上海自招数学专题11 对称式和轮换对称式解析版.docx
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上海自招数学专题11对称式和轮换对称式解析版
上海自招数学
专题11对称式和轮换对称式
考点点拨
典例精选
1．（黄冈校级）已知
，
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【点拨】先将上面三式相加，求出
，
，
，再将
化简即可得出结果．
【解析】解：
∵
，∴
15①，
∵
，∴
17②；
∵
，∴
16③，
∴①+②+③得，2（
）＝48，
∴
24，
则
，
故选：
D．
【点睛】本题考查了对称式和轮换对称式，是基础知识要熟练掌握．
2．（大观区校级自主招生）若abc＝1，且
．则x等于（ ）
A．1B．2003C．4006D．2008
【点拨】先将原式根据条件变形为
，再整理成：
，再通过等式的性质去分母后就可以求出其值．
【解析】解：
∵abc＝1，且
．
∴
，
∴
，
∴cx+acx+x＝2003c（ab+a+1），
∴x（c+ac+1）＝2003c（ab+a+1），
∴x（c+ac+abc）＝2003c（ab+a+1），
∴xc（ab+a+1）＝2003c（ab+a+1），
∴x＝2003．
故选：
B．
【点睛】本题考查了方程中的对称式和轮换对称式的运用及解此类方程的一般方法的运用．
3．（梁子湖区校级自主招生）设x、y、z是三个互不相等的数，且x
y
z
，则xyz＝ ±1 ．
【点拨】分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy
，同理可得出zx
，xy
，三式相乘可得出xyz的值．
【解析】解：
由已知x
y
z
，
得出x
y
，
∴x﹣y
，
∴zy
①
同理得出：
zx
②，
xy
③，
①×②×③得x2y2z2＝1，即可得出xyz＝±1．
故答案为：
±1．
【点睛】此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式，技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点．
4．（宁海县校级自主招生）x1、x2、y1、y2满足x12+x22＝2，x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3．则y12+y22＝ 5 ．
【点拨】根据题意令x1
sinθ，x2
cosθ，又知x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3，列出方程组解出y1和y2，然后求出y12+y22的值．
【解析】解：
令x1
sinθ，x2
cosθ，
又知x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3，
故
，
解得：
y1＝cosθ+3sinθ，
y2＝3cosθ﹣sinθ，
故y12+y22＝5．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令x1
cosθ，x2
sinθ，此题难度不大．
5．（余姚市校级自主招生）设a
，b
，c
，且x+y+z≠0，则
1 ．
【点拨】∵a
，b
，c
分别代入
，
，
表示出
，
，
的值，然后化简就可以求出结果了．
【解析】解：
∵a
，b
，c
，
∴
∴
∵x+y+z≠0
∴原式＝1．
故答案为：
1．
【点睛】本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用．具有一定的难度．
6．（鹿城区校级自主招生）已知互不相等的实数a，b，c满足
，则t＝ ±1 ．
【点拨】首先设a
t，可得b
，代入b
t，整理可得ct2﹣（ac+1）t+（a﹣c）＝0①，又由c
t，可得ac+1＝at②，将②代入①，即可得（c﹣a）（t2﹣1）＝0，又由实数a，b，c互不相等，即可求得答案．
【解析】解：
设a
t，
则b
，
代入b
t，得：
t，
整理得：
ct2﹣（ac+1）t+（a﹣c）＝0①
又由c
t，可得ac+1＝at②，
把②代入①式得ct2﹣at2+（a﹣c）＝0，
即（c﹣a）（t2﹣1）＝0，
又∵c≠a，
∴t2﹣1＝0，
∴t＝±1．
验证可知：
b
，c
时，t＝1；b
，c
时，t＝﹣1．
∴t＝±1．
故答案为：
±1．
【点睛】此题考查了对称式和轮换对称式的知识．此题难度比较大，注意设a
t，从而得到方程ct2﹣（ac+1）t+（a﹣c）＝0①与ac+1＝at②是解此题的关键．
7．（抚州校级）已知
，
，
，求7x+5y﹣2z的值．
【点拨】先根据题意得出
，
，
，求出
，
，
的值，进而得出x、y、z的值，再代入所求代数式进行计算即可．
【解析】解：
∵
，
，
，
∴
，
，
，
解得：
，
，
，
∴x
，y
，z＝24，
∴原式＝7
5
2×24
＝24+24﹣48
＝0．
【点睛】本题考查的是对称式和轮换对称式，根据题意把原式化为
，
，
的形式是解答此题的关键．
8．（龙湾区校级）已知b≥0，且a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3，求a+b+c+d的最大值．
【点拨】分别表示出a，b，c，d，然后通过分别代入，使最后成为只含b的代数式，b的范围知道从而得解．
【解析】解：
∵a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3，
∴2b+c＝6，c＝6﹣2b，
代入a+b＝c+1得a＝7﹣3b，
代入b+c＝d+2得d＝4﹣b，
则a+b+c+d＝17﹣5b，
因为b≥0，
所以当b取0时，a+b+c+d的最大值为17．
【点睛】本题对称式和轮换对称式，关键是根据代数式的运算，用代入法，转换成关于b的代数式，从而求出取值范围．
9．（文登市校级）设a，b，c，满足
，
，
，求
的值．
【点拨】利用分式的基本性质得出
3①，
4②
5③，进而求出答案．
【解析】解：
∵
，
，
，
∴
3①，
4②
5③，
①+②+③得：
2（
）＝12，
故
6，
则
．
【点睛】此题主要考查了对称式和轮换对称式，得出2（
）＝12是解题关键．
10．（黄冈校级自主招生）已知
，
，
，求
的值．
【点拨】由
，
，
，易得
，
，
，然后代入即可求得答案．
【解析】解：
∵
，
∴
，
∴x（y+z）＝2（x+y+z），
∴x
，
即：
，
同理：
，
，
∴
2．
【点睛】此题考查了对称式与轮换对称式的知识．此题难度适中，解题的关键是得到：
，
，
．
精准预测
1．若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是一个完全对称式．已知三个代数式：
①a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）；②a2bc+b2ac+c2ab；③a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac．其中是完全对称式的（ ）
A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．有①②③
【点拨】根据完全对称式的含义，把式子中任意两个字母交换，根据乘法的交换律和加法的交换律即可求出答案．
【解析】解：
根据完全对称式的含义：
把a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）中任意两个字母交换，如a和c交换得到：
c（b+a）+b（c+a）+a（c+b）＝a（b+c）+b（a+c）+c（a+b），交换其它的任意的两个字母也和原式相等，∴①正确；
根据完全对称式的含义：
把a2bc+b2ac+c2ab中任意两个字母交换，如b和c交换得到：
a2cb+c2ab+b2ac＝a2bc+b2ac+c2ab，交换其它的任意的两个字母也和原式相等∴②正确；
根据完全对称式的含义：
把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac中任意两个字母交换，如b和a交换得到：
b2+a2+c2﹣ba﹣ac﹣bc＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，交换其它的任意的两个字母也和原式相等，∴③正确．
故选：
D．
【点睛】本题主要考查对对称式和轮换对称式的理解和掌握，能熟练地根据完全对称式的含义进行判断是解此题的关键．
2．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，那么abc的值是（ ）
A．672B．688C．720D．750
【点拨】首先将a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170分别展开，即可求得ab+ac＝152①，bc+ba＝162②，ca+cb＝170③，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值．
【解析】解：
∵a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，
∴ab+ac＝152①，
bc+ba＝162②，
ca+cb＝170③，
∴①+②+③，并化简，得：
ab+bc+ca＝242④，
④﹣①得：
bc＝90，
④﹣②得：
ca＝80，
④﹣③得：
ab＝72，
∴bc•ca•ab＝90×80×72，
即（abc）2＝7202，
∵a，b，c均为正数，
∴abc＝720．
故选：
C．
【点睛】此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是将ab，ca，bc看作整体，利用整体思想与方程思想求解．
3．已知
，则
的值为
．
【点拨】利用
k，得出方程组，解出x，y，z代入求值即可．
【解析】解：
设
k，得
，解得
，
所以
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了对称式和轮换对称式，解题的关键是用k表示x，y，z的值．
4．已知
，
，
．则a＝
，b＝
c＝ 24 ．
【点拨】根据
可得
，同理求出
，
，三式相加后再分别减去各式即可得到
、
和
的值，于是a、b和c的值求出．
【解析】解：
∵
，
∴
①，
同理可知：
②，
③，
①+②+③＝2（
）
，
即（
）
④，
④﹣①
，
即c＝24，
④﹣②
，
即b
，
④﹣③
，
即a
，
故答案为
、
、24．
【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是求出
的值，此题难度不大．
5．已知
，
，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c＝ 19 ．
【点拨】令P＝（m+9n）x，Q＝（9m+5n）x（x≠0），由
可得：
═
，解出a、b和c的值即可．
【解析】解：
令P＝（m+9n）x，Q＝（9m+5n）x（x≠0），
又知
，
即
，
解得a＝2，c
，b
，
即a+b+c＝2
17．
故答案为﹣17．
【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令P＝（m+9n）x，Q＝（9m+5n）x，此题难度不大．
6．已知abc＝1，则关于x的方程
的解为 x＝2012 ．
【点拨】根据abc＝1，可以得到ab
，bc
，代入
，
进行化简，即可求得（
）的值，从而求解．
【解析】解：
∵abc＝1，
∴ab
，bc
，
∴
，
，
∴
，
∴关于x的方程
即（
）x＝2012，
即（
）x＝2012，
x＝2012，
∴x＝2012．
故答案是：
x＝2012．
【点睛】本题考查了方程的解法，正确求得
的值是关键．
7．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22＝b，x2y1﹣x1y2＝a，x1y1+ax2y2＝c，则y12+ay22的值为
．
【点拨】∵x12+ax22＝b①，x2y1﹣x1y2＝a②，x1y1+ax2y2＝c③．首先将第②、③
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