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sx1206集合论的创立与发展
专题06集合论的创立与发展
19世纪由德国数学家康托（G.Cantor，1845～1918）建立的集合论是关于无穷集合与超穷数的数学理论，是人类思想史上最伟大的创造之一。
数学里遇到的无穷有：
无穷过程、无穷小和无穷大。
对于无穷，必须能作数学的处理，能进行运算，才能算作数学的对象。
人们对于无穷的认识经历了漫长的过程。
集合论的中心难点是无穷集合这个概念本身。
从希腊时代以来，这样的集合很自然地引起数学家和哲学家们的注意，而这种集合的本质以及看起来是矛盾的性质，使得对这种集合的理解在19世纪以前几乎没有任何进展。
在19世纪以前数学发展的历程中，人们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并且尽可能回避这一概念。
从古希腊到康托的时代，哲学家和数学家都只承认“潜无穷”的存在，而反对“实无穷”的概念。
一、关于集合的早期概念
1．《墨经》中的集合与区间
《经上》2：
体，分于兼也。
《经说上》：
体，若二之一，尺之端也。
《经上》45：
损，偏去也。
《经说上》：
损，偏也者，兼之体也。
其体或去或存，谓其存者损。
《经上》62：
有间，中也。
《经说上》：
有间，谓夹之者也。
《经上》63：
间，不及旁也。
《经说上》：
间，谓夹者也。
尺前于区穴而后于端，不夹于端与区内。
及（不）及：
非齐之及也。
《经上》64：
纑：
间虚也。
《经说上》：
纑：
虚也者，两木之间，谓其无木者也。
《经上》65：
盈，莫不有也。
《经说上》：
盈，无盈无厚。
《经下》73：
无穷不害兼，说在盈否。
《经下》74：
不知其数而知其尽也，说在问者。
《经上》61：
端，体之无序（厚）而最前者也。
《经说上》：
端，是无同（间）也。
《经下》60：
非半弗斱则不动，说在端。
《经说下》：
非，斱半；进前取也，前则中无为半，犹端也；前后取，则端中也。
斱必半，毋与非半，不可斱也。
2．西方数学中关于无穷集合的早期概念
芝诺（Zeno）悖论
亚里士多德（Aristotle，384～322B.C.）：
潜无穷。
亚里士多德考虑过无穷集合，例如整数集合，但他不承认一个无穷的集合可以作为固定的、已经完成的整体而存在。
对他来说，集合只能是潜在地无穷的（potentiallyinfinite）。
普洛克鲁（Proclus，410～485A.D.）注意到圆的一条直径将圆分为两半；对应于每一条直径，均有两个半圆。
由于直径有无穷多条，于是相应的半圆就有两倍的无穷。
普洛克鲁说，这在许多人看来是一个矛盾。
但他用这样的说法来解决这个矛盾：
任何人都只能说很大很大数目的直径或圆，不能说一个实实在在无穷多的直径或圆。
换言之，普洛克鲁是接受亚里士多德的潜无穷概念而不接受实无穷概念的。
这就回避了两倍无穷大等于一个无穷大的问题。
伽利略（Galileo，1564～1642）在他的《两门新科学》（1638）中注意到两个不等长的线段AB与CD上的点可以构成一一对应，从而可以想象它们含有同样多的点。
他又注意到正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要把每一个正整数同它们的平方对应起来就可以了。
直到19世纪上半叶，绝大多数数学家均不承认无穷集合及其特殊属性的存在。
他们自由自在地使用着无穷小、无穷大和无穷级数，运用着自然数系、有理数系及实数系，随意谈论直线上或平面上的任意点，却回避对无穷集合进行任何认真的讨论。
二、集合论的创立
1．波尔扎诺（B.Bolzano，1781～1848，捷克）
波尔扎诺是最先洞察到无穷集合重大意义，并朝着建立明确的无穷集合理论的方向采取积极步骤的数学家。
《无穷的悖论》（1851）。
接受实无穷；强调两个集合等价的概念，即后来所说的两个集合元素间的一一对应关系；注意并承认在无穷集合的情形，一个部分或子集可以等价于全体。
为了说明这种等价关系的真实存在，他举出了大量实例.例如，在实数集[0，5]与实数集[0,12]之间可以建立1—1对应关系，只需建立函数关系y＝（12/5）x，其中x为[0，5]的任意元素，y为[0,12]的相应元素。
波尔扎诺提出和强调了有关无穷集合的某些重要概念和思想，但也存在着许多模糊的认识。
例如，他提出了超限数的概念，却未能正确地理解它，甚至认为对于超限数无需建立运算，因而不必去研究它。
波尔扎诺的无穷集合思想在他生前没有得到学术界的重视，他的重要著作《无穷的悖论》直到他死后三年才得以出版。
2．康托（Cantor）集合论的起源
康托（GeorgCantor，1845～1918年，德国）
1845年3月3日生于俄国圣彼得堡。
1862年10月入瑞士苏黎世大学,此后先后在德国格廷根大学和柏林大学学习，1867年在柏林大学获得博士学位。
1869年起任教于哈勒大学，直到去世。
1872年成为副教授，并从这一年起一直主持该校的数学讲座，1879年成为教授。
康托研究无穷集合是从证明“函数展开为三角级数的唯一性”开始的。
从1807年起，傅立叶（J.B.J.Fourier，1768～1830，法国）在他著名的关于热传导问题的研究中，建立了“对任意给定的函数都可以用一具有特殊类型的系数的三角级数表示”的结果，这种级数后来被称为傅立叶级数，成为数学分析与数学物理中强有力的工具，但在当时被认为是缺乏严格性的。
1823年，柯西（A.L.Cauchy，1789～1857）发表了一篇文章，试图建立更严格的傅立叶级数理论，但他的许多论证是不充分的。
1829年，狄里希雷（P.G.L.Dirichlet，1805～1859）发表了一篇关于傅立叶级数的论文，其中证明，对于一个给定的函数，只要它是连续的，就完全可以由它的傅立叶级数表示，端点可能除外，而在不连续点和端点（－π和π）处，函数仅当满足某些附加条件时才可由傅立叶级数表示。
数学分析里间断函数求积分问题和三角级数收敛性问题的研究都要求对于产生各种不连续情形的函数定义域之上的点集进行特殊的考察，一般是要求能够从某一区间的所有点中分离出另一无穷点集。
这个分离出的无穷集的性质在很大程度上影响着对有关问题的讨论。
例如，从区间[0，1]分离出{1，1／2，1／3，……，1／n，…}和分离出0与1之间的一切有理数，这两个无穷集的性质就很不相同。
因此有必要对无穷集进行分类。
用康托的话说，就是要把“无穷的各种关系弄得完全明朗”。
康托这方面的论文主要有三篇，分别发表于1870，1871，1872年.1870年的论文证明，如果有两个三角级数，它们对任一x收敛且和相等,则这两个级数的系数相同。
康托还证明了：
在可能除了有限个x之外其余每个x的值都收敛的三角级数的形式中，仅仅存在f（x）的一种表示式；如果两个三角级数的和因有限个x而异，那么这两个级数的形式相同。
对函数间断点的研究；对用三角级数表示函数的唯一性的研究（1870）。
第一型集：
对于某个充分大的ν，其导集P^（ν）为空集的那些集合P的整体。
第二型集：
对于任何有限值ν，其导集P^（ν）不空的那些集合P的整体。
1871年，康托对级数的表示式的唯一性给出一个比较简单的证明,并且把这个定理推广：
如果对每个x的值，有一个用到三角级数且其值为0的收敛表示式，那么这个表示式的系数都为0.在同一年，康托对他的第一个定理同样给出了一个较为简单的证明，这个定理说，如果对于a＜x＜b，lim（aνsinνx＋bνcosνx）＝0，则limaν和limbν都为0。
1871年11月，康托通过证明下述事实把他的定理进一步推广：
对于由区间[0，2π]内的x所组成的某些无穷集合放弃三角级数和的收敛性和相等这两项要求，命题仍然成立.为了叙述这些集合在这种情况下可以具有的结构，康托开始作“某些解释，更确切地说，作某些简单的表示，这种表示力图把用来表现有限或无限数数量的各种方法放在明了的位置上.”这样做的目的在于使定理的说明尽量简洁。
无理数理论（1872）：
基本列。
3．集合论的确立：
《论所有实代数数的一个性质》（1874）
康托几乎是在完全孤立的情况下创建他的集合论的，而在草创阶段，他只有一位数学家可以交谈，这就是戴德金（J.W.R.Dedekind，1831～1916，德国）。
1873年11月29日，康托在给戴德金的一封信中明确提出了后来导致集合论产生的问题：
正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否建立一一对应？
实际上，他对这个问题已经考虑了很久，特别是在考虑连续性的本质时，他总是要碰到这个根本问题。
他在信中写道：
“取所有正整数n的集体，表示为（n），然后考虑所有实数x的集体，表示为（x）；简单说来，问题就是（n）和（x）是否能够对应起来，使得一个集体中的每一个个体只对应另一个集体中一个且唯一一个个体？
乍一看，我们可以说答案是否定的，这种对应不可能，因为（n）由离散的部分构成，而（x）构成一个连续统；但是从这种说法我们什么结果也得不到.虽然我非常倾向于认为（n）和（x）不能有这样一个一意对应，但是我找不出理由，我对这事极为关注，也许这理由非常简单。
”戴德金在复信中承认对这个问题无法马上回答。
12月7日，康托写信给戴德金，说他已经成功地证明，实数的“集体”是不可数的，也就是不能够同正整数的“集体”一一对应起来。
这个日期应该看作集合论的诞生日。
康托的证明方法是反证法，比较繁复，比起他后来发明的对角线方法大为逊色。
过了新年，他在《克列尔杂志》上发表了这个证明，不过论文题目已换成另外一个：
《论所有实代数数的一个性质》（1874），因为当时德国数学界的权威人物之一克罗内克（L.Kronecker，1823～1891）曾对在严格数学中使用一般的无理数理论和波尔扎诺-外尔斯特拉斯定理表示怀疑和反对，作为《克列尔杂志》的编辑，他拒绝发表有关这方面的任何文章。
但是，要想严格地给出实数不可数的证明，无理数理论和连续性公理是必不可少的。
为了能在杂志上发表自己的论文，康托尽可能地减少了证明的这一特色，审慎地避开了连续性公理的使用，因为实数不可数的结果本身已经够刺激的了。
康托在给戴德金的信中说，他是有意谨慎地阐述自己观点的，在“代数数”的标题下，尽可能用一种不引人注目的方式策略地引出实数不可数的证明，并且愿意采纳对文章的可接受性提出的任何建议。
康托最初的问题是：
{实数的集体}＝{有理数的集体}＋{无理数的集体}。
既然康托已经证明{实数的集体}不能与{整数的集体}一一对应，也就是说，{实数的集体}是不可数的；他又证明了{有理数的集体}可以与{整数的集体}一一对应，因此是可数的，由此立即可以推出{无理数的集体}是不可数的。
现在，康托把这一套思想方式稍微改动了一下：
{实数的集体}＝{实代数数的集体}＋{实超越数的集体}
实代数数的集体不仅包含全部有理数，还包含大量无理数，从常识上说，实代数数要比有理数多得多。
但是康托却证明了：
实代数数的集体也是可数的，所用的方法与证明有理数的集体是可数的本质上一样,是对实代数数的集体巧妙地给出了编号。
这样一来，由于实数的集体不可数,自然就推出非代数数的实超越数也是不可数的了。
康托的两个基本前提：
①可以通过一一对应的方法来确定相同基数；②实无穷是一个确实的概念。
康托仅仅依据这两个基本前提，就创立了一个意义十分深远的理论。
一些基本结果：
全体有理数所构成的集合是可数的。
全体实代数数所构成的集合也是可数的。
全体实数所构成的集合是不可数的。
全体实超越数所构成的集合是不可数的。
在康托之前，关于超越数只有很少的研究结果，主要有：
1844年,法国数学家刘维尔（J.Liouville，1809～1882）发现了一类超越数,从而证明了超越数的存在；1873年，法国数学家埃尔米特（C.Hermite,1822～1901）证明e是超越数。
康托的证明可以说是史无前例的，他没有举出任何一个具体的超越数，就宣布它们是存在的，而且比实代数数的“总数”多得多。
康托这一研究结果的主要意义在于：
它第一次在混沌一片的无穷中划出一条界限，区分出可数与不可数的两类，成为研究无穷的出发点,并由于对可数性概念给出了明确的定义和判别方法，使集合论有了一个良好的开端。
康托的对角线法（1890～1891）：
（0，1）区间上的点集是不可数集的证明。
假定（0，1）区间的实数是可数的，把每个这样的实数写成无穷小数，例如把1／4写成0.249999……的形式。
如果它们是可数的，也就是它们可以与自然数序列建立一一对应，从而我们可以为其中的每个实数指定一个自然数ｎ：
1←→0.a11a12a13……
2←→0.a21a22a23……
3←→0.a31a32a33……
………………………
n←→0.an1an2an3……
………………………
现在定义一个（0，1）区间的实数b＝0.b1b2b3……，其中，如果akk＝1则令bk＝9，如果akk≠1则令bk＝1.于是，这个实数不同于上面序列中的任何一个实数，这与上述序列的性质矛盾。
三、超限基数与超限序数
1．集合的基数（势）
1874年1月5日，康托在致戴德金的一封信中提出了下面的问题：
“是否能把一块曲面（如包含边界在内的正方形）一意地映射到一条线（如包含端点在内的线段），使得面上每一点对应线上一点而且反过来线上每一点对应面上一点？
“据我看，回答这个问题困难很大，尽管答案似乎显然是否定的，以致于证明看来几乎是不必要的。
”
1877年6月20日，康托在致戴德金的信中指出，虽然几年以来他都认为上数问题的答案是否定的，但他最终却证明了答案是肯定的。
不仅由平面到直线可以建立一一对应，而且由任意维空间到直线都可以建立一一对应。
戴德金在康托的证明中发现了一个漏洞：
如果一个小数从某一位起都是0，那么它就会出现两个表示，例如：
a＝0.20000……对应于P1＝（0.2000…，0.0000…），但同一a还可以表示成a＝0.1999999……，对应于P2＝（0.1999…，0.9999…）。
显然P1和P2是正方形中两个不同的点，因为它们的第一个坐标虽然相同，而第二个坐标却不同。
这就出现[0，1]线段上的一个点对应正方形上两个点的情形，不符合一一对应原则。
戴德金告诉康托，必须限制数的表示方式，才能构成一一对应，这个限制就是凡是坐标从某一位起都是0的小数，就把它写成9的无限循环小数，例如0.380000…写成0.379999….这样的对应就总是一一对应了。
康托马上回信感谢戴德金指出了这个错误并提出了上述限制。
他说：
“你的发现完全正确，但幸运的是这一错误只是影响证明本身，而不影响最后的结论。
”两天后，他给出了修改过的证明。
实际上，给定[0，1]×[0，1]中的一个数偶（b，c），我们可以如下构造一个在0与1之间的实数a与这个数偶相对应：
把b和c分别截成一段一段，每段用第一个不是零的数字结尾，然后交错逐段交织成a.不难看出，这个证明本质上适用于建立从任意n维空间到直线的一一对应。
康托《集合论》（1878）（直译应为《对流形学说的一个贡献》）：
两个集合称为等势的如果它们之间能够建立一一对应。
这个定义的初始思想来自伽利略所引用过的关于无穷集合的一个悖论，而康托却把它变成了一种比较无穷集合大小的方法，这种一对一的对应关系在用于比较两个集合的大小时是非常自然的.康托运用这种对应原则证明了曾被伽利略看作是悖论的性质实际上是无穷集合的一种很自然的性质.
康托通过对无穷集的研究，创造了一种新的数的类型：
超限基数。
在这篇论文的结尾处，作为一个估计，康托首次讲到了连续统假设。
2．Cantor：
《关于无穷的线性点集》（1879～1884）：
系列文章，共六篇。
第一篇，1879年．
定义：
设集合P部分或全部包含于区间（α,β）中.如果（α,β）的任意小区间（γ，δ）中都含有P中的点，则称P在区间（α，β）中是处处稠密的。
可数集；连续统或不可数集。
第三篇，1882年。
定理Ⅰ：
一个可数无穷集的每个无穷子集仍是可数无穷集。
定理Ⅱ：
有穷个或可数个可数无穷集的并仍是可数无穷集。
定理Ⅲ：
在一个n维的、无穷的连续空间A中，假设无穷多个n维的、连续的子域（α）被确定，它们彼此不相交或至多接触到边界，则这些子域的总体是可数的。
第四篇，1883年。
定义：
一个集合称为孤立点集，如果它不含任何极限点。
定理Ⅰ：
任何孤立点集是可数的（或是有限的）。
定理Ⅱ：
如果点集P的导集P'是可数的，则P本身可数。
定理Ⅲ：
任何第一型的第n类点集是可数的。
定理Ⅳ：
每个使P^（∞）可数的第二型点集本身也是可数的。
定理Ⅴ：
对任何指标α<∞，每个使P^（α）是可数的第二型集本身也是可数的.
定理Ⅵ：
如果P是不可数点集，则P^（α）不仅对α为有限数是不可数的，而且当它为无穷符号时也是不可数的。
第五篇：
《集合论基础》，1883。
阐明潜无限与实无限之间的重要区别；引入超穷数。
“我很了解这样做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然的扩充。
”
第一生成规则：
通过相继加1定义有穷序数的过程。
将全体有限整数的集合称为第一数类，用（Ⅰ）表示.显然其中无最大数。
但是，Cantor认为，用一个新数ω来表示它的自然顺序没有什么不当之处，这个新数ω是紧跟在整个自然数序列之后的第一个数—第一个超穷数。
从ω出发运用第一生成规则，可以得到一个超穷数序列：
ω，ω＋1，ω＋2，…，ω＋ν，……这个序列没有最大数，可以用2ω表示它的顺序。
继续使用第一生成规则，有2ω，2ω＋1，2ω＋2，…，2ω＋ν，…。
在这一过程中，可以把ω看成自然数（单调递增序列）的一个永远达不到的极限，但在这里，Cantor仅仅为了强调ω是作为紧跟在全体自然数n∈N之后的第一个序数，它超过所有自然数n。
而这一过程运用的是第二生成规则：
给定任意实整数序列，如果其中无最大数，则可由第二生成规则产生一个新数，它作为这个序列的极限定义为大于此序列中所有数的一个后继。
反复应用两个生成规则，总能不断产生新数，而且每个新数又都有一个确定的后继，可一般地如下表示这些新数：
ν0ωu＋ν1ωu-1＋ν2ωu-2＋…＋νu
它们的全体构成第二数类，记为（Ⅱ）。
如果没有限制地继续下去，似乎不存在第二数类的最后元素，于是Cantor又给出第三生成规则，它可以在超穷数序列中产生一种自然中断，使第二数类（Ⅱ）有一个确定的极限，从而可以和更高阶的数类相区分。
3．Cantor：
《超穷数理论的奠基性贡献》，1895～1897.
定义：
集合M是能够明确区分的思维或感知的对象m（称为M的元素）的总体。
定义：
集合M的势（或基数）是由集合M借助我们思维的能动性产生的一个一般概念，是从集合M中抽去元素m的质的特性及在M中的顺序特性而得出的一般概念。
四、有关集合论的争论
Cantor：
“我毫不怀疑超限数的正确性，因为我得到了上帝的帮助，而且，我曾用了二十多年的时间研究各种超越数；每一年，甚至每一天我在这一学科中都有新的发现。
”“我的理论坚如磐石；射向它的每一支箭都会迅速反弹.我何以得知呢？
因为我用了许多年时间，研究了它的各个方面；我还研究了针对无穷数的所有反对意见；最重要的是，因为我曾穷究它的根源，可以说，我探索了一切造物的第一推动力。
”“我认为是唯一正确的这种观点，只有极少数人赞同。
虽然我可能是历史上明确持有这种观点的第一人，但就其全部逻辑结果而言，我确信我将不是最后一人！
”
克罗内克（Kronecker）。
他在许多场合大骂康托是“败类、臭虫”，“我们科学的敌人”。
他对外尔斯特拉斯的学生柯瓦列夫斯卡娅（1850～1891）说，康托的集合论同任何一门数学毫无共同之处，同另外一些人说康托的集合论空洞无物。
罗素（Russell，1901）：
“Zeno关心过三个问题……。
这就是无穷小、无穷，和连续的问题……。
从他那个时代到我们自己的时代，每一代最优秀的有才智的人都尝试过解决这些问题，但是广义地说，什么也没有得到。
……Weierstrass、Dedekind和Cantor彻底解决了它们。
它们的解答清楚得不再留下丝毫怀疑。
这个成就可能是这个时代能够夸耀的最伟大的成就……。
无穷小的问题是Weierstrass解决的，其他两个问题的解决是由Dedekind开始，最后由Cantor完成的。
”
庞加莱（Poincare，1905）：
“Cantor给科学引入了考虑数学无穷的新方法……但是发生了这样的事，我们遇到了会使爱利亚学派的Zeno和麦加拉哲学学派高兴的一些悖论，一些明显的矛盾。
所以每一个人都必须寻找补救的方法。
就我来说—而我并不是单独一人—我认为重要的是永远不要采用一些不能用有限的文字完全定义的东西。
不论采用什么样的疗法，我们一定可以请来一位治疗一个极好的病理学病例的医生，并为此而感到喜悦。
”1908年他又说：
“今后的几代人将把集合论当做一种人们已经从中恢复过来了的疾病.”
1897年，在瑞士苏黎世举行的第一次国际数学家大会上，德国数学家赫维茨（AdolfHurwitz）与法国数学家阿达玛（Hadamard）指出了超限数理论在分析中的重要应用。
进一步的应用不久就在测度论与拓扑学方面开展起来。
希尔伯特（Hilbert）：
“在我看来，这[康托的理论]是数学思想的最令人赞美的果实，确实是人类智力活动的最高成就之一。
”“没有人能把我们驱逐出康托为我们创造的乐园。
”
五、康托集合论的历史地位
康托创立的超穷集合论是数学史上令人惊异的成就。
任何对科学思想史有兴趣的人，都可把康托集合论的发展作为缩影来研究对科学具有重要意义的新思想的产生和发展问题。
康托的工作在很多方面都是具有典型意义的，数学无穷的革命几乎是由他一个人在相当长的一个历史时期内独立完成的。
如今，“集合”这个词已经成为数学中最重要和最基本的术语之一，大部分数学的相容性已经被奠基于集合论的相容性之上，集合论在某种意义上已经成为整个数学最坚实的基础。
康托创立的超穷集合论赋予实无穷的观念以数学内容，为抽象集合论奠定了基础，并为微积分的基本原理和实数连续统的分析作出了重大贡献。
康托的最引人注目的成就是从数学上严密地证明了“无穷”并不是铁板一块的不可分的概念。
并非所有的无穷集合都具有相同的大小，因而它们之间是可以互相比较的。
由康托的工作所带来的哲学革命也许甚至比对数学本身的意义还要伟大。
六、集合论悖论
1893年，弗雷格（F.L.G.Frege）在《算术基本原理》第一卷中首次使用了概括原则：
{x：
P（x）}，它隐含着这样的假定：
对任意P，{x：
P（x）}总构成一个集合。
1．康托悖论（1895年发现，1899年公布）
2．布拉里-弗蒂悖论（1897）
3．罗素悖论（1902）
4．理查德悖论（1905）
5．佩利悖论（1906）
6．格里灵悖论（1908）
产生悖论的原因：
考虑的集合太大，应当制订公理加以限制。
七、集合论的公理化发展
1．集合论公理系统的基本要求
⑴能够描述康托集合论的丰富内容，建立康托集合论中已有的定理。
⑵能够避免以往出现的悖论。
⑶便于解决集合论中未解决的问题。
2．ZF系统（ZFC系统）
在现代集合论中，有许多不同的集合论公理系统，历史上第一个集合论公理系统，也是最著名的一个系统是由策梅罗（ErnstFriedrichFerdinand
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