高考数学一轮复习 第四章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第2课时平面向量的数量积及应用举例课时作.docx

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高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第2课时平面向量的数量积及应用举例课时作

第2课时　平面向量的数量积及应用举例

考纲索引

1.两个向量夹角的表示.

2.两个向量的数量积的定义.

3.向量数量积的几何意义.

课标要求

1.理解平面向量数量积的含义及物理意义;

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;

3.掌握数量积的坐标关系式,会进行平面向量数量积的运算;

4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

知识梳理

1.两个向量的夹角

2.两个向量的数量积的定义

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则　　　　　　　　叫做a与b的数量积（或内积）,记作a·b,即a·b=　　　　　　,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0. 

3.向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积.

4.向量数量积的性质

设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b（或e）的夹角.

则

（1）e·a=a·e=　　　　; 

（2）a⊥b⇔　　　　; 

（3）当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=　, 

特别的,a·a=|a|2或者|a|=

;

（4）cosθ=　　　　　　　　; 

（5）|a·b|≤|a||b|.

5.向量数量积的运算律

（1）a·b=b·a;

（2）λa·b=λ（a·b）=a·（λb）;

（3）（a+b）·c=a·c+b·c.

6.平面向量数量积的坐标运算

设向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,向量a与b的夹角为θ,则

基础自测

指点迷津　

◆三个因素

a·b是一个确定的实数,与|a||b|,cos有关.

◆五个区别

（1）若a,b为实数,且a·b=0,则有a=0或b=0,但a·b=0却不能得出a=0或b=0.

（2）若a,b,c∈R则a≠0,则由ab=ac可得b=c,但由a·b=a·c及a≠0,却不能推出b=c.

（3）若a,b,c∈R则a（bc）=（ab）c（结合律）成立,但对于向量a,b,c,而（a·b）·c与a·（b·c）一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的.

（4）若a,b∈R,则|a·b|=|a|·|b|,但对于向量a,b,却有|a·b|≤|a||b|,等号当且仅当a∥b时成立.

（5）向量的夹角与三角形内角区别比如正三角形ABC中,

应为120°,而不是60°.

考点透析

考向一　平面向量的数量积的运算

【方法总结】　

（1）已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|cosθ求解;

（2）已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.

变式训练

考向二　利用向量的数量积求夹角和模

【审题视点】　利用|2a+b|=|a+（a+b）|通过计算可得a与a+b的夹角.

【方法总结】　在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对

要引起足够重视,是求距离常用的公式.

变式训练

考向三　数量积的综合应用

【方法总结】　

（1）若a,b为非零向量,则a⊥b⇔a·b=0;若非零向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.

（2）一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.

（3）向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化,可用来解决几何中的线线垂直问题.

变式训练

经典考题

典例　（2014·安徽）设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为（　　）.

真题体验

1.（2014·全国大纲）已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则（2a-b）·b等于（　　）.

A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2

2.（2014·浙江）设θ为两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1.（　　）.

A.若θ确定,则|a|唯一确定

B.若θ确定,则|b|唯一确定

C.若|a|确定,则θ唯一确定

D.若|b|确定,则θ唯一确定

参考答案与解析

知识梳理

1.同向　反向　a⊥b

2.|a||b|cosθ　|a||b|cosθ

4.

（1）|a|cosθ　

（2）a·b=0　（3）-|a||b|　（4）

6.

（1）x1x2+y1y2

基础自测

1.C　2.D　3.A　4.-3　5.①②③

考点透析

所以cosθ≠-1,k=1.

（2）因为·=·（-）=·-=1,

变式训练

经典考题

真题体验