九年级数学关于圆的综合问题二人教版知识精讲.docx

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九年级数学关于圆的综合问题二人教版知识精讲

九年级数学关于圆的综合问题

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

关于圆的综合问题

（二）

综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识，不同章节所学的知识，特别是代数、几何不同学科中所学的知识，综合运用进行解题的数学题目，它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度，又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

几何中关于圆的综合题大致可分为：

（1）以几何知识为主体的综合题；

（2）代数、几何知识相结合的综合题；

（3）圆中的探索型问题；

我们通过下面的例题对以上各类问题进行分析。

【典型例题】

（一）以几何知识为主体的综合题。

例1.如图：

⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的切线，与CA延长交于D，且BD2＝DA2＋DA·AB，△ABD的外接圆交BC于E，

（1）求证：

AB＝AC

（2）求证：

BD＝EC

（3）若△ABD的周长等于AC＋BC，

分析：

本题

（1）易证。

利用

（1）题的结论证

（2）题，我们发现如果BD＝EC成立，必有△ABD≌△AEC，

所以我们只需连结AE，并证得∠2＝∠C即可。

（3）题若结论成立，需△ABE∽△BAC，因此证明∠1＝∠C是本题解出的关键。

解：

（1）∵BD2＝DA·DC＝DA（DA＋AC）＝DA2＋DA·AC，

由已知得：

BD2＝DA2＋DA·AB，

∴AC＝AB

（2）连结AE，

∵BD是⊙O的切线，∴∠2＝∠C

又∵∠AEC是圆内接四边形AEBD的外角，∠AEC＝∠D

∵AB＝AC，∴△ADB≌△AEC

∴BD＝EC

（3）由已知AB＋BD＋AD＝AC＋BC＝AC＋BE＋EC

∵AB＝AC，BD＝EC，∴AD＝BE

又∵△ADB≌△AEC，∴AD＝AE，∴AE＝BE，∠1＝∠3

∵AB＝AC，∴∠3＝∠C，∴∠1＝∠C

∴△BAE∽△BCA

又∵∠CAE＝∠DBC＝∠2＋∠3＝2∠3

∠CEA＝∠1＋∠3＝2∠3

∴∠CAE＝∠CEA∴CE＝CA

即AB＝EC

由AB2＝BE·BC，∴EC2＝BE·BC＝BE（EC＋BE）

∴BE2＋EC·BE－EC2＝0

点拨：

本题是一道典型的几何综合题，把中学几个阶段学到的知识有机的组合到一起，图形中相似三角形、全等三角形、等腰三角形综合到一起，由果索因的分析方法是本题的基本方法，而最后的求值，则应综合我们前面证过的结论，得到关于BE和EC的关系式，最后利用解一元二次方程的方法求解。

二、与函数知识相结合的综合题

例2.

圆的圆心D是该抛物线的顶点，小圆的圆心B是该抛物线与x轴正半轴的交点，大圆与x轴相切于E，小圆与y轴相切于O，两圆外切，且大圆的半径是小圆半径的4倍。

（1）求ac＋b的值；

解：

（1）设小圆半径为r，则大圆半径为4r，

∴BD＝5r，DE＝4r，

由勾股定理得EB＝3r，

例3.

又抛物线的顶点为P（2，4），

（1）求此抛物线解析式及A，B两点坐标；

（2）设过P，C两点的直线与x轴交于点Q，求Q点坐标；

（3）设过B，C，O三点的圆O'与过P，C两点的直线相交于C，E两点，求tan∠COE的值。

解：

（1）∵抛物线顶点P坐标为P（2，4）

∴可设抛物线解析式为：

设A（x1，0），B（x2，0），C（0，4a＋4），

∴A（－2，0），B（6，0）

（2）设过P、C的直线为y＝mx＋n，

∵P（2，4），C（0，3）

（3）连结OE，BE，BC

∵四边形COBE内接于⊙O'，

∴∠BEC＝∠BOC＝90°，而∠COE＝∠CBE

∴Rt△QOC∽Rt△QEB

（三）圆中的探索型问题

探索型数学问题一般具有以下特征：

（1）给出了条件，但有怎样的结论却是未知的，有待确定的；

（2）给出了结论，但要去探求结论成立应具备的条件，解题方法的寻求需要同学有独立创新的精神；

①可先提出特殊情况进行研究，再要求归纳，猜测和确定一般结论；

②先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时，其结论相应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化。

解答探索型习题，必须经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等思维活动才能解决问题。

例4.如图①：

已知平行四边形PQRS是⊙O的内接四边形。

（1）求证：

平行四边形PQRS是矩形。

（2）如图②所示，如果将题目中的⊙O改为边长为a的正方形ABCD，在AB、AD上分别取点P，S，连结PS，将Rt△SAP绕正方形中心O旋转180°得Rt△QCR，从而得到四边形PQRS，试判断四边形PQRS能否变化成矩形？

若能，设PA＝x，SA＝y，请说明x、y具有什么关系时，四边形PQRS是矩形；若不能，请说明理由。

分析：

（1）主要是运用圆内接四边形的性质；

（2）是探索性问题，抓住题设条件，利用对称的性质是解决问题的突破口。

解：

（1）证法一：

∵PQRS是圆内接四边形

∴∠P＋∠R＝180°

又∵四边形PQRS是平行四边形

∴∠P＝∠R，∴∠P＝90°，

故平行四边形PQRS是矩形。

证法二：

∵圆内接四边形PQRS是平行四边形，

∴QR＝PS，QP＝RS，

∴∠PQR＝90°，∴平行四边形PQRS是矩形。

（2）由题意，得Rt△SAP与Rt△QCR关于O对称，如图②

∴OP＝OR，OQ＝OS

∴四边形PSRQ是平行四边形，当∠PSR＝90°时，

平行四边形PSRQ为矩形，此时∠1＋∠2＝90°

又∵∠3＋∠2＝90°，∴∠3＝∠1

∴Rt△PAS∽Rt△SDR

∴x＝y或x＋y＝a

∴当x＝y或x＋y＝a时，平行四边形PSRQ为矩形。

例5.如图：

EB是⊙O的直径，且EB＝6，在BE的延长线上取点P，使EP＝EB。

A是EP上一点，过A作⊙O的切线AD，切点为D。

过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H。

连结ED和FH。

（1）若AE＝2，求AD的长。

明你的结论；②设ED＝x，BH＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

分析：

（1）由AD切⊙O于D，知AD2＝AE·AB，得AD长；

（2）①连结DB，可证∠1＝∠2，则△DFB≌△DHB，得BF＝BH，由等腰△“三线合一”定理知，BD⊥FH，因BD⊥DE，

②由△DFE∽△BDE，设ED＝x，BH＝y，BE＝6，EF＝6－y，可得出y与x的函数关系。

解：

①连结BD，∵AD切⊙O于D，

∴AD2＝AE·AB

∵AE＝2，EB＝6

∴AD＝4

（2）①无论点A在EP上怎样移动，（点A不与点E重合）

证明：

设BD交FH于G

∵AH是⊙O的切线，D为切点，∴∠3＝∠4

又∵BH⊥AH，BE为直径，∴∠BDE＝90°

在△DFB和△DHB中，∠DFB＝∠DHB＝90°，∠1＝∠2，DB＝DB

∴△DFB≌△DHB，

∴BF＝BH，∴△BHF是等腰三角形，

∵∠1＝∠2，∴BG⊥FH，即BD⊥FH

∵BD⊥DE，∴ED∥FH

②设ED＝x，BH＝y，BE＝6，BF＝BH

∴EF＝6－y，

又∵DF是Rt△BDE斜边上的高

∴△DFE∽△BDE

∵点A不与点E重合，∴ED＝x>0

当点A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，

连结OD，则OD⊥PH，∴OD∥BH

又∵PO＝PE＋EO＝6＋3＝9，PB＝12

点拨：

此题第

（2）题的第①小题是一个结论探索问题，它要求先探索出结论，再证明结论成立，这个问题可改为：

点A是线段EP上一点，（点A不与点E重合），

这个点为某条直线上任意一点的问题。

【模拟试题】

1.已知二次函数的图像过点（0，0）和（12，0）最高的点的纵坐标为，

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于x轴的直线在x轴上方与抛物线交于两点，若以该两点为直径的圆与x轴相切求此圆半径。

2.图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点。

甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（）

A.甲先到B点

B.乙先到B点

C.甲、乙同时到B点

D.无法确定

3.如图，已知C为线段AB上一点，分别以AC，AB为直径作⊙O和⊙O'，过B作BE与⊙O相切于E，作CD⊥AB于C，交⊙O'于D，若，求∠ABE的度数。

4.如图所示，⊙A的圆心在y轴的正半轴，与坐标轴分别交于B，C，D，E，直线l是经过D点的⊙A的切线，以OD为半径的⊙D交OA于F，G，BF交直线l于H，BD交⊙D于I。

（1）求证：

∠H＝2∠BFI。

（2）设，求证△BCD是等边三角形。

（3）如图所示，在

（2）的条件下，⊙D沿x轴滚动，与边DB，DC相交于M，N，试问度数是否发生变化。

若变化求出变化范围，若不变给出证明，并求的度数。

（提示：

作辅助线如图）

5.如图，点O1在x轴的正半轴上，⊙O与x轴的负半轴交于G点，⊙O与⊙O1的交点A，B在y轴上，设⊙O1的弦AC的延长线交⊙O于F点，连结GF，且AFGF。

（1）求证：

C为线段OG的中点；

（2）连结AO1作⊙O1的弦DE，使DE∥AO，求E点的坐标；

（3）线段EA，EB（或延长线）分别交⊙O于M，N，问当点E在（不含端点）上运动时，线段MN的长度是否会发生变化？

试证明你的结论。

6.如图所示，直线l的解析式与x轴交于A，与y轴交于另一点C，⊙M经过A，C两点，圆心M在y轴上，过A，M两点的⊙N与⊙M交于另一点E，与y轴交于另一点F。

求：

（1）sin∠CEF的值。

（2）如图所示，设l是⊙N的切线，求证EF∥l。

（3）在

（2）条件下，求⊙N的半径及N点的坐标。

（提示：

做辅助线如图）

【试题答案】

1.解：

（1）∵抛物线过点（0，0）和（12，0）

∴顶点横坐标为6，而纵坐标为

∴顶点为（6，）

设抛物线解析式为则

∴解析式为

（2）设平行于x轴的直线在x轴上方交抛物线于M，N两点，

∵以MN为直径的圆与x轴相切

∴设圆的半径为r，则圆心O'的坐标为（6，r），交点N的坐标为N（6＋r，r），

又∵N在抛物线上

∴

解之：

或（舍去）

∴圆的半径为4

2.C

3.提示：

连结AD，BD，∠ABE＝30°

4.解：

（1）∵直线l切⊙A于D，

∴直线l⊥y轴，连结GF

又∵⊙D交⊙A于FG

∴FG⊥y轴

∴FG∥直线l，∴∠H＝∠GFB

观察⊙D可知∠GDB＝2∠GFI

观察⊙A可知∠GDB＝∠GFB

∴∠GFB＝2∠GFI，∴∠GFI＝∠BFI

∴∠H＝∠BHD＝2∠BFI

（2）∵DE为⊙A的直径，且DE⊥BC于O

∴

∴BD＝CD

连DF，∵直线l切⊙A于D

∴∠HBD＝∠HDF，而∠H＝∠H

∴△DHF∽△BHD

∴

∴在Rt△BOD中，

∴∠DBO＝60°

∴△BCD为等边三角形

（3）延长BD交⊙D'于P，连PN

延长CD交⊙D'于G，过D'作D'K⊥MP于K

D'R⊥GC于R

∵直线l∥x轴而∠DBC＝∠DCB＝60°

∴∠PDD'＝∠CDD'＝60°

∴D'K＝D'R

∴MP＝GC且

在Rt△D'KD和Rt△D'RD中

∴Rt△D'KD≌Rt△D'RD（HL）

∴DK＝DR∴KP＋DK＝RC＋DR

即DP＝DC

而直线l平分∠PDC，∴直线l⊥PN

又∵PDD'＝60°，∴∠P＝30°

∴∠MD'N＝2∠P＝60°

∴的度数为60°

∴的度数不变

5.证明：

连结AG

∵OA⊥OG，OA＝OG

∴∠AGC＝∠AFG＝45°，∠GAC＝∠FAG

∴△AGC∽△AFG而AF＝

∴

∵⊙O的半径为4，∴AG

∴

即点C为线段OG的中点。

（2）解：

连结CE交AO1于点H，作EK⊥CD于K

∵AO1∥ED，DE⊥CE，∴O1A⊥CE

∵OA＝4，OC

∴OD＝8，

在Rt△AOO1和Rt△CHO中

∴Rt△AOO1≌Rt△CHO1

∴O1H＝O1O＝3

又∵O1H∥DE，CO1＝O1D∴CH＝HE

∴DE＝2O1H＝6

∴

在Rt△EDK中，EK＝ED·sin∠EDK

KO＝DO

故点E的坐标为

（3）解：

如图所示，当点E在上运动时，MN的长度不变

在△EMN和△EBA中，

∠E＝∠E，∠EMN＝∠EBA

∴△EMN∽△EBA

∴

连结AN，则AN⊥BE，∠ANE＝90°

当点E在上运动时，∠E的大小不变，8cos∠E是常量，故MN的长度不变。

6.提示：

（1）连结AM，AQ，AE，

（2）如图所示，连结AM，AE，ME

（3）连结AN，AQ，圆心N点坐标为（）