,所以DE=.
探究(三)
A
例题:
如图(5),要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C=90°,
∠A=30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.
四、双基检测
1、等腰三角形中,一腰上的高与底边的夹角为30°,则此三角形中腰与底边的关系()
A、腰大于底边B、腰小于底边
C、腰等于底边D、不能确定
2、在Rt△ABC中,∠C=90度,∠A=30°,CD⊥AB于点D,AB=8cm,则BC=,BD=,AD=
3、如图(6),在△ABC中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.
五、学习反思
请你对照学习目标,谈一下这节课的收获及困惑。
《第2课时含30°角的直角三角形的性质》同步练习
一.选择题(共8小题)
1.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是( )
A.3.5B.4.2C.5.8D.7
第1题第2题第3题
2.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为( )
A.10B.8C.5D.2.5
3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,与∠ABC的两边相交于点E,F,分别以点E和点F为圆心,大于
的长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线BM,交AC于点D.若△BDC的面
积为10,∠ABC=2∠A,则△ABC的面积为( )
A.25B.30C.35D.40
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,斜边AB的长为2cm,则AC长为( )
A.4cmB.2cmC.1cmD.
m
5.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,则BD与AB的关系是( )
A.BD=ABB.BD=ABC.BD=ABD.BD=AB
第5题第6题第7题第8题
6.如图是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横梁AC,AB=10m,∠A=30°,则立柱BC的长度是( )
A.5mB.8mC.10mD.20m
7.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为( )
A.6米B.9米C.12米D.15米
8.如图,已知∠ABC=60°,DA是BC的垂直平分线,BE平分∠ABD交AD于点E,连接CE.则下列结论:
①BE=AE;②BD=AE;③AE=2DE;④S△ABE=S△CBE,其中正确的结论是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
二.填空题(共10小题)
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是 _________ .
10.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=1,则EF= _________ .
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=10,则BC的长为 _________ .
12.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=12cm,∠ABC=30°,底边上的高AD= _______cm.
第9题第10题
第11题第12题
13.如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于点D.若AC=6cm,则AD= _________ cm.
第13题第14题第15题第16题
14.如图,在△ABC中.∠B=90°,∠BAC=30°.AB=9cm,D是BC延长线上一点.
且AC=DC.则AD= _________ cm.
15.如图是某超市一层到二层滚梯示意图.其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长约为12米,则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为 _________ 米.
16.在△ABC中,已知A
B=4,BC=10,∠B=30°,那么S△ABC= _________ .
17.如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AC,若AB=12cm,则CE= ______ cm.
18.有一轮船由东向西航行,在A处测得西偏北15°有一灯塔P.继续航行20海里后到B处,又测得灯塔P在西偏北30°.如果轮船航向不变,则灯塔与船之间的最近距离是 _________ 海里.
三.解答题(共5小题)
19.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
20.如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线MN交AC于D,求证:
AD=
DC.
21.如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,求AC的长.
22.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是△ABC的高,∠A=30°,AB=4,求BD长.
23.如图,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN.B、D分别在射线AN、AM上.
(1)在图
(1)中,当∠ABC=∠ADC=90°时,求证:
AD+AB=AC.
(2)若把
(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°,其他条件不变,如图
(2)所示.则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
等边三角形
(2)
:
一、DABCCABC
二、9、2;10、2;11、5;12、6;13、2;14、18;15、6;
16、10;17、3;18、10
三、19、
(1)证明:
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=ED,∠DEA=∠C=90°,
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌
Rt△AED(HL);
(2)解:
∵DC=DE=1,DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∵∠B=30°,
∴BD=2DE=2.
20、解:
如图,连接DB.
∵MN是
AB的垂直平分线,
∴AD=DB,
∴∠A=∠ABD,
∵BA=BC,∠B=120°,
∴∠A=∠C=
(180°﹣120°)=30°,
∴∠ABD=30°,
又∵∠ABC=120°,
∴∠DBC=120°﹣30°=90°,
∴BD=
DC,
∴AD=
DC.
21、解:
∵△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,
∴∠2=∠3=30°;
在Rt△BCD中,
CD=
BD,∠4=90°﹣30°=60°(直角三角形的两个锐角互余);
∴∠1+∠2=60°(外角定理),
∴∠1=∠2=30°,
∴AD=BD(等角对等边)
;
∴AC=AD+CD=
AD;
又∵AD=6,
∴AC=9.
22
、解:
∵△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,
∴BC=
AB=
×4=2,
∵CD是△A
BC的高,
∴∠CDA=∠ACB=90°,
∠B=∠B,
故∠BCD=∠A=30°,
∴在Rt△BCD中,BD=
BC=
×2=1,
∴BD=1
.
23、
(1)证明:
∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,
∴∠DAC=∠BAC=60°
∵∠AB
C=∠ADC=90°,
∴∠DCA=∠BCA=30°,
在Rt△ACD中,∠DCA=30°,Rt△ACB中,∠
BCA=30°
∴AC=2AD,AC=2AB,
∴AD+AB=AC;
(2)
解:
结论AD+AB=AC成立.
理由如下:
在AN上截取AE=AC,连接CE,
∵∠BAC=60°,
∴△CAE为等边三角形,
∴AC=CE,∠AEC=60°,
∵∠DAC=60°,
∴∠DAC=∠AEC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠EBC=180°,
∴∠ADC=∠EBC,
∴△ADC≌△EBC,
∴DC=BC,DA=BE,
∴AD+AB=AB+BE=AE,
∴AD+AB=AC.
《第2课时含30°角的直角三角形的性质》同步练习
1.在Rt△ABC中,∠C=90°∠A=30°,若AB=4cm,则BC=_______________.
2.等腰三角形一底角是30°,底边上的高为9cm,则其腰长为__________,顶角是__________.
3.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥A