五年级下册数学试题第九讲约数倍数和最大公约数最小公倍数全国通用含答案解析.docx

五年级下册数学试题第九讲约数倍数和最大公约数最小公倍数全国通用含答案解析.docx

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五年级下册数学试题第九讲约数倍数和最大公约数最小公倍数全国通用含答案解析

第九讲约数、倍数和最大公约数、最小公倍数

9.1约数、倍数

[同步巩固演练]

1、试求下列各数的约数的个数：

（1）3136；

（2）46305

2、试求下列各数的约数的和：

（1）1998：

（2）16200

3、甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数。

4、100以内能被3与7整除的最大奇数是几？

最大偶数是几？

5、小于200的有14个约数的自然数是多少？

6、有奇数个约数的三位数是多少个？

7、在所有两位数中，哪个数的约数最多？

最多有多少个约数？

8、有12个数约数的最小自然数是几？

9、求出不大于30且有八个约数的最大自然数。

10、求小于1000的只有15个约数的最大自然数。

11、能同时被2，3，5，7整除的最小四位数是几？

12、把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11倍的数，求此二个数。

13、四个连续的自然数的积是3024，求此四个数。

14、十个连续的三位数，最大不超过130，这十个数的和是77倍数，求这十个数。

[能力拓展平台]

1、求50至70之间只有4个不同约数的所有自然数。

2、已知a有8个约数，b有9个约数，且a、b的最大公约数是12，试求a与b。

3、一个数的约数中，将所有约数两两求和，所有的和中，最小的是3，最大的是1200，求这个数。

4、修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？

5、一个数如果等于除它本身外的所有约数的和，则称此数为完全数，已知30以内有两个完全数，试把它们找出来，并请找出，在496，996，4128中哪几个完全数？

6、一串数排成一行，头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，即1，1，2，3，5，8，13，21，…。

在这串数的前2000个数中，共有多少个6的倍数。

9.2最大公约数、最小公倍数

[同步巩固演练]

1、求35，98，112的最大公约数与最小公倍数。

2、求403，527，713的最大公约数与最小公倍数。

3、老师将301个笔记本，215支铅笔和86块橡皮分给班里同学，每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量都相同，那么，每个同学各拿到多少？

4．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是多少？

5．某校全体学生列队，不论他们人数相等地分成2队，3队，4队，5队，6队，7队，8队或9队，都会多出1人，那么该校至少有多少名学生？

6．已知两数的最大公约数是8，最小公倍数是64，求这两个数。

7．两个自然数的和是432，它们的最大公约数是36，求这两个数。

8．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到的两个商的和是16，求这两个整数。

9．两个自然数的差是3，它们的最大公约数与最小公倍数的积是180，求这两个数。

10．一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角中树，每2棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？

每相邻两棵之间的距离是多少米？

11．已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31，求这两个自然数。

12．兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？

13．将长25分米，宽20米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？

一共可锯多少块？

14．一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克，求一个地雷的重量？

15．甲、乙、丙三个班的学生人数分别是54人、48人和72人，现要在各班内分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同。

锻炼小组的人数最多是多少？

这时甲、乙、丙三班各有多少个小组？

16．设计一种底面为正方形的包装箱，装运四种不同规则的象棋。

每种棋盒底面都是正方形，边长分别是21厘米、12厘米、14厘米和10.5厘米。

要使包装箱不论装运哪一种规格的象棋都能铺满底面，问包装底面的边至少是多少厘米？

17．一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米，要把它裁成若干个同样大的正方形，纸张不能有剩余，正方形边长最大多少厘米？

18．某数与24的最大公约数是4，最小公倍数是168，这个数是多少？

19．所有形如

的六位数中（其中a，b，c均为从0到9的整数a≠0）它们的最大公约数是多少？

20．某公共汽车站有三条线路通往不同地方。

第一条线路每隔5分钟发车一次，第二条线路每隔6分钟发车一次，第三条线路每隔10分钟发车一次，三条线路在同一时间发车后，再过多少分钟又同时发车？

[能力拓展平台]

1、（北京市第三届迎春杯试题）四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个数是多少？

2、（天津市“我爱数学”试题）两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，这两个数是几？

3、（南京市第二届“兴趣杯”决赛题）七个不同的三位数的最大公约数中，最大的是几？

4、两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是多少？

5、设a与b为两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72那么a与b之和可以有多少种不同的值？

6、在被除数小于100的条件下，在方格中填上适当的数

□=4……4

□÷□=5……5

□=6……6

7、有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，至少可截成多少段？

8、将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？

（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）

9、一排电线杆的每相邻两根的距离，原来都是45米，现在改成60米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不移动？

如果马路全长5400米，一共有多少根可以不移动？

10、某厂加工一种机器零件要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个，第二道工序每个工人每小时完成12个，第三道工序每个工人每小时可完成5个。

要使生产顺利进行，又不浪费人力、时间，三道工序至少各分配几个工人？

11、两个数的差是48，最小公倍数是60，求这两个数。

12、（全国小学数学竞赛试题）甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12，如果甲、乙两数相差为18，求此二数。

13、（第二届华杯赛决赛一试题）在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等分，第二种刻度线把木棍分成12等分，第三种刻度线把木棍分成15等分，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

14、写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。

15、用2、3、4、5、6、7六个数组成两个三位数，使这两个三位数与540的公约数尽可能地大。

16、写出三个小于10的自然数，使它们三个数中有两个数的最大公约数为1，其余的最大公约数大于1。

17、已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000,满足上述要求的数组{a，b，c}共有多少组？

[全讲综合训练]

1、王斌每隔7天去图书馆借一次书，李兴每隔10天去借一次书，陈军每隔15天去借一次书。

已知4月20日他们在一起借书，那么离4月20日最近的、他们三人又在同一天借书是几月几日？

2、化肥厂包装车间对化肥进行包装，需要经过：

扎编织袋、装化肥入袋，缝袋口以及搬运4道工序。

每人每小时能扎编织袋24个，或装化肥36袋，或缝袋口18只，或搬运化肥16袋。

这个车间至少要多少名工人才能进行合理分工？

3、从甲、乙两地原来每隔36米安装一根电线，现在改成每隔54米安装一根电线杆。

在安装过程中，除两端的两根不需要移动外，途中还有14根不需要移动。

那么甲、乙两地相距多少米？

4、甲、乙两位同学写了两个数给老师看，老师看后告诉大家：

甲、乙写的是两个不互质的自然数，甲写的数除以9，乙写的数除以10后，不改变这两个数的最大公约数，甲、乙写的两个数的最小公倍数是180。

你知道甲、乙两位同学分别写的是什么数？

5、设A，B两个数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A，B两数的和等于多少？

6、已知两个自然数的差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数。

7、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4

米，黄鼠狼每次跳2

米，它们每秒钟都只跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔12

米设有一个陷阱，当他们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

8、（第二届华杯赛试题）有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？

9、（全国奥赛题，1992）把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任两个数的最大公约数都是1，那么，至少要分几组？

10、把1～1999这1999个数分成n个小组，使每个数都至少在一个小组中，且第一组中没有2倍数，第二组中没有3倍数，第三组中没有4的倍数，…，第n组中没有n＋1的倍数，那么，n至少是几？

11、一组五个连续自然数的和能分别被2，3，4，5，6整除，求满足此条件的最小一组数。

12、有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：

“这个数能被2整除”，3号说：

“这个数能被3整除”，…15号说：

“这个数能被15整除”1号同学一一验证后发现，只有（编号连续的）两位同学说得不对，其余同学都对，问：

（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？

（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。

第九讲约数、倍数和最大公约数、最小公倍数

9、1约数、倍数

[同步巩固演练]

1、

（1）、21

3136=26×72，故约数有（6+1）×（2+1）=21（个）

（2）32个

46305=32×5×73，故约数有（3＋1）×（2＋1）×（3＋1）=32（个）

2、

（1）4560

1998=2×33×37，故约数和为（1＋2）×（1＋3＋32＋33）×（1＋37）=4560

（2）56265

16200=23×34×52，故约数和=（1＋2＋22＋23）×（1＋2＋32＋33＋34）×（1＋5＋52）=56265

3、甲数是0

4、63，84

因为100以内21的倍数有21，42，63，84，故最大奇数为63，最大偶数为84

5、192

因14=1×14=2×7，而14=（13＋1）213＞2002×7=（1+1）×（6＋1），26×3=192

6、22个

有奇数个约数的数是完全平方数，而在三位数中完全平方数有102=100，112=121，……、312=961，所以共有31—10—1=22（个）

7、60，72，96的约数个数最多，有12个约数。

8、60

12=11+1=（1+1）×（5＋1）=（1＋1）×（1＋1）×（2＋1）=（2＋1）×（3＋1），故该数只有一个质数时，该数至少是211=2048，若该数有2个质数，则该数可能2×35或3×25或22×23或23×32，经比较以23×32=72最小，若该数有3个质因数，则可能为2×3×52，或2×32×5或22×3×5，以22×3×5=60最小，比较可知该数为60。

9、24和30

8=7+1，于是该数可能为n7，由于27＞30不符合题意，8=（3+1）×（3+1），故该数可能为a3×b形，取=2，a=2，a=3，得24，又8=（1+1）×（1+1）×（1+1），故该数还可写成a×b×c形，取2=a，b=3，c=5，得30。

10、784

15=14+1，但214＞1000，故应舍去，15=（2+1）×（4+1），故可取该数为a2×b4，由于54=625，乘以a2后＞1000，故b只能取2或3。

22×34=324,32×24=144,52×34＞1000,52×24=400,72×24=784。

若a＞7，则必有a2×b4＞1000，故784为最大的一个数。

11、1050

同时被2、3、5、7整除的数必是2×3×5×7=210的倍数，1000÷210=4余160，故取210×5=1050

12、264与52，121与195

316÷11=28余8，即11×28＋8=316，所以可得11×24＋11×4＋8=11×24＋13×4=316，11×11＋11×13＋13×4=11×11＋13×15=316，故这两个数是264与52；或121与195。

13、6、7、8和9

3024=24×18×7=6×7×8×9

14、111，112，113,…,120

设这十个数中最小的数为a，那么这10个数的和为10a+（1+2+3+…+9）=10a+45，由最大数不超过130，故a≤121，10a+45≤1255，1255÷77=16余23，又10a+45≥1045，而1045÷77=13余44，由于77的倍数减45必须是10的倍数，故只能有10a+45=77×15,而a=111，故这十个数是111，112，…，120。

[能力拓展平台]

1、51，55，57，58，62，64，65，69

4=1×4=2×2，有4个约数的自然数一定能表示为a3或a×b，其中a、b都是质数。

如果为a3，符合条件的自然数a=4，a3=64，如果为a×b，符合条件的自然数a=2，b=29，a×b=58；a=2，b=31，a×b=62；a=3，b=17，a×b=51；a=3，b=19，a×b=57；a=3，b=23，a×b=69；a=5，b=13，a×b=65。

所以满足条件的所有自然数为：

51，55，57，58，62，64，65，69。

2、a=24，b=36

12=22×3，即a、b都至少有二个质因子2与3，由于8=4×2=（3+1）×（1+1）故a=22×3=24；9=3×3=（2+1）×（2+1），故b=22×32=36。

3、80

最小两个约数和为3，那最小两个约数为1与2,如原来自然数为A，则最大的约数为A，其次为A÷2，最大两个约数和为A+A÷2=120从而A=120÷1.5=80。

4、33743

用竖式计算31743÷823，可得

2469

7053

6584

469

由于最后的余数为469，而在计算商的十位数“3”时，有823×3=2469，这说明，如果余469能增加2000，就恰是823的整数倍了，所以，只要把原数加上2000，得到33743就是823的38＋3=41倍，此时恰只修改了一个数字。

5、6与28，496与4128都是完全数

6、166

将数列的各数除以6的余数按次序列表如下：

1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，3，5，3，2，5，1，0，1，1，2，…

可以看到数列各数除以6的余数24个数一循环，并且每24个数中有2个0，说明有2个数是6的倍数，而2000÷24=83余8。

因此在前2000个数中共有6的倍数是2×83=1662个。

9.2最大公约数、最小公倍数

[同步巩固演练]

1、7，3920

2、31，57573

3、7本，5支，2块

为（301，215，86）=43，所以全班共有43人，每人拿到笔记本：

301÷43=7（本），每人拿到铅笔，215÷43=5（支），每人拿到橡皮：

86÷43=2（块）

4．72

504×6÷42=72

5．2521人

[2，3，4，5，6，7，8，9]+1=2521（人）

6．8和64

64÷8=8，将8分成两个互质数的乘积只有1×8，所以两数分别为8×1=8，8×8=64

7．180和252或36和396

432÷36=12，将12分成两个互质数的和，有12=1+11=5+7，所以两效为1×36=36和11×36=396或5×36=180和7×36=252

8．385和175

16分成两个互质数的和有16=1+15=1+11，所以而1925不能被15整除，只有1925÷5=385和1925÷11=175

9．12和15

（180，3）=3，公约数只有1和3，当公约数为1时，没有满足条件的解，当公约数为3时，180÷3÷3=20=4×5，且5－4=1，所以两数为5×3=15，和3×4=12。

10．6棵，60米

（120，60）=60，（120+60）×2÷60=6（棵）

11．31和186或62和93

5766÷31÷31=6，而6=1×6=2×3，所以两数为1×31=31和6×61=186或2×31=62和3×31=93

12．10月25日

[6，8，12]=241＋24=25，所以是10月25日

13．125立方米，60块

（25，20，15）=5，所以体积为5×5×5=125（立方米），25×20×15÷125=60（块）

14．3千克

（201，183）=3，所以一个地雷的重量是3千克

15．每组最多6人，；甲9组，乙8组，丙12组

（54，48，72）=6，54÷6=9（组）48÷6=8（组）；72÷6=12（组）

16．边长84厘米

[21，12，14，10.5]=84所以包装箱底面的边长至少是84厘米

17．159厘米

用辗转相除法求（2703，1113）=159

18．28

168×4÷24=28

19．1001

=

×1001，所以它的最大公约数是1001

20．30分钟

[5，6，10]=30，所以再过30分钟又同时发车。

[能力拓展平台]

1、15

6435=5×9×11×13，于是可知9，11，13，15这四个连续奇数的最小公倍数是6435

2、62和93或31，186

5766=2×3×312，故此二数可以是1×31与6×31，也可是2×31与3×31。

3、142

设这个最大的公约数为d，则这七个不同的三位数至少为d，2d，3d，…7d，于是100≤7d＜1000，即d＜142，即这个最大的公约数不超过142，而142，284，426，568，710，852，994这7个三位数的最大公约数为142。

4、40或20

50÷5=10，而10=1+9=3+7，5×9—1×5=40或7×5—3×5=20

5、17种

14=4……4

6、60÷1=5……5

9=6……6

7、10段

（120，180，300）=60，（120+180+300）÷60=10（段）

8、21厘米

3.57米=357厘米，1.05米=105厘米，0.84米=84厘米（357，105，84）=21，所以边长是21厘米

9、180米，31根

[45、60]=180，5400÷180+1=31（根）

10、第一道工序分配20人，第二道工序分配5人，第三道工序分配12人。

[3，12，5]=60，60÷3=20（人），60÷12=5（人）60÷5=12（人）

11、60和12

（48，60）=12，60÷12=5，5=1×5，且5－1=48÷12=4，所以两数为1×12=12和5×12=60

12、72和54

设甲=ad,乙=bd，并没a＞b，其中d为甲、乙的最大公约数，a，b互质，则甲、乙的最小公倍数=abd，据题意，ab=12，（a—d）b=18，由ab=12知a=12，b=1或a=4，b=3，但只有a=4，b=3能使a—b整除18，故d=18，于是甲=72，乙=54

13、28段

由于[10，12，15]=60，先把木棍60等分，每一等份作为一个单位，则第一种刻度线相邻每两刻度间占6单位，第二种刻度线占5单位，第三种刻度线占4单位，分点共有9+11+14=34个。

由于[5，6]=30，故在30单位处二种刻度重合1次；

[4，5]=20，故在20、40单位处二种刻度重合2次；

[4，6]=12，故在12，25，36，48单位处二种刻度重合4次；

∴共有不重合刻度34—1—2—4=27个，从而分成28段。

14、6、10和15，10、12和15，10、15和18

因为a、b、c是小于20的合数，所以它分解因数后只能含有质因数2、3、5、7，按题目要求适当搭配可得

2×3=6，2×5=10，3×5=15

2×3=12，2×5=10，3×5=15

3×5=15，2×5=10，3×32=18

15、324，756

540=22×33×5，又因为2、3、4、5、6、7中只含一个5，所以两数的最大公约数中不含因数5，则最大公约数可能为22×33=108，经检验，可找到这两个三位数分别是108×3=325和108×7=756。

16、2、3、6

17、70组

已知当a能被b整除时，有[a，b]=a，现在我们先固定a、b、c三个数中的某两个，看第三个数有多少种可能性先让a=1000，c=2000，只要b是1000的约数便有[a、b]=1000，[b，c]=2000，[a、c]=2000。

因为1000=23×53，b又是a的约数，a的约数有[（3+1）×（3+1）=]16个，即b有16种可能，所以这样的数组有16组，再让b=1000，c=2000，这时只要a是1000的约数，题目中的条件都满足，去掉与上面16种中相同的一种a=b=1000，c=2000，又有15（=16—1）组。

再看a、b、c三个数中固定一个数的情况。

让c=2000，为保证满足题目中的要求[a、c]=2000，[b，c]=2000，a、b均应为2000的约数。

为了使[a，b]=1000，而1000=23×53，所以a=23×5n，b=53×5m。

为去掉a=b=1000这一种情况，n可以取0、1、2三个值，m也可以取0、1、2三个值，即a可以是8、40、200这三个数，b可以是125、250、500这三个数。

所以这样的数组有（3×3=）9组，交换a、b又有9组，当c=2000时，这样的数组共有18组。

再让a=1000，为保证题目中的条件得到满足，即[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000，且不与上面已有的数组重复。

又因为1000=23×53，2000=24×53，故应有b=2n×53，c=24×5m。

这里n可以取0、1、2、3四个数，m可以取0、1、2三种数，即b可以是125、250、500、1000这四个数，c可以是16、80、400这三个数，此时这样的数组共有（4×3=）12组。

再让b=1000，为保证题目中的条件[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000得到满足，且不与上面已有的数组重复，根据1000=23×53，2000=24×53，故应有a=2n×53，c=24×5m。

这里n只能取0、1、2三个数，m可以取0、1、2三个数。

即a可以是125、250、500这三个数，c可以是16、80、400这三个数，此时这样的数组共有（3×3=）9组。

把上述各种情况下的组数相加，便是所求的答案。

满足要求的a、b、c数组共有：

16+15+18+12+9=70

注意：

这里125，1000，16和1000，125，16算两组。

[全讲综合讲练]

1、10月13日

由题意，每隔7天支一次图书馆，加上去图书馆的那一天，应是每8天去一次；每隔10天去一次就是每11天去一次；每隔15天去一次就是每16天去一次。

要求离4月20日最近的那一天，就是要求经过多少天他们三人又在同一天借书，经过的天数，就是8、11、16的最小公倍数，[8，