无字证明例题.docx
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无字证明例题
以下证明选自某神书Proofswithoutwords及网上图片
1.含15°角的直角三角形面积公式
2.不等式x+1/x>2（x>1）的五种证明
前n个三角形数的和（三角形数T_n=1+2+3+...+n=n（n+1）/2）
自认为初中能看懂。
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4.1*2+2*3+3*4+...+（n-1）n的计算公式
8
5.勾股定理的割补法证明
0.勾股定理
这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。
我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。
而路明思（ElishaScottLoomis）在《毕达哥拉斯命题》（PythagoreanProposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。
这里给出一个不需要语言的证明方法。
实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。
1.关于反正切的恒等式
关于反正切，有如下两个很精彩的等式：
arctan1/2+arctan1/3=π/4
acrtan1+arctan2+arctan3=π
它们的证明方法也同样精彩
2.几何平均值小于算术平均值
这是不等式中最重要和基础的等式：
它也可以通过图形来证明。
注意到△ABC∽△DBA,可以很轻松地得到AB=√ab。
剩下的就显而易见了。
3.1+3+5+…+（2n-1）=n2
这是奇数的求和公式，下图是当n=8时的情形
4.平方数的求和公式
5.立方数的求和公式
6.斐波那契数列的恒等式
可谓家喻户晓的斐波那契数列指的是这样一个数列：
1、1、2、3、5、8、13、21……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，Fn+1=Fn+Fn-1。
它的通项公式是
有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
而且当n无穷大时Fn-1/Fn越来越逼近黄金分割数0.618。
正因为它的种种神奇性质，美国数学会甚至从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊。
关于斐波那契数列，有一个恒等式是这样的
这个等式很漂亮，不需要借助复杂的数学推导，它有一个很直观的证明方法
7.结果为1/3的一组分子式
下面是一组分子式，他们的结果都等于1/3：
8.最受数学家喜爱的无字证明
1989年的《美国数学月刊》（AmericanMathematicalMonthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：
下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。
《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。
把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。
三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。
它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。
这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。
死理性派曾经讨论过这个问题。
同时它还是死理性派logo的出处。
9.棋盘上的数学证明
在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。
如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？
答案是不能的。
每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。
所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。
而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。
但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？
假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？
我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。
建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。
上图就是那个漂亮的证明。
不妨对它再赘述两句。
粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。
从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。
在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。
从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。
这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（RalphGomory）找到的。
它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里
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