高考数学一轮复习 课标通用 第八章立体几何86空间向量及其运算和空间位置关系学案理.docx

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高考数学一轮复习课标通用第八章立体几何86空间向量及其运算和空间位置关系学案理

§8.6　空间向量及其运算和空间位置关系

考纲展示►　

1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．

2．会推导空间两点间的距离公式．

3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

6．理解直线的方向向量与平面的法向量．

7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．

8．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理（包括三垂线定理）．

考点1　空间向量的线性运算

空间向量的有关概念

（1）空间向量：

在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．

（2）相等向量：

方向________且模________的向量．

（3）共线向量：

表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量．

（4）共面向量：

________________的向量．

答案：

（1）大小　方向　

（2）相同　相等　

（3）平行或重合　（4）平行于同一个平面

（1）[教材习题改编]已知在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则化简＋（＋）＝________.

答案：

解析：

＋（＋）＝＋＝.

（2）[教材习题改编]如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________．

答案：

－a＋b＋c

解析：

由图可知，＝＋＝＋＝＋（－）＝c＋（b－c）＝－a＋b＋c.

[典题1]　

（1）[2017·河南郑州模拟]如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.

[答案]　

[解析]　设＝a，＝b，＝c，

则＝－＝（＋）－

＝b＋c－a，

＝＋＝＋

＝a＋

＝a＋b＋c.

又＝x＋y＋z，

所以x＝，y＝，z＝，

因此x＋y＋z＝＋＋＝.

（2）如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

①；

②＋.

[解]　①因为P是C1D1的中点，

所以＝＋＋

＝a＋＋

＝a＋c＋＝a＋c＋b.

②因为M是AA1的中点，

所以＝＋＝＋

＝－a＋

＝a＋b＋c.

又＝＋＝＋

＝＋＝c＋a，

所以＋＝＋

＝a＋b＋c.

[点石成金]　用已知向量表示某一向量的方法

用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

考点2　共线、共面向量定理的应用

空间向量中的有关定理

（1）共线向量定理：

对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb.

（2）共面向量定理：

若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb.

（3）空间向量基本定理：

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.

空间向量理解的误区：

共线；共面．

给出下列命题：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc；

④若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.

其中为真命题的是________.

答案：

④

解析：

若a与b共线，则a，b所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但三个却不一定共面，故②不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一个向量p才一定能表示为p＝xa＋yb＋zc，故③不正确；据向量运算法则可知④正确.

[典题2]　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：

（1）E，F，G，H四点共面；

（2）BD∥平面EFGH.

[证明]　

（1）连接BG，则＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋.

由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．

（2）＝－＝－

＝（－）＝.

因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.

又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH.

[点石成金]　应用共线（面）向量定理、证明点共线（面）的方法比较

三点（P，A，B）共线

空间四点（M，P，A，B）共面

＝λ

＝x＋y

对空间任一点O，＝＋t

对空间任一点O，＝＋x＋y

对空间任一点O，＝x＋（1－x）

对空间任一点O，＝x＋y＋（1－x－y）

如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，

N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k（0≤k≤1）．向量是否与向量，共面？

解：

∵＝k，＝k，

∴＝＋＋

＝k＋＋k

＝k（＋）＋

＝k（＋）＋

＝k＋＝－k

＝－k（＋）

＝（1－k）－k，

∴由共面向量定理知，向量与向量，共面．

考点3　利用向量证明平行与垂直问题

向量法证明平行与垂直

（1）两个重要向量

①直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行（或重合）的非零向量，一条直线的方向向量有________个．

②平面的法向量

直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有________个，它们是共线向量．

（2）空间位置关系的向量表示

答案：

（1）①无数　②无数

[典题3]　[2017·广东汕头模拟]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：

（1）CM∥平面PAD；

（2）平面PAB⊥平面PAD.

[证明]　以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.

∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，

∴∠PBC＝30°.

∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，

∴D（0,1,0），B（2，0,0），A（2，4,0），P（0,0,2），M，

∴＝（0，－1,2），＝（2，3,0），

＝.

（1）设n＝（x，y，z）为平面PAD的一个法向量，

则即

令y＝2，得n＝（－，2,1）．

∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，

∴n⊥.

又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.

（2）证法一：

由

（1）知，＝（0,4,0），＝（2，0，－2），

设平面PAB的一个法向量为m＝（x0，y0，z0），

则即

令x0＝1，得m＝（1,0，）．

又∵平面PAD的一个法向量n＝（－，2,1），

∴m·n＝1×（－）＋0×2＋×1＝0，

∴平面PAB⊥平面PAD.

证法二：

如图，取AP的中点E，连接BE，

则E（，2,1），＝（－，2,1）．

∵PB＝AB，∴BE⊥PA.

又∵·＝（－，2,1）·（2，3,0）＝0，

∴⊥.∴BE⊥DA.

又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.

又∵BE⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD.

[点石成金]　1.利用向量法证明平行问题的三种方法

（1）证明线线平行：

两条直线的方向向量平行．

（2）证明线面平行：

①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．

（3）证明面面平行：

两个平面的法向量平行．

2．利用向量法证明垂直问题的三种方法

（1）证明线线垂直：

两条直线的方向向量的数量积为0.

（2）证明线面垂直：

直线的方向向量与平面的法向量平行．

（3）证明面面垂直：

①其中一个平面与另一个平面的法向量平行；

②两个平面的法向量垂直.

已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：

（1）DE∥平面ABC；

（2）B1F⊥平面AEF.

证明：

以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

令AB＝AA1＝4，则A（0,0,0），E（0,4,2），

F（2,2,0），B1（4,0,4），D（2,0,2），A1（0,0,4）．

（1）＝（－2,4,0），平面ABC的一个法向量为＝（0,0,4），

∵·＝0，DE⊄平面ABC，

∴DE∥平面ABC.

（2）＝（－2,2，－4），＝（2，－2，－2），

·＝（－2）×2＋2×（－2）＋（－4）×（－2）＝0，

∴⊥，∴B1F⊥EF.

·＝（－2）×2＋2×2＋（－4）×0＝0，

∴⊥，∴B1F⊥AF.

∵AF∩EF＝F，

∴B1F⊥平面AEF.

考点4　空间向量数量积的应用

1.两个向量的数量积

（1）非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

（2）空间向量数量积的运算律

①结合律：

（λa）·b＝λ（a·b）；

②交换律：

a·b＝b·a；

③分配律：

a·（b＋c）＝a·b＋a·c.

2．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）.

答案：

a1b1＋a2b2＋a3b3　a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

正确使用空间向量的数量积．

（1）已知向量a＝（4，－2，－4），b＝（6，－3,2），则（a＋b）·（a－b）的值为________．

答案：

－13

解析：

a＋b＝（10，－5，－2），a－b＝（－2,1，－6），

∴（a＋b）·（a－b）＝－13.

（2）已知a＝（1,2，－2），b＝（0,2,4），则a，b夹角的余弦值为________．

答案：

－

解析：

cos〈a，b〉＝＝－.

[典题4]　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．

[解]　∵AB与CD成60°角，

∴〈，〉＝60°或120°.

又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，

∴||＝＝

＝

＝

＝，

∴||＝2或.∴BD的长为2或.

[点石成金]　1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．

2．利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．

3．可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.

如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．

（1）求证：

MN⊥AB，MN⊥CD；

（2）求MN的长；

（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值．

（1）证明：

设＝p，＝q，＝r.

由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.

＝－＝（＋）－

＝（q＋r－p），

∴·＝（q＋r－p）·