教育测评 第四讲学生学业成绩测验.docx
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教育测评第四讲学生学业成绩测验
第四讲 学生学业成绩测验
学业成绩测验是评价学生学业进步及其成就最常用的手段。
通过测验可以促进学生对所学知识技能的温故知新，可以鉴别学生知识、技能和能力发展水平，从而为教学设计、资格鉴定、人才选拔、职业指导等提供切实具体的依据。
这里主要介绍纸笔测验的一些关键技术。
一、设计测验命题双向细目表
命题双向细目表是一种反映测验目标和测验内容的细目及其比例的命题计划表。
它既是测验命题的直接依据，也是教师组织教学和指导学生学习的重要依据。
命题双向细目表由三个要素构成：
一是测验目标，即本学科的教学目标，它反映测题所要测验的能力因素，体现了测验的能力要求，一般作为双向细目表的横轴；二是测验内容，它由各门课程的教学内容确定，是测验题目对知识点的覆盖情况的反映，一般作为双向细目表的纵轴；三是测验目标和测验内容的比例，即分数或称权重，它是由各个教学目标和教学内容的教学时数比重或相对重要性程度来确定的。
这三个要素的布局结构，可以从下表这个假定的教育评价课程测验命题双向细目表中看出。
《教育评价》测验命题双向细目表
测验目标
测验内容
该记
理解
应用
分析
综合
评价
合计
教育评价史略
教育评价本质
教育评价步骤
学生评价
教师评价
校长评价
学校办学水平评价
2
5
2
2
2
2
2
2
4
3
2
2
3
2
2
0
6
5
5
3
5
1
3
2
2
2
2
2
1
2
4
3
3
2
2
0
2
0
2
2
0
2
8
16
17
16
16
12
15
合计
17
18
26
14
17
8
100
设计命题双向细目表，应注意下列几点：
（一）正确选择测验目标
1、测验目标的分类
学业成绩测验目标也就是学科教学目标，在英语中“教育目标”、“教学目标”、“课程目标”是通用的。
教育目标既是教学活动的出发点和归宿，也是教、学、评、督、考的基本依据。
教育目标往往比较抽象、笼统和概括，编制测验时需要对其分类、分解和细化，使之具体化、行为化、可测化。
教育目标的分类，既要注意教育的心理性、逻辑性和方法性原则，又要服从分类学的一般要求：
一是教育目标的分类结果要按照由简单到复杂的顺序排列，后一类目标是建立在前一类目标的基础之上。
用一个公式来表达的话，那就是：
“A式行为类→AB式行为类→ABC式行为类”。
二是各种类别、各种层次的目标之间必须是连续的，不能遗漏重要的目标要求；三是高层次的目标内容要包含着低层次的目标内容或后面层次的目标内容要包含着前面所有层次的目标内容；四是教育目标的分类结果要超出具体学科的限制，具有普遍的适用意义。
即不论哪一门学科、年级，都可以把目标分类的层次结构作为框架，加入相应的内容。
关于教育目标的分类理论，目前有许多流派。
其中影响最大的是布卢姆的教育目标分类理论。
布卢姆等人把教育目标分为认知领域、情感领域和技能领域。
认知领域的教育目标包括由低级到高级的六种水平：
一是知识，是指对具体事物和普遍原理的回忆，对方法和过程的回忆，或者对一种模式、结构或框架的回忆。
分三个亚类：
1、具体的知识，包括术语的、具体事实的知识。
2、处理具体事物的方式方法的知识，包括惯例的知识、趋势和顺序的知识、分类和类别的知识、准则的知识和方法论的知识。
3、学科领域中的普遍原理和抽象概念的知识，包括原理和概念的知识、理论和结构的知识。
二是领会，是最低层次的理解。
即个人不必把某种材料与其它材料联系起来；也不必弄清它的最充分的含义，便知道正在交流的是什么，并能够运用正在交流的这种材料或观点。
分三个亚类：
1、转化，即用不同的形式来表达同一内容。
2、解释，指对交流内容的说明和概括。
3、推断，指根据材料所描述的趋势、倾向或给出的条件作出估计或预测。
三是运用，即在某些特定的和具体的情境里使用抽象概念。
这些抽象概念可能是以一般的观念、程序的规则或概括化的方法等形式表现出来的，也可能是那些必须记住的和能够运用的专门性的原理、观念和理论。
四是分析，指将交流的材料分解成各种组成要素或组成部分，以便弄清各种观念的有关层次及其关系。
分三个亚类：
1、要素分析，即识别某种交流所包括的各种要素。
2、关系分析，即交流中各种要素与组成部分的联结和相互关系分析。
3、组织原理分析，即对交流的内容组合起来的组织、排列和结构进行的分析。
五是综合，指将各种要素和组成部分组合成一个整体。
分三个亚类：
1、进行独特的交流，是指用语言或文字将自己的观念、情感或经验传达给他人。
2、制定计划或操作步骤，是指制定一项满足任务需要的工作计划或操作步骤。
3、推导出一套抽象关系，是指确定一套抽象关系，用以分类或解释特定的资料和现象；或者从一些基本命题或符号表达中演绎出各种命题和关系。
六是评价，指为了特定的目的对材料和方法的价值作出判断。
分两个亚类：
1、依据内在证据来判断，即依据诸如逻辑上的准确性、一致性和其它内在证据来判断交流内容的准确性。
2、依据外部准则来判断，指根据选择出来或回忆出来的准则来评价材料。
克拉斯沃尔等人把情感领域的教育目标也分为五种水平：
一是接受，即对某些现象或刺激表现出愿意接受或注意的倾向。
分为三个亚类：
1、觉察，即提供机会使学习者意识到某一事物的存在。
2、接受的意愿，即愿意接受特定刺激的行为，而不是回避刺激的行为。
3、有控制的或有选择的注意，是指学习者能对某种刺激进行内容和背景的区分，选择并注意自己喜欢的刺激。
二是反应，即学习者积极介入某些现象或对某些现象采取行动。
分三个亚类：
1、默认的反应，有遵从、顺从的意思，即学习者虽然作出了反应，但并没有充分认为到这样做的必要性。
2、愿意的反应，是指学习者根据自己的选择行事。
3、满意的反应，即学习者的行为伴随着一种满足感并有着愉快、兴奋或乐趣的情绪体验。
三是价值的评估，即接纳并赋予某一件事物、现象或行为以价值。
分三个亚类：
1、价值的接受。
2、对某一价值的偏爱。
3、对某一价值的信奉。
四是组织，即把内化了的价值组成一个体系，并确定它们之间的内在联系，以建立主要价值和普遍价值。
分为两个亚类：
1、价值的概念化，即学习者通过对价值问题的抽象与概括，确定了所获得的价值与原有价值或将要获得的价值之间的联系。
2、价值体系的组织，即学习者将所获得的各种价值组织成一个有序的复合体。
六是由价值或价值复合体形成的性格化。
在这个内化层次上，各种价值已在个体的价值层次结构中占有一席之地，已形成了一个价值体系，并控制着个体的行为。
分为两个亚类：
1、泛化心向，是一种在任何特定时候都对态度和价值体系有一种内在一致的心向。
2、性格化。
即对隐藏的现象以及它们所构成的行为范围所具有的宇宙观、人生观、世界观。
动作技能领域的教育目标分类尚不完善。
如辛普森把动作技能领域的目标分为知觉、定势、受导反应、程式化、复杂外显反应五个方面。
哈罗把这一领域的目标分为反射动作、基础性的基本动作、知觉能力、体能、技巧动作和体态语言六个层次。
此外，还有其他一些分类理论。
如日本学者梶田叡一把学校教育所要实现的目标分为期待目标和到达目标。
期待目标反映的是通过教育活动对学生发展的期待和基本方向，多为抽象的教育目标。
到达目标反映的是每个学生都能实际达到的、对教育成果的最低限度的要求，多为具体的教育目标。
他认为即使我们承认通过学习终究会为学生带来某种能够观察到的行为的变化，但同一刺激状况的学习未必就能经常为全体学生带来同一的行为变化，所有重要的学习任务完成后未必就能在短时间内带来能够观察到的行为变化。
事实上，学生在学习中得到的某种体验和感受，虽然不能很快表现出可观察的某种行为变化，但从长远来看，这种内在经验却是对学生今后的成长发展具有很大意义的，行为目标往往会忽视这一点。
为此，梶田叡一提出了三分类的到达目标理论：
一是达到目标，要求学生完全掌握特定的具体的知识和能力的目标，在目标到达时能对其状态做出明确表述。
二是提高目标，要求学生向着某一方向提高和加深的目标。
主要通过个人的自我比较或与他人的比较来把握。
三是体验目标，不是以学生方面的某种行为改观作为直接目标，而是以发生特定的内在体验为目的的目标。
如把有助于学生身心发展的接触、感动、发现等作为教学目标，就属于体验目标。
这三类目标紧密联系，每类目标又细分为认知、情感和精神运动领域的一系列目标，并提出了具体的到达度要求。
又如，加涅把认知领域的教育目标分为言语信息、智力技能和认知策略三类。
其中，智力技能又再分为辨别、概念、规则、高级规则四类。
把态度领域的教育目标分为情感因素、认知因素和行为后果三类。
他认为教学活动所追求的目标，就是形成学生的五种能力：
智力技能、认知策略、言语信息、运动技能和态度。
梅里尔把教育目标分为四类：
一是情绪化的行为，即面对某种刺激情境时，学生作出不随意的反应，二是心理运动行为，是指学生面对特定情境时无需外部促动，就能够迅速地作出特定的神经肌肉反应。
这类行为又可分为表面特征行为、链串行为和熟练行为。
三是记忆化行为，即当特定刺激情境出现时，学生在没有外部促动的条件下，立刻对特定的符号进行再现或再认。
这类行为可分解为命名行为、系列记忆反应、分离元素记忆化行为。
四是复杂认知行为，即学生对未曾遇见过的事例作出合适的反应。
这类反应包括分类行为、分析行为和问题解决行为。
加涅和梅里尔的分类特点在于，把认知、情感和动作技能领域的教育目标有机地结合在一起，并用行为化的语言加以表述，且考虑了行为的心理条件。
再如，沙利文试图通过可用于任务描述和分析的、可观察的学习者行为的种类，来取代一般术语对心理过程所作的描述。
他把教育目标分成识别、命名、描述、构造、顺序、证实六大类。
并依其行为的复杂性程度由低到高逐级排列，但没有涉及到创造性行为。
2、测验目标的选择
作为测验目标的教育目标，布卢姆认为它来源于学习者、时代生活、专门学科、教育哲学。
赫斯特认为目标来源于诸如当前的实践活动和众所周知的课程传统。
这样，系统表述目标的过程就可能成为从实践和传统中选择目标的过程。
可见，教育目标的取向必须考虑个体和社会发展的需要，必须立足于学科的特点和教育实践经验。
教育目标的合理性证明基于两种推论——可行性和合乎需要性。
可行性证明，一般以来自教学实践活动的证据为依据。
合乎需要的证明主要看目标合乎谁的需要，为什么认为合乎需要。
判断一个目标是否符合需要的价值标准是：
职业实践活动，社会角色、文化和学术知识以及学习者的兴趣等。
也就是说，测验目标的合理性取决于学生是否通过努力能够达到，学生达到目标后有何价值。
就学业成绩测验而言，测验目标要根据社会要求和学科的性质去确定。
如一些基础学科，应以认知领域的测验目标为测验重点。
而体育、舞蹈、操作等课程，测验目标应以技能领域的目标为主。
3、测验目标的表述
教育目标的表述，通常是一个表述学生行为的陈述句。
一般包括三个部分：
主语，即教育对象；谓语，即表述学生行为的动词；宾语，是学生行为指向的教学内容。
表述得当的教育目标必须满足下列要求：
一是要根据学生达到教学目标要求所展示出来的外显行为来说明目标，而不是根据学生经历的学习过程或教师的教学目的来说明目标。
因为只有具体的、外显的行为目标才具有可操作性和可测量性，同时，纸笔测验也主要是评价学习结果，而不是评价学习过程。
二是应当从一个主动动词开始来说明目标，这个主动动词所表明的是学生在涉及教学内容时应当表现出来的行为类型，或者行为表现的水平。
像描述、识别、区别、理解、使用等动词，都代表了可以直接观察的学生的行为表现，而像意识到、相信、增强、热爱、乐于、关注等动词，一般认为不能代表可以直接观察的学生的行为表现，应该尽量避免使用。
还有学者提出“应该”、“可以”这类指导性而非指令性要求的词，“了解”、“掌握”这类具有歧义性的词，都不宜出现在教育目标的表述之中。
三是目标不需要包括具体的表现方式，它应该是许多具体方式的概括。
比如，“理解科学概念”这一目标就可能包括以下方式：
用自己的表述解释科学概念；在具体的情境中确定概念的含义；区分科学概念的适当或不适当的举例；根据科学概念的定义区分两个相似的概念；运用概念解释日常生活中的现象或事例，等等。
这每一种方式都可以成为“理解科学概念”这一行为的一个样本。
在制定目标时不可能对各种表现方式一一罗列，只能适当地加以概括。
四是目标应当是单一的。
不能同时用两个描述不同行为类型或行为水平的动词来表述一个行为目标。
例如，“懂得免疫的基本原理并自愿接受免疫”，这个目标就包含了认识和感受两个过程，需要采取不同的测量方法，如果两个过程都属于重要的教学目标，可分开加以说明。
五是应当以一般性的适当水平说明目标。
目标既不应笼统得失去意义，又不应狭窄、具体得使教学过程变得支离破碎。
目标应有适当的包容性和概括水平。
（三）合理取舍和编排测验内容
取舍测验内容时，既要使选择的测验内容切合教学目标要求，又要代表该学科中相应的全部重要内容，并通过测题把测验内容和测验目标反映出来，以达到考查学生知识、能力的目的。
对于测验内容容量大的期末考试、毕业考试等，测验内容在双向细目表中的编排，应采取先粗排后细排的方式进行。
所谓粗排就是把要考查的一些大的知识块罗列出来，放入双向细目表的测验内容列中。
大的知识块多为教材的章节条目内容或知识单元，分析教材的章节条目内容就可以确定考核的知识块。
所谓细排就是对各个知识块所包含的知识点进行分解，并根据各个知识点的重要性程度和学生在各个知识点上所要达到的目标要求，把要考核的各个知识点放入相应的测验目标行中，使测验目标与测验内容紧密结合起来，从而为确定命题范围、题型、难度等提供更为明确、具体的依据。
对测验内容容量较小的单元测验，课堂测验等，双向细目表的测验内容列中，可能列举的不是知识块而是一个个知识点，只要确定各个知识点的测验目标要求，即可成为命题的直接依据。
理科各门学科和文科的史、地学科，由于知识块的相对独立，所包含的知识点是比较容易把握的。
但语文、外语这类学科知识点是在课文内容中体现出来的，课文之间知识点的重复、交叉、串连等现象较多。
因此，知识点的编排既要注意知识点的分组、又不能与课文脱节。
英语可按语音、语法、词汇、阅读理解，能力倾向、书面表达等对知识点进行分组，语文则按照字、词、句、文体及写作、文学常识等进行知识点的分类。
（三）恰当分配测验目标与测验内容的比重
测验目标与测验内容的比重即分数的分配，可按如下的步骤进行：
第一步，确定双向细目表中纵轴上的各个大的测验内容块在测验中所占的比重。
具体做法可根据教学大纲要求，参照各测验内容块在教学中所用的时间，以及对掌握其它知识的影响和应用价值等因素来决定各测验内容块在整个测验内容范围内的相对重要性程度，从而分配各测验内容块的比重。
计算方法是将双向细目表中规定的各测验内容块的实际教学时数或教学大纲规定的教学时数，除以该学科总的教学时数，再乘以100后取整数，就可得到各个测验内容块的测验总分值。
第二步，确定各测验目标在测验中所占的比重。
经验的做法也是根据对各层次目标的相对重要性程度分析，来确定各个目标在测验中所占的比重。
计算方法是，将同一测验目标下的各个测验内容点（知识点）所用的教学时数之和，除以总的教学时时数，再乘以100后取整数，即可得到各个测验目标的测验总分值。
第三步，确定测验内容点与测验目标结合的分数。
可以将业已确定的各个测验内容块的比重直接分配到所要测量的各个知识点中去。
也可以将每块内容在不同目标层次上的内容点的教学时间分别除以这块内容的教学总时间，再乘以该块内容的比重，即为测验目标与测验内容结合的分数。
然后再作适当调整，使各行各列的分数之和等于各行各列的合计数。
二、编制试题
根据测验双向细目表的要求编制试题，是整个测验工作的中心环节，这一环节应包括确定试题数量、选择试题类型、命题、组卷、确定评分方法及其标准、编制测验说明书等。
这些工作的核心是命题。
（一）确定试题数量
试题数量应根据测验对具体的目标和内容的不同要求以及测验的时间等因素加以确定。
具体应注意以下几点：
1、测验所采用的题型不同。
题型不同，所需的时间和测验的题量也不同。
2、学生的年龄和教育水平。
低年级学生读写能力较差，注意的持久性也较差，因此，测验题量和测验时间应少一些。
3、学生的能力水平。
水平较高的学生，其读写能力、思维能力、解题能力都相对较高，且能较好地掌握知识要点，所以测题数量应相对多一些。
4、试题的长度与复杂性。
如果测验题目需要学生阅读一大段文字材料或图表资料，则在编制试题时应剔除阅读材料所用的时间。
对于较复杂的题型，解题所花费的时间也较多，因此，题量要少一些。
5、所测量的目标层次。
目标层次越低，作答所花的时间也越少，题量可以多一些；反之，则少一些。
6、试题所需要的数学计算时间和思考时间。
学生解答较为复杂的数学材料的试题一般要慢一些，而文字材料的试题要快一些。
所以如果试题需要数学计算，那么每道题分配的时间就必须比单纯的文字题长一些。
7、在确定测验时间限制时，要保证使被试以正常速度将试题全部做完。
除速度测验之外，测验的时间限制应当放宽，起码要使90%以上的人以正常速度做完全部试题。
这是因为绝大多数测验的目的不在于回答问题的速度，作答的速度与正确性也不存在高度相关。
同时，测验的焦虑总是存在的，甚至在没有时间限制的情况下，测验的焦虑也依然存在，如果时间太紧势必会加重焦虑，影响回答试题的正确率。
（二）选择试题类型
试题类型可分为两大类：
一类是学生自己提供答案的主观性题型，如论述题、简答题和填充题。
二类是学生从试卷提供的答案中选择正确答案的客观性题型，如是非题、选择题以及配对题。
两类题型各有优缺点，在一个测验中最好把两种题型结合起来使用，取长补短。
选择测验题型，首先，要考虑题型对测验目标和内容的适应性。
对于识记、理解、应用这此较低层次的测量目标可以用较为简单的题型，如是非、配对和选择题等；对于较高层次的测量目标，则必须采用论文式的题型。
测验的范围广、内容多，可采用客观性试题，反之，可采用主观性试题。
其次，应考虑测验的规模。
规模大的测验可采用客观性试题，规模小的测验可采用主观性试题。
第三，应考虑题型的经济实用性，即题型要便于编制、易于实施、评分和处理，以提高测验的信度和效率。
（三）确定试题的适当难度
试题难度太大或太小，都会降低测验的信度，从而降低测验的效果。
因此测验题目的编制要根据测验的不同目的，确定适当的难度。
测验的目的不同，试题的难度应有所不同，但对于一般的测验，测验的平均难度在0.5左右较为合适；试题的难度分布在0.3-0.7之间较为合适。
测验的难度究竟多大人最为适宜，没有一个统一的标准，这要根据不同的测验而定。
如果是单元测验或学期测验，则难度应小此，让更多的人通过，以免影响学生的情绪；如果是选拔性测验或竞赛性测验，则难度可适当增大，以便拉开距离，这样才能把最优秀的学生选拔出来。
（四）命题
命题要做的主要工作有以下几个方面：
1、选择试题的背景材料。
任何一道试题要求考生完成的思维任务或操作活动都是置于一定的背景材料之中的。
考生对背景材料的理解，对其完成试题要求的任务至关重要。
因此，选择的试题背景材料要具有普遍性。
也就是背景材料的选择应该不会明显导致部分考生获益，如果选择的背景材料只有部分学校的考生很清楚或者居住在某个地区的考生很清楚，其他的考生不太容易获得详细的关于背景材料的信息，则这样的背景材料可能导致试题功能偏差和考试的不公平。
此外，选择的背景材料还要适合大部分学生的程度，难易适当，且能把不同水平的学生鉴别开来。
选择的背景材料还应有时代意义，具有一定的实用价值，并切合社会生活的需要。
2、试题的表述要准确、简明扼要。
试题的内容要正确，不能出现知识性错误；文字的表述要明确、简练、规范、通顺；标点符号要准确；图表要清晰，计算条件要充分；各题应彼此独立，不应把前面题目的答案作为解答后面题目的条件，否则，回答不出前面问题的学生在回答后面问题时就会处于非常不利的地位；不出类似的试题；试题不要有相互暗示或相互启发的现象。
3、可以说，在所有的题型中，选择题是最难编制的。
因此，要编制一道高质量的选择题需要花很大的功夫。
编制选择题最关键之处，就是要使选择题中错误的选项具有拟真性，确实起到对不具各相应知识的学生的诱答、干扰作用，降低学生猜测答案的机会，这是编制选择题的困难所在；选择题的选项之间要互相排斥，不能互相包容；选项的个数不能太少，一般要有4至5个；在同一测验中，选择题的选项的个数要保持一致；题干和选项要有语法上的逻斩联系；正确选项的排列要随机。
4、在填空题中，答案只能是唯一的，空出来的地方只能填写那些关键性的字、词（词组）、短语或数字，而且，一道题不要留过多的空白，以免把回答填空题变成猜谜游戏。
同时，要把空白留在靠近句末的地方，尽量不要留在句首。
5、如果问题需要用数字回答，则要说明用什么单位单位来表示数字的精确度，这样可消除答案模棱两可的问题。
6、编制的试题至少是测验需要量的两倍，使构成测验的题目有充分的选择余地。
7、命题应有利于制定清晰可辨、公平合理的评分标准。
（五）拼卷及编写答题说明
拼卷就是根据测验的具体目标和要求，选择适量的试题，按适当的次序编辑成一份试卷并编写出各部分试题的答题说明。
拼卷一般以题型为顺序，由易到难，由客观题到主观题，由短答案题到长答案题排列。
要把同一类题型的试题编在一起，使学生能够更好地自始至终使用同一种适当的回答方法来回答问题。
答题说明一般包括以下内容：
题目数量、大题和小题的满分量、答题方式及评分原则（如什么情况下给满分、不给分或倒扣分等）。
大体说明包括整份试卷的答题说明及各类试题的答题说明、整份试卷的满分量、答题时间、试卷页数、大题的个数、测验方式及其他一些注意事项。
（六）复查
复查就是要全面审查整份试卷的质量，对发现的问题及时作出修订。
不仅要思考每一道试题的质量、评分方法的合理性以及各种难度层次试题的比例，而且更重要的是，要将试卷与双向细目表对照，研究试卷与命题双向细目表的规定的一致性程度。
大规模测验，往往还须将拟定好的试题在小范围内试测。
经过试测取得的资料，可对试题内容取样的适切性、试题的思想性以及表达是否清楚等进行定性分析，也可对试测结果进行统计分析，确定试题的难度、区分度、备选答案的合适度，以及整个测验的信度、效度。
三、解释测验分数
（一）常模参照解释
常模参照解释是将学生的测验分数与常模作比较，以衡量学生在团体中的相对地位。
由于原始分数的意义不明朗，仅从个别学生的原始分数，我们既无法了解学习成绩的好坏，也无法与其他学生作比较。
同一学生不同学科测验的原始分数，由于缺乏统一的参照点和单位，也不能相互比较和进行加减运算。
因此，有必要把原始分数转化成导出分数。
所谓导出分数就是通过统计整理的，具有一定参照点和单位的，可以相互比较的分数。
在教育测验中常用的导出分数有百分等级分数，标准分数等。
百分等级分数是一种相对地位量数，它把参加测验的全体学生分成100个等级，从而把某个学生的测验原始分数换算成百分等级分数，以衡量其在团体中所处的相对地位。
百分等级分数的计算方法可分两种情况：
如果考生人数较少，可直接将原始分数按等级排列，并用下面的公式求百分等级分数。
PR=100-
公式（7—12）
式中，PR为百分等级分数，R为全体分数按大小排列，某原始分数所占的名次，N为受测人数。
如有15名学生装参加某个测验，其原始分数按大小排序，第六名学生的百分等级分数为：
PR=100-
即在15名学生中，得分低于第六名学生的有63%。
如果考生人数很多，就需要按照分数段登记人数，列出分数次数分配表，这时计算百分等级分数就需利用下面的公式：
PR=
公式（7—13）
式中，PR为百分等级；f为某原始分数所在组的次数；L为该分数所在组的下限；Fb为小于L的向上累积次数；i为组距；N为总次数；x为某一原始分数。
计算例子请参阅教育统计学内容。
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