九年级数学关于圆的综合问题二人教版知识精讲.docx

1、九年级数学关于圆的综合问题二人教版知识精讲九年级数学关于圆的综合问题【同步教育信息】一. 本周教学内容： 关于圆的综合问题（二） 综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识，不同章节所学的知识，特别是代数、几何不同学科中所学的知识，综合运用进行解题的数学题目，它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度，又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。 几何中关于圆的综合题大致可分为： （1）以几何知识为主体的综合题； （2）代数、几何知识相结合的综合题； （3）圆中的探索型问题； 我们通过下面的例题对以上各类问题进行分析。【典型例题】（一）以几何知识为主体的综合题。 例1. 如图：O

2、是ABC的外接圆，BD是O的切线，与CA延长交于D，且BD2DA2DAAB，ABD的外接圆交BC于E， （1）求证：ABAC （2）求证：BDEC （3）若ABD的周长等于ACBC， 分析：本题（1）易证。 利用（1）题的结论证（2）题，我们发现如果BDEC成立，必有ABDAEC， 所以我们只需连结AE，并证得2C即可。 （3）题若结论成立，需ABEBAC，因此证明1C是本题解出的关键。 解：（1）BD2DADCDA（DAAC）DA2DAAC， 由已知得：BD2DA2DAAB， ACAB （2）连结AE， BD是O的切线，2C 又AEC是圆内接四边形AEBD的外角，AECD ABAC，ADBA

3、EC BDEC （3）由已知ABBDADACBCACBEEC ABAC，BDEC，ADBE 又ADBAEC，ADAE，AEBE，13 ABAC，3C，1C BAEBCA 又CAEDBC2323 CEA1323 CAECEA CECA 即ABEC 由AB2BEBC，EC2BEBCBE（ECBE） BE2ECBEEC20 点拨：本题是一道典型的几何综合题，把中学几个阶段学到的知识有机的组合到一起，图形中相似三角形、全等三角形、等腰三角形综合到一起，由果索因的分析方法是本题的基本方法，而最后的求值，则应综合我们前面证过的结论，得到关于BE和EC的关系式，最后利用解一元二次方程的方法求解。二、与函数知

4、识相结合的综合题 例2. 圆的圆心D是该抛物线的顶点，小圆的圆心B是该抛物线与x轴正半轴的交点，大圆与x轴相切于E，小圆与y轴相切于O，两圆外切，且大圆的半径是小圆半径的4倍。 （1）求acb的值； 解：（1）设小圆半径为r，则大圆半径为4r， BD5r，DE4r， 由勾股定理得EB3r， 例3. 又抛物线的顶点为P（2，4）， （1）求此抛物线解析式及A，B两点坐标； （2）设过P，C两点的直线与x轴交于点Q，求Q点坐标； （3）设过B，C，O三点的圆O与过P，C两点的直线相交于C，E两点，求tanCOE的值。 解：（1）抛物线顶点P坐标为P（2，4） 可设抛物线解析式为： 设A（x1，0）

5、，B（x2，0），C（0，4a4）， A（2，0），B（6，0） （2）设过P、C的直线为ymxn， P（2，4），C（0，3） （3）连结OE，BE，BC 四边形COBE内接于O， BECBOC90，而COECBE RtQOCRtQEB （三）圆中的探索型问题 探索型数学问题一般具有以下特征： （1）给出了条件，但有怎样的结论却是未知的，有待确定的； （2）给出了结论，但要去探求结论成立应具备的条件，解题方法的寻求需要同学有独立创新的精神； 可先提出特殊情况进行研究，再要求归纳，猜测和确定一般结论； 先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时，其结论相应发生的变化，或改变结论时其

6、条件相应发生的变化。 解答探索型习题，必须经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等思维活动才能解决问题。 例4. 如图：已知平行四边形PQRS是O的内接四边形。 （1）求证：平行四边形PQRS是矩形。 （2）如图所示，如果将题目中的O改为边长为a的正方形ABCD，在AB、AD上分别取点P，S，连结PS，将RtSAP绕正方形中心O旋转180得RtQCR，从而得到四边形PQRS，试判断四边形PQRS能否变化成矩形？若能，设PAx，SAy，请说明x、y具有什么关系时，四边形PQRS是矩形；若不能，请说明理由。 分析：（1）主要是运用圆内接四边形的性质； （2）是探索性问题，抓住题设条件，

7、利用对称的性质是解决问题的突破口。 解：（1）证法一：PQRS是圆内接四边形 PR180 又四边形PQRS是平行四边形 PR，P90， 故平行四边形PQRS是矩形。 证法二：圆内接四边形PQRS是平行四边形， QRPS，QPRS， PQR90，平行四边形PQRS是矩形。 （2）由题意，得RtSAP与RtQCR关于O对称，如图 OPOR，OQOS 四边形PSRQ是平行四边形，当PSR90时， 平行四边形PSRQ为矩形，此时1290 又3290，31 RtPASRtSDR xy或xya 当xy或xya时，平行四边形PSRQ为矩形。 例5. 如图：EB是O的直径，且EB6，在BE的延长线上取点P，使

8、EPEB。A是EP上一点，过A作O的切线AD，切点为D。过D作DFAB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H。连结ED和FH。 （1）若AE2，求AD的长。 明你的结论；设EDx，BHy，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 分析：（1）由AD切O于D，知AD2AEAB，得AD长； （2）连结DB，可证12，则DFBDHB，得BFBH，由等腰“三线合一”定理知，BDFH，因BDDE， 由DFEBDE，设EDx，BHy，BE6，EF6y，可得出y与x的函数关系。 解：连结BD，AD切O于D， AD2AEAB AE2，EB6 AD4 （2）无论点A在EP上怎样移动，（点A不与点

9、E重合） 证明：设BD交FH于G AH是O的切线，D为切点，34 又BHAH，BE为直径，BDE90 在DFB和DHB中，DFBDHB90，12，DBDB DFBDHB， BFBH，BHF是等腰三角形， 12，BGFH，即BDFH BDDE，EDFH 设EDx，BHy，BE6，BFBH EF6y， 又DF是RtBDE斜边上的高 DFEBDE 点A不与点E重合，EDx0 当点A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大， 连结OD，则ODPH，ODBH 又POPEEO639，PB12 点拨：此题第（2）题的第小题是一个结论探索问题，它要求先探索出结论，再证明结论成立，这个问题可改为：点

10、A是线段EP上一点，（点A不与点E重合），这个点为某条直线上任意一点的问题。【模拟试题】 1. 已知二次函数的图像过点（0，0）和（12，0）最高的点的纵坐标为，（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线在x轴上方与抛物线交于两点，若以该两点为直径的圆与x轴相切求此圆半径。 2. 图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点。甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（ ） A. 甲先到B点 B. 乙先到B点 C. 甲、乙同时到B点 D. 无法确定 3. 如图，已知C为线段AB上一点，分别以AC，AB为直径作O和O，过B作BE与O相切于E，作CDAB

11、于C，交O于D，若，求ABE的度数。 4. 如图所示，A的圆心在y轴的正半轴，与坐标轴分别交于B，C，D，E，直线l是经过D点的A的切线，以OD为半径的D交OA于F，G，BF交直线l于H，BD交D于I。 （1）求证：H2BFI。 （2）设，求证BCD是等边三角形。 （3）如图所示，在（2）的条件下，D沿x轴滚动，与边DB，DC相交于M，N，试问度数是否发生变化。若变化求出变化范围，若不变给出证明，并求的度数。（提示：作辅助线如图） 5. 如图，点O1在x轴的正半轴上，O与x轴的负半轴交于G点，O与O1的交点A，B在y轴上，设O1的弦AC的延长线交O于F点，连结GF，且AFGF。 （1）求证：C

12、为线段OG的中点； （2）连结AO1作O1的弦DE，使DEAO，求E点的坐标； （3）线段EA，EB（或延长线）分别交O于M，N，问当点E在（不含端点）上运动时，线段MN的长度是否会发生变化？试证明你的结论。 6. 如图所示，直线l的解析式与x轴交于A，与y轴交于另一点C，M经过A，C两点，圆心M在y轴上，过A，M两点的N与M交于另一点E，与y轴交于另一点F。 求：（1）sinCEF的值。 （2）如图所示，设l是N的切线，求证EFl。 （3）在（2）条件下，求N的半径及N点的坐标。（提示：做辅助线如图）【试题答案】 1. 解：（1）抛物线过点（0，0）和（12，0） 顶点横坐标为6，而纵坐标为

13、 顶点为（6，） 设抛物线解析式为 则 解析式为 （2）设平行于x轴的直线在x轴上方交抛物线于M，N两点， 以MN为直径的圆与x轴相切 设圆的半径为r，则圆心O的坐标为（6，r），交点N的坐标为N（6r，r）， 又N在抛物线上 解之：或（舍去） 圆的半径为4 2. C 3. 提示：连结AD，BD，ABE30 4. 解：（1）直线l切A于D， 直线ly轴，连结GF 又D交A于FG FGy轴 FG直线l，HGFB 观察D可知GDB2GFI 观察A可知GDBGFB GFB2GFI，GFIBFI HBHD2BFI （2）DE为A的直径，且DEBC于O BDCD 连DF，直线l切A于D HBDHDF，而

14、HH DHFBHD 在RtBOD中， DBO60 BCD为等边三角形 （3）延长BD交D于P，连PN 延长CD交D于G，过D作DKMP于K DRGC于R 直线lx轴而DBCDCB60 PDDCDD60 DKDR MPGC且 在RtDKD和RtDRD中 RtDKDRtDRD(HL) DKDR KPDKRCDR 即DPDC 而直线l平分PDC，直线lPN 又PDD60，P30 MDN2P60 的度数为60 的度数不变 5. 证明：连结AG OAOG，OAOG AGCAFG45，GACFAG AGCAFG 而AF O的半径为4，AG 即 点C为线段OG的中点。 （2）解：连结CE交AO1于点H，作EKCD于K AO1ED，DECE，O1ACE OA4，OC OD8， 在RtAOO1和RtCHO中 RtAOO1RtCHO1 O1HO1O3 又O1HDE，CO1O1D CHHE DE2O1H6 在RtEDK中，EKEDsinEDK KODO 故点E的坐标为 （3）解：如图所示，当点E在上运动时，MN的长度不变 在EMN和EBA中， EE，EMNEBA EMNEBA 连结AN，则ANBE，ANE90 当点E在上运动时，E的大小不变，8cosE是常量，故MN的长度不变。 6. 提示：（1）连结AM，AQ，AE， （2）如图所示，连结AM，AE，ME （3）连结AN，AQ，圆心N点坐标为（）