《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习.docx

1、含30角的直角三角形的性质教案导学案同步练习13.3.2 第2课时 含30角的直角三角形的性质教案教学目标1探索发现猜想证明直角三角形中有一个角为30的性质2有一个角为30的直角三角形的性质的简单应用教学重点含30角的直角三角形的性质定理的发现与证明教学难点1含30角的直角三角形性质定理的探索与证明2引导学生全面、周到地思考问题教学过程提出问题，创设情境我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质大家可能已猜到，我让大家准备好的含30角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个

2、等边三角形吗？说说你的理由由此你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？导入新课用含30角的直角三角尺摆出了如下两个三角形其中，图（1）是等边三角形，因为ABDACD，所以AB=AC，又因为RtABD中，BAD=60，所以ABD=60，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形图（1）中，B=C=60，BAC=BAD+CAD=30+30=60，所以B=C=BAC=60，即ABC是等边三角形由此能得出在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边的关系吗？你能证明它吗？定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半已知：如图，在R

3、tABC中，C=90，BAC=30求证：BC=AB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD证明：在ABC中，ACB=90，BAC=30，则B=60延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）ACB=60， ACD=90AC=AC，ABCADC（SAS）AB=AD（全等三角形的对应边相等）ABD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）BC=BD=AB例右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD、DE要多长？分析：观察图形可以发现在RtAED与RtACB中，由于A=30，所以DE=

4、AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB解：因为DEAC，BCAC，A=30，由定理知BC=AB，DE=AD，所以BD=7.4=3.7（m）又AD=AB，所以DE=AD=3.7=1.85（m）答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m例等腰三角形的底角为15，腰长为2a，求腰上的高已知：如图，在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高求：CD的长分析：观察图形可以发现，在RtADC中，AC=2a，而DAC是ABC的一个外角，则DAC=152=30，根据在直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半，可求出CD解：ABC=ACB=15，DAC=ABC+B

5、AC=30CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）随堂练习1. RtABC中，C=90，B=2A，B和A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？答案：B=60，A=30，AB=2BC2.已知：如图，ABC中，ACB=90，CD是高，A=30求证：BD=AB证明：在RtABC中，A=30，BC=AB在RtBCD中，B=60，BCD=30BD=BCBD=AB2已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段求证：其中一条是另一条的2倍已知：在RtABC中，A=90，ABC=2C，BD是ABC的平分线求证：CD=2AD证明

6、：在RtABC中，A=90，ABC=2C，ABC=60，C=30又BD是ABC的平分线，ABD=DBC=30AD=BD，BD=CDCD=2AD课时小结这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30的直角三角形的边的关系这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用板书设计含30角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，有一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半13.3.2 等边三角形第2课时 含30角的直角三角形的性质导学案学习目标：1探索含30角的直角三角形的性质.2会运用含30角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算重点：含30角的直角三角形的性质难点：运用含30角的直

7、角三角形的性质进行有关的证明和计算知识链接1.等边三角形的性质有哪些？2.如何判定一个三角形是等边三角形？1、要点探究探究点：含30角的直角三角形的性质拼一拼：如图，将两个相同的含30角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？填一填：A=D=_，BAC=_;AB=DE,ABE是_三角形；2BC=BE=_.要点归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.证一证：已知：如图，在RtABC 中，C =90，A =30. 求证：BC=AB.方法一：倍长法【提示：延长BC至D，使CD=BD，连接AD】证明：方法二：截

8、半法【提示：在BA上截取BE=BC，连接EC】证明：方法总结:在证明线段之间的和差倍分关系时，倍长法与截半法是常用的两种作辅助线的方法.典例精析例1：如图，在RtABC中，ACB90，B30，CD是斜边AB上的高，AD3cm，则AB的长度是()A3cm B6cm C9cm D12cm注意：运用含30角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形例2：如图，AOPBOP15，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC3，则PD等于()A3 B2 C.1.5 D1方法总结：含30角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30角的直角三角形例3 如图，在A

9、BC中，C90，AD是BAC的平分线，过点D作DEAB，DE恰好是ADB的平分线CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由方法总结：含30角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质例4：已知:等腰三角形的底角为15，腰长为20.求腰上的高.方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30角的直角三角形来解决本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30角，利用含30角的直角三角形的性质解决问题.针对训练1.在RtABC中，CD是斜边AB上的高，B30，AD2cm，则AC的长是( )A2 cm B4 cm C6 cm

10、D8 cm2.如图，在ABC中，C90，B30，AD平分CAB，交BC于点D，若CD1，则BD_ 第2题图 第3题图3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC150，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h_ m.4.如图所示，已知ABC中，ACB=90，CDAB于点D，A=30.求证：AB=4BD证明：ABC中，ACB=90，A=30 BC= ABB=又BCD中,CDABBCD=BD= BCBD= AB即 .5.如图所示,AOP=BOP=15,PCOA,PDOA,若PC=4.求PD的长.二、课堂小结含30角的直角三角形的性质：

11、应用的前提在 三角形中，结论是30角所对的直角边是 的一半，而不是任一直角边是斜边的一半1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30角，这棵树在折断前的高度为( )A6米 B9米 C12米 D15米第1题图 第2题图2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的ABC空地上种植草皮以美化环境，已知A150，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A300a元 B150a元 C450a元 D225a元3.如图，在ABC 中，ACB =90，CD 是高，A =30，AB =4则BD = .第3题图 第5题图4.在ABC中,A: B: C=1:2:3,若AB=

12、10,则BC = .5.如图，RtABC中，A= 30，AB+BC=12cm，则AB=_.6.在ABC中，C=90，B=15，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长 .7.在 ABC中，AB=AC,BAC=120，D是BC的中点，DEAB于E点，求证：BE=3EA.拓展提升8.如图，已知ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQAD于点Q,求证:BP=2PQ.第2课时 含30角的直角三角形的性质导学案学习目标1、探索、发现、猜想、证明直角三角形中有一个角为30的性质2、有一个角为30的直角三角形的性质的简单应用3、体验数学活动中的探索与创

13、新、感受数学的严谨性学习重点含30角的直角三角形的性质定理的发现与证明学习难点含30角的直角三角形的性质定理的发现与证明学具使用多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等学习内容学习活动设计意图一、创设情境独立思考（课前20分钟）1、阅读课本，思考下列问题：直角三角形中有一个角为30的性质是什么？2、独立思考后我还有以下疑惑：二、答疑解惑我最棒（约8分钟）甲：乙：丙：丁：同伴互助答疑解惑三、合作学习探索新知（约15分钟）1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题【1】含30角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？【2】用两个全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一个怎

14、样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由由此你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？已知：如图，在RtABC中，C=90，BAC=30求证：BC=AB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD证明：在ABC中，ACB=90，BAC=30则B=60延长BC至D，使CD=BC，连接ADACB=60， ACD=90AC=AC， ABCADC（SAS）AB=AD（全等三角形的对应边相等）ABD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）BC=BD=AB四、归纳总结巩固新知（约15分钟）1、知识点的归纳总结：

15、定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）【1】例1右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD、DE要多长？分析：观察图形可以发现在RtAED与RtACB中，由于A=30，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB解：因为DEAC，BCAC，A=30，由定理知BC=AB，DE=AD，所以BD=7.4=3.7（m）又AD=AB，所以DE=AD=3.7=1.85（m）答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m五、课后反思：1

16、、学习目标完成情况反思：2、掌握重点突破难点情况反思：3、错题记录及原因分析：自我评价课上1、本节课我对自己最满意的一件事是：2、本节课我对自己最不满意的一件事是：作业独立完成（ ） 求助后独立完成（ ）未及时完成（ ） 未完成（ ）第2课时 含30角的直角三角形的性质导学案一、学习目标1、理解含30锐角的直角三角形的性质；2、能利用含30锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。二、温故知新（口答）1、等边三角形三边 ，三个角都等于 ，2、等边三角形是轴对称图形,它有 条对称轴，它的对称轴 。三、自主探究 合作展示探究（一）1、如图（1），将两个含有30角的三角形放在一起，你能借助这个图形，

17、找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？2、你能用所学的知识验证以上结论吗？方法1：如图(2)，ABC是等边三角形，ADBC于D，BAD= ,BD= BC= AB。方法2：如图(3)，ABC中，延长BC到D使BD=AB，连接AD，则ABD是 三角形,BC= = 。探究（二）例题：如图（4）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BC、DE要多长？分析：观察图形可以发现在RtAED与RtACB中，由于A=30，所以DE= ，BC= ，又由D是AB的中点，所以DE= 探究（三）A例题：如图（5），要把一块三角形的土地均匀

18、分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果C90，A30,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.四、双基检测1、等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为30，则此三角形中腰与底边的关系（ ）A、腰大于底边 B、腰小于底边C、腰等于底边 D、不能确定2、在RtABC中，C=90度，A=30，CDAB于点D，AB=8cm,则BC= ，BD= ， AD=3、如图（6）,在ABC 中C=90,B=15,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8,求AC之长.五、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。第2课时 含30角的直角三角形的性质同步练习一选择题（共8

19、小题）1如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A 3.5 B 4.2 C 5.8 D 7第1题 第2题 第3题2如图，在ABC中，B=30，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D若ED=5，则CE的长为（）A 10 B 8 C 5 D 2.53如图，RtABC中，C=90，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D若BDC的面积为10，ABC=2A，则ABC的面积为（）A 25 B 30 C 35 D 404在RtABC中，C=90，B=30，

20、斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A4cm B 2cm C 1cm Dm5如图，ABC中，ACB=90，CD是高，A=30，则BD与AB的关系是（）A BD=AB B BD=AB C BD=AB D BD=AB第5题 第6题 第7题 第8题6如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，A=30，则立柱BC的长度是（）A 5m B 8m C 10m D 20m7如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30角，这棵树在折断前的高度为（）A 6米 B9米 C12米 D 15米8如图，已知ABC=60，DA是BC的垂直平分线，BE平分ABD交AD于点E，

21、连接CE则下列结论：BE=AE；BD=AE；AE=2DE；SABE=SCBE，其中正确的结论是（）A B C D 二填空题（共10小题）9如图，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若F=30，DE=1，则BE的长是_10如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB，若EC=1，则EF=_11如图，在ABC中，C=90，B=60，AB=10，则BC的长为_12如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，ABC=30，底边上的高AD=_cm第9题 第10题 第11题 第12题13如图，在ABC中，AB=BC，B=120，AB的垂直平分线交AC于

22、点D若AC=6cm，则AD=_cm第13题 第14题 第15题 第16题14如图，在ABC中B=90，BAC=30AB=9cm，D是BC延长线上一点且AC=DC则AD=_cm15如图是某超市一层到二层滚梯示意图其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，ABC=150，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为_米16在ABC中，已知AB=4，BC=10，B=30，那么SABC=_17如图，ABC是等边三角形，ADBC，DEAC，若AB=12cm，则CE=_cm18有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15有一灯塔P继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30

23、如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是_海里三解答题（共5小题）19如图，在ABC中，C=90，AD平分CAB，交CB于点D，过点D作DEAB于点E（1）求证：ACDAED；（2）若B=30，CD=1，求BD的长20如图，在ABC中，BA=BC，B=120，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC21如图，ABC中，C=90，ABC=60，BD平分ABC，若AD=6，求AC的长22如图，ABC中，ACB=90，CD是ABC的高，A=30，AB=4，求BD长23如图，已知MAN=120，AC平分MANB、D分别在射线AN、AM上（1）在图（1）中，当ABC=ADC=90时，求证：A

24、D+AB=AC（2）若把（1）中的条件“ABC=ADC=90”改为ABC+ADC=180，其他条件不变，如图（2）所示则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由等边三角形（2）：一、DABCCABC二、9、2；10、2；11、5；12、6；13、2；14、18；15、6；16、10；17、3；18、10三、19、（1）证明：AD平分CAB，DEAB，C=90，CD=ED，DEA=C=90，在RtACD和RtAED中RtACDRtAED（HL）；（2）解：DC=DE=1，DEAB，DEB=90，B=30，BD=2DE=220、解：如图，连接DBMN是AB的垂直平分线，

25、AD=DB，A=ABD，BA=BC，B=120，A=C=（180120）=30，ABD=30，又ABC=120，DBC=12030=90，BD=DC，AD=DC21、解：ABC中，C=90，ABC=60，BD平分ABC，2=3=30；在RtBCD中，CD= BD，4=9030=60（直角三角形的两个锐角互余）；1+2=60（外角定理），1=2=30，AD=BD（等角对等边）；AC=AD+CD=AD；又AD=6，AC=922、解：ABC中，ACB=90，A=30，AB=4，BC=AB=4=2，CD是ABC的高，CDA=ACB=90，B=B，故BCD=A=30，在RtBCD中，BD=BC=2=1，

26、BD=123、（1）证明：MAN=120，AC平分MAN，DAC=BAC=60ABC=ADC=90，DCA=BCA=30，在RtACD中，DCA=30，RtACB中，BCA=30AC=2AD，AC=2AB，AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，BAC=60，CAE为等边三角形，AC=CE，AEC=60，DAC=60，DAC=AEC，ABC+ADC=180，ABC+EBC=180，ADC=EBC，ADCEBC，DC=BC，DA=BE，AD+AB=AB+BE=AE，AD+AB=AC第2课时 含30角的直角三角形的性质同步练习1. 在RtABC中，C=90A=30，若AB=4cm,则BC=_.2. 等腰三角形一底角是30，底边上的高为9cm，则其腰长为_,顶角是_.3. 在ABC中，ACB=90，CDA