高考数学一轮复习 课标通用 第八章立体几何86空间向量及其运算和空间位置关系学案理.docx

1、高考数学一轮复习 课标通用 第八章立体几何86空间向量及其运算和空间位置关系学案理8.6空间向量及其运算和空间位置关系考纲展示1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2会推导空间两点间的距离公式3了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直6理解直线的方向向量与平面的法向量7能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系8能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)考点1空间向量的线性运算空间向

2、量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有_和_的量叫做空间向量(2)相等向量：方向_且模_的向量(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相_的向量(4)共面向量：_的向量答案：(1)大小方向(2)相同相等(3)平行或重合(4)平行于同一个平面(1)教材习题改编已知在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则化简()_.答案：解析：().(2)教材习题改编如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则可用a，b，c表示为_答案： abc解析：由图可知，()c(bc)abc.典题1(1)2017河南郑州模拟如图所示，已知空间四边形OABC，

3、其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则xyz_.答案 解析设a，b，c，则()bca，aabc.又xyz，所以x，y，z，因此xyz.(2)如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：；.解因为P是C1D1的中点，所以aacacb.因为M是AA1的中点，所以aabc.又ca，所以abc.点石成金用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首

4、尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立考点2共线、共面向量定理的应用 空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在唯一一个R，使ab.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得pxaybzc.空间向量理解的误区：共线；共面给出下列命题：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若三个向量a，b，c

5、两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得pxaybzc；若A，B，C，D是空间任意四点，则有0.其中为真命题的是_. 答案：解析：若a与b共线，则a，b所在的直线可能平行也可能重合，故不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一个向量p才一定能表示为pxaybzc，故不正确；据向量运算法则可知正确.典题2已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1

6、)连接BG，则().由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面(2)().因为E，H，B，D四点不共线，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.点石成金应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面xy 对空间任一点O，t对空间任一点O，xy 对空间任一点O，x(1x) 对空间任一点O，xy(1xy) 如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k (0k1)向量是否与向量，共面？解：k，k，kkk()k()kkk()(1k)k，由共面向量定理知，向量与向量，共面考点3

7、利用向量证明平行与垂直问题向量法证明平行与垂直(1)两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有_个平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有_个，它们是共线向量(2)空间位置关系的向量表示答案：(1)无数无数典题32017广东汕头模拟如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.证明以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，

8、CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC2，PB4，D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，.(1)设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即令y2，得n(，2,1)n2010，n.又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)证法一：由(1)知，(0,4,0)，(2，0，2)，设平面PAB的一个法向量为m(x0，y0，z0)，则即令x01，得m(1,0，)又平面PAD的一个法向量n(，2,1)，mn1()0210，平面PAB平面PAD.证法

9、二：如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，.BEDA.又PADAA，BE平面PAD.又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.点石成金1.利用向量法证明平行问题的三种方法(1)证明线线平行：两条直线的方向向量平行(2)证明线面平行：该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示(3)证明面面平行：两个平面的法向量平行2利用向量法证明垂直问题的三种方法(1)证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0.(2)证明线面垂直：

10、直线的方向向量与平面的法向量平行(3)证明面面垂直：其中一个平面与另一个平面的法向量平行；两个平面的法向量垂直.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)(1)(2,4,0)，平面ABC的一个法向量为(0,0,4)，0，DE平面ABC

11、，DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2)22(2)(4)(2)0，B1FEF.(2)222(4)00，B1FAF.AFEFF，B1F平面AEF.考点4空间向量数量积的应用1.两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.2空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).答案：a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b30正确使用空间向量的数量积(1)已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)

12、，则(ab)(ab)的值为_答案：13解析：ab(10，5，2)，ab(2,1，6)，(ab)(ab)13.(2)已知a(1,2，2)，b(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为_答案：解析：cosa，b.典题4如图所示，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长解AB与CD成60角，60或120.又ABACCD1，ACCD，ACAB，|，|2或.BD的长为2或.点石成金1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置2利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角3可以通过|a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值(1)证明：设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)