1、五年级下册数学试题第九讲 约数倍数和最大公约数最小公倍数全国通用含答案解析第九讲 约数、倍数和最大公约数、最小公倍数9.1约数、倍数同步巩固演练1、试求下列各数的约数的个数:(1)3136; (2)463052、试求下列各数的约数的和:(1)1998: (2)162003、甲数的2倍等于乙数,乙数的3倍等于丙数,丙数的4倍等于甲数,求甲数。4、100以内能被3与7整除的最大奇数是几?最大偶数是几?5、小于200的有14个约数的自然数是多少?6、有奇数个约数的三位数是多少个?7、在所有两位数中,哪个数的约数最多?最多有多少个约数?8、有12个数约数的最小自然数是几?9、求出不大于30且有八个约数
2、的最大自然数。10、求小于1000的只有15个约数的最大自然数。11、能同时被2,3,5,7整除的最小四位数是几?12、把316表示成两个数的和,使其中一个是13的倍数,另一个是11倍的数,求此二个数。13、四个连续的自然数的积是3024,求此四个数。14、十个连续的三位数,最大不超过130,这十个数的和是77倍数,求这十个数。能力拓展平台1、求50至70之间只有4个不同约数的所有自然数。2、已知a有8个约数,b有9个约数,且a、b的最大公约数是12,试求a与b。3、一个数的约数中,将所有约数两两求和,所有的和中,最小的是3,最大的是1200,求这个数。4、修改31743的某一个数字,可以得到
3、823的倍数,问修改后的这个数是几?5、一个数如果等于除它本身外的所有约数的和,则称此数为完全数,已知30以内有两个完全数,试把它们找出来,并请找出,在496,996,4128中哪几个完全数?6、一串数排成一行,头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,即1,1,2,3,5,8,13,21,。在这串数的前2000个数中,共有多少个6的倍数。9.2 最大公约数、最小公倍数同步巩固演练1、求35,98,112的最大公约数与最小公倍数。2、求403,527,713的最大公约数与最小公倍数。3、老师将301个笔记本,215支铅笔和86块橡皮分给班里同学,每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮
4、的数量都相同,那么,每个同学各拿到多少?4两个数的最大公约数是6,最小公倍数是504,如果其中一个数是42,那么另一个数是多少?5某校全体学生列队,不论他们人数相等地分成2队,3队,4队,5队,6队,7队,8队或9队,都会多出1人,那么该校至少有多少名学生?6已知两数的最大公约数是8,最小公倍数是64,求这两个数。7两个自然数的和是432,它们的最大公约数是36,求这两个数。8两个整数的最小公倍数是1925,这两个整数分别除以它们的最大公约数,得到的两个商的和是16,求这两个整数。9两个自然数的差是3,它们的最大公约数与最小公倍数的积是180,求这两个数。10一块长方形地面,长120米,宽60
5、米,要在它的四周和四角中树,每2棵之间的距离相等,最少要种树苗多少棵?每相邻两棵之间的距离是多少米?11已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31,求这两个自然数。12兄弟三人在外工作,大哥6天回家一次,二哥8天回家一次,小弟12天回家一次,兄弟三人同时在十月一日回家,下一次三人再见面是哪一天?13将长25分米,宽20米,高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体,不能有剩余,每个立方体的体积是多少?一共可锯多少块?14一箱地雷,每个地雷的重量相同,且都是超过1的整千克数,去掉箱子后地雷净重201千克,拿出若干个地雷后,净重183千克,求一个地雷的重量?15甲、乙、丙三个班
6、的学生人数分别是54人、48人和72人,现要在各班内分别组织体育锻炼小组,但各小组的人数要相同。锻炼小组的人数最多是多少?这时甲、乙、丙三班各有多少个小组?16设计一种底面为正方形的包装箱,装运四种不同规则的象棋。每种棋盒底面都是正方形,边长分别是21厘米、12厘米、14厘米和10.5厘米。要使包装箱不论装运哪一种规格的象棋都能铺满底面,问包装底面的边至少是多少厘米?17一张长方形纸,长2703厘米,宽1113厘米,要把它裁成若干个同样大的正方形,纸张不能有剩余,正方形边长最大多少厘米?18某数与24的最大公约数是4,最小公倍数是168,这个数是多少?19所有形如的六位数中(其中a,b,c均为
7、从0到9的整数a0)它们的最大公约数是多少?20某公共汽车站有三条线路通往不同地方。第一条线路每隔5分钟发车一次,第二条线路每隔6分钟发车一次,第三条线路每隔10分钟发车一次,三条线路在同一时间发车后,再过多少分钟又同时发车?能力拓展平台1、(北京市第三届迎春杯试题)四个连续奇数的最小公倍数是6435,这四个数中最大的一个数是多少?2、(天津市“我爱数学”试题)两个数的积是5766,它们的最大公约数是31,这两个数是几?3、(南京市第二届“兴趣杯”决赛题)七个不同的三位数的最大公约数中,最大的是几?4、两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是多少?5、设a与b为两个不相等的
8、自然数,如果它们的最小公倍数是72那么a与b之和可以有多少种不同的值?6、在被除数小于100的条件下,在方格中填上适当的数 =44 =55 =667、有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米,现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,至少可截成多少段?8、将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料,锯成同样大小的正方体小木块,问当正方体的边长是多少时,用料最省且小木块的体积总和最大?(不计锯时的损耗,锯完后木料不许有剩余)9、一排电线杆的每相邻两根的距离,原来都是45米,现在改成60米,如果起点的一根不动,再过多远又有一根不移动?如果马路全长5400米,一共
9、有多少根可以不移动?10、某厂加工一种机器零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个,第二道工序每个工人每小时完成12个,第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使生产顺利进行,又不浪费人力、时间,三道工序至少各分配几个工人?11、两个数的差是48,最小公倍数是60,求这两个数。12、(全国小学数学竞赛试题)甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数,商是12,如果甲、乙两数相差为18,求此二数。13、(第二届华杯赛决赛一试题)在一根长木棍上,有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等分,第二种刻度线把木棍分成12等分,第三种刻度线把木棍分成15等分,如果沿每条刻度线把木棍锯断,木棍
10、总共被锯成多少段?14、写出小于20的三个自然数,使它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质。15、用2、3、4、5、6、7六个数组成两个三位数,使这两个三位数与540的公约数尽可能地大。16、写出三个小于10的自然数,使它们三个数中有两个数的最大公约数为1,其余的最大公约数大于1。17、已知a,b=1000,b,c=2000,c,a=2000,满足上述要求的数组a,b,c共有多少组?全讲综合训练1、王斌每隔7天去图书馆借一次书,李兴每隔10天去借一次书,陈军每隔15天去借一次书。已知4月20日他们在一起借书,那么离4月20日最近的、他们三人又在同一天借书是几月几日?2、化肥厂包装车间对
11、化肥进行包装,需要经过:扎编织袋、装化肥入袋,缝袋口以及搬运4道工序。每人每小时能扎编织袋24个,或装化肥36袋,或缝袋口18只,或搬运化肥16袋。这个车间至少要多少名工人才能进行合理分工?3、从甲、乙两地原来每隔36米安装一根电线,现在改成每隔54米安装一根电线杆。在安装过程中,除两端的两根不需要移动外,途中还有14根不需要移动。那么甲、乙两地相距多少米?4、甲、乙两位同学写了两个数给老师看,老师看后告诉大家:甲、乙写的是两个不互质的自然数,甲写的数除以9,乙写的数除以10后,不改变这两个数的最大公约数,甲、乙写的两个数的最小公倍数是180。你知道甲、乙两位同学分别写的是什么数?5、设A,B
12、两个数都只含有质因数3和5,它们的最大公约数是75,已知A有12个约数,B有10个约数,那么A,B两数的和等于多少?6、已知两个自然数的差为3,它们的最大公约数与最小公倍数之积为180,求这两个自然数。7、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳4米,黄鼠狼每次跳2米,它们每秒钟都只跳一次,比赛途中,从起点开始,每隔12米设有一个陷阱,当他们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多少米?8、(第二届华杯赛试题)有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6人,如果减少一条船,正好每船坐9人,这个班有多少人?9、(全国奥赛题,1992)把26,33,34,35,63,85,91,143分
13、成若干组,要求每组中任两个数的最大公约数都是1,那么,至少要分几组?10、把11999这1999个数分成n个小组,使每个数都至少在一个小组中,且第一组中没有2倍数,第二组中没有3倍数,第三组中没有4的倍数,第n组中没有n1的倍数,那么,n至少是几?11、一组五个连续自然数的和能分别被2,3,4,5,6整除,求满足此条件的最小一组数。12、有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被2整除”,3号说:“这个数能被3整除”,15号说:“这个数能被15整除”1号同学一一验证后发现,只有(编号连续的)两位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说得不对
14、的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。第九讲 约数、倍数和最大公约数、最小公倍数9、1 约数、倍数同步巩固演练1、(1)、213136=2672,故约数有(6+1)(2+1)=21(个)(2)32个46305=32573,故约数有(31)(21)(31)=32(个)2、(1)45601998=23337,故约数和为(12)(133233)(137)=4560(2)5626516200=233452,故约数和=(122223)(12323334)(1552)=562653、甲数是04、63,84因为100以内21的倍数有21,42,63,8
15、4,故最大奇数为63,最大偶数为845、192因14=114=27,而14=(131) 213200 27=(1+1)(61),263=192 6、22个有奇数个约数的数是完全平方数,而在三位数中完全平方数有102=100,112=121,、312=961,所以共有31101=22(个)7、60,72,96的约数个数最多,有12个约数。8、6012=11+1=(1+1)(51)=(11)(11)(21)=(21)(31),故该数只有一个质数时,该数至少是211=2048,若该数有2个质数,则该数可能235或325或2223或2332,经比较以2332=72最小,若该数有3个质因数,则可能为23
16、52,或2325或2235,以2235=60最小,比较可知该数为60。9、24和308=7+1,于是该数可能为n7,由于2730不符合题意,8=(3+1)(3+1),故该数可能为a3b形,取=2,a=2,a=3,得24,又8=(1+1)(1+1)(1+1),故该数还可写成abc形,取2=a,b=3,c=5,得30。10、78415=14+1,但2141000,故应舍去,15=(2+1)(4+1),故可取该数为a2b4,由于54=625,乘以a2后1000,故b只能取2或3。2234=324,3224=144,52341000,5224=400,7224=784。若a7,则必有a2b41000,
17、故784为最大的一个数。11、1050同时被2、3、5、7整除的数必是2357=210的倍数,1000210=4余160,故取2105=105012、264与52,121与19531611=28余8,即11288=316,所以可得11241148=1124134=316,11111113134=11111315=316,故这两个数是264与52;或121与195。13、6、7、8和93024=24187=678914、111,112,113,120设这十个数中最小的数为a,那么这10个数的和为10a+(1+2+3+9)=10a+45,由最大数不超过130,故a121,10a+451255,12
18、5577=16余23,又10a+451045,而104577=13余44,由于77的倍数减45必须是10的倍数,故只能有10a+45=7715,而a=111,故这十个数是111,112,120。能力拓展平台1、51,55,57,58,62,64,65,694=14=22,有4个约数的自然数一定能表示为a3或ab,其中a、b都是质数。如果为a3,符合条件的自然数a=4,a3=64,如果为ab,符合条件的自然数a=2,b=29,ab=58;a=2,b=31,ab=62;a=3,b=17,ab=51;a=3,b=19,ab=57;a=3,b=23,ab=69;a=5,b=13,ab=65。所以满足条
19、件的所有自然数为:51,55,57,58,62,64,65,69。2、a=24,b=3612=223,即a、b都至少有二个质因子2与3,由于8=42=(3+1)(1+1)故a=223=24;9=33=(2+1)(2+1),故b=2232=36。3、80最小两个约数和为3,那最小两个约数为1与2,如原来自然数为A,则最大的约数为A,其次为A2,最大两个约数和为A+A2=120从而A=1201.5=80。4、33743用竖式计算31743823,可得2 4 6 9 7 0 5 3 6 5 8 4 4 6 9由于最后的余数为469,而在计算商的十位数“3”时,有8233=2469,这说明,如果余 4
20、69能增加2000,就恰是823的整数倍了,所以,只要把原数加上2000,得到33743就是823的383=41倍,此时恰只修改了一个数字。5、6与28,496与4128都是完全数6、166将数列的各数除以6的余数按次序列表如下:1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,3,5,3,2,5,1,0,1,1,2,可以看到数列各数除以6的余数24个数一循环,并且每24个数中有2个0,说明有2个数是6的倍数,而200024=83余8。因此在前2000个数中共有6的倍数是283=1662个。9.2最大公约数、最小公倍数同步巩固演练1、7,39202、31, 575733、7本
21、,5支,2块为(301,215,86)=43,所以全班共有43人,每人拿到笔记本:30143=7(本),每人拿到铅笔,21543=5(支),每人拿到橡皮:8643=2(块)472504642=7252521人2,3,4,5,6,7,8,9+1=2521(人)68和64648=8,将8分成两个互质数的乘积只有18,所以两数分别为81=8,88=647180和252或36和39643236=12,将12分成两个互质数的和,有12=1+11=5+7,所以两效为136=36和1136=396或536=180和736=2528385和17516分成两个互质数的和有16=1+15=1+11,所以而1925
22、不能被15整除,只有19255=385和192511=175912和15(180,3)=3,公约数只有1和3,当公约数为1时,没有满足条件的解,当公约数为3时,18033=20=45,且54=1,所以两数为53=15,和34=12。106棵,60米(120,60)=60, (120+60)260=6(棵)1131和186或62和9357663131=6,而6=16=23,所以两数为131=31和661=186或231=62和331=931210月25日6,8,12=24 124=25,所以是10月25日13125立方米,60块(25,20,15)=5,所以体积为555=125(立方米),252
23、015125=60(块)143千克(201,183)=3,所以一个地雷的重量是3千克15每组最多6人,;甲9组,乙8组,丙12组(54,48,72)=6,546=9(组) 486=8(组);726=12(组)16边长84厘米21,12,14,10.5=84所以包装箱底面的边长至少是84厘米17159厘米用辗转相除法求(2703,1113)=1591828168424=28191001=1001,所以它的最大公约数是10012030分钟5,6,10=30,所以再过30分钟又同时发车。能力拓展平台1、156435=591113,于是可知9,11,13,15这四个连续奇数的最小公倍数是64352、6
24、2和93或31,1865766=23312,故此二数可以是131与631,也可是231与331。3、142设这个最大的公约数为d,则这七个不同的三位数至少为d,2d,3d,7d,于是1007d1000,即d142,即这个最大的公约数不超过142,而142,284,426,568,710,852,994这7个三位数的最大公约数为142。4、40或20505=10,而10=1+9=3+7, 5915=40或7535=205、17种 14=446、60 1=55 9=667、10段(120,180,300)=60,(120+180+300)60=10(段)8、21厘米3.57米=357厘米,1.05
25、米=105厘米,0.84米=84厘米(357,105,84)=21,所以边长是21厘米9、180米,31根45、60=180,5400180+1=31(根)10、第一道工序分配20人,第二道工序分配5人,第三道工序分配12人。3,12,5=60,603=20(人),6012=5(人) 605=12(人)11、60和12(48,60)=12,6012=5,5=15,且51=4812=4,所以两数为112=12和512=6012、72和54设甲 =ad,乙=bd,并没ab,其中d为甲、乙的最大公约数,a,b互质,则甲、乙的最小公倍数=abd,据题意,ab=12,(ad)b=18,由ab=12知a=
26、12,b=1或a=4,b=3,但只有a=4,b=3能使ab整除18,故d=18,于是甲=72,乙=5413、28段由于10,12,15=60,先把木棍60等分,每一等份作为一个单位,则第一种刻度线相邻每两刻度间占6单位,第二种刻度线占5单位,第三种刻度线占4单位,分点共有9+11+14=34个。由于5,6=30,故在30单位处二种刻度重合1次;4,5=20,故在20、40单位处二种刻度重合2次;4,6=12,故在12,25,36,48单位处二种刻度重合4次;共有不重合刻度34124=27个,从而分成28段。14、6、10和15,10、12和15,10、15和18因为a、b、c是小于20的合数,
27、所以它分解因数后只能含有质因数2、3、5、7,按题目要求适当搭配可得23=6, 25=10, 35=15 23=12, 25=10, 35=1535=15, 25=10, 332=1815、324,756540=22335,又因为2、3、4、5、6、7中只含一个5,所以两数的最大公约数中不含因数5,则最大公约数可能为2233=108,经检验,可找到这两个三位数分别是1083=325和1087=756。16、2、3、617、70组已知当a能被b整除时,有a,b=a,现在我们先固定a、b、c三个数中的某两个,看第三个数有多少种可能性先让a=1000,c=2000,只要b是1000的约数便有a、b=
28、1000,b,c=2000,a、c=2000。因为1000=2353,b又是a的约数,a的约数有(3+1)(3+1)=16个,即b有16种可能,所以这样的数组有16组,再让b=1000,c=2000,这时只要a是1000的约数,题目中的条件都满足,去掉与上面16种中相同的一种a=b=1000,c=2000,又有15(=161)组。再看a、b、c三个数中固定一个数的情况。让c=2000,为保证满足题目中的要求a、c=2000,b,c=2000,a、b均应为2000的约数。为了使a,b=1000,而1000=2353,所以a=235n,b=535m。为去掉a=b=1000这一种情况,n可以取0、1
29、、2三个值,m也可以取0、1、2三个值,即a可以是8、40、200这三个数,b可以是125、250、500这三个数。所以这样的数组有(33=)9组,交换a、b又有9组,当c=2000时,这样的数组共有18组。再让a=1000,为保证题目中的条件得到满足,即a,b=1000,a,c=2000,b,c=2000,且不与上面已有的数组重复。又因为1000=2353,2000=2453,故应有b=2n53,c=245m。这里n可以取0、1、2、3四个数,m可以取0、1、2三种数,即b可以是125、250、500、1000这四个数,c可以是16、80、400这三个数,此时这样的数组共有(43=)12组。
30、再让b=1000,为保证题目中的条件a,b=1000,a,c=2000,b,c=2000得到满足,且不与上面已有的数组重复,根据1000=2353,2000=2453,故应有a=2n53,c=245m。这里n只能取0、1、2三个数,m可以取0、1、2三个数。即a可以是125、250、500这三个数,c可以是16、80、400这三个数,此时这样的数组共有(33=)9组。把上述各种情况下的组数相加,便是所求的答案。满足要求的a、b、c数组共有:16+15+18+12+9=70注意:这里125,1000,16和1000,125,16算两组。全讲综合讲练1、10月13日由题意,每隔7天支一次图书馆,加上去图书馆的那一天,应是每8天去一次;每隔10天去一次就是每11天去一次;每隔15天去一次就是每16天去一次。要求离4月20日最近的那一天,就是要求经过多少天他们三人又在同一天借书,经过的天数,就是8、11、16的最小公倍数,8,
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