高考数学一轮复习 第四章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第2课时平面向量的数量积及应用举例课时作.docx

1、高考数学一轮复习 第四章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第2课时平面向量的数量积及应用举例课时作第2课时平面向量的数量积及应用举例考纲索引1. 两个向量夹角的表示.2. 两个向量的数量积的定义.3. 向量数量积的几何意义.课标要求1. 理解平面向量数量积的含义及物理意义;2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系;3. 掌握数量积的坐标关系式,会进行平面向量数量积的运算;4. 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理1. 两个向量的夹角2. 两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=,规

2、定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0.3. 向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的数量积.4. 向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是单位向量,为a与b(或e)的夹角.则(1)ea=ae=;(2)ab;(3)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=,特别的,aa=|a|2或者|a|=;(4)cos=;(5)|ab|a|b|.5. 向量数量积的运算律(1)ab=ba;(2)ab=(ab)=a(b);(3)(a+b)c=ac+bc.6. 平面向量数量积的坐标运算设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为,

3、则基础自测指 点 迷 津三个因素ab是一个确定的实数,与|a|b|,cos有关.五个区别(1)若a,b为实数,且ab=0,则有a=0或b=0,但ab=0却不能得出a=0或b=0.(2)若a,b,cR则a0,则由ab=ac可得b=c,但由ab=ac及a0,却不能推出b=c.(3)若a,b,cR则a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量a,b,c,而(ab)c与a(bc)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的.(4)若a,bR,则|ab|=|a|b|,但对于向量a,b,却有|ab|a|b|,等号当且仅当ab时成立.(5)向量的夹角与三角形内角区别比如正三角形ABC中, 应为120,而

4、不是60.考点透析考向一平面向量的数量积的运算【方法总结】(1)已知向量a,b的模及夹角,利用公式ab=|a|b|cos求解;(2)已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.变式训练考向二利用向量的数量积求夹角和模【审题视点】利用|2a+b|=|a+(a+b)|通过计算可得a与a+b的夹角.【方法总结】在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对要引起足够重视,是求距离常用的公式.变式训练考向三数量积的综合应用【方法总结】(1)若a,b为非零向量,则abab=0;若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.(2)一对向量垂直与向量

5、所在的直线垂直是一致的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.(3)向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化,可用来解决几何中的线线垂直问题.变式训练经典考题典例(2014安徽)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为().真题体验1. (2014全国大纲)已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b等于().A. -1B. 0C. 1D. 22. (2014浙江)设为两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1.().A. 若确定,则|a|唯一确定B. 若确定,则|b|唯一确定C. 若|a|确定,则唯一确定D. 若|b|确定,则唯一确定参考答案与解析 知识梳理1. 同向反向ab2. |a|b|cos|a|b|cos4. (1)|a|cos(2)ab=0(3)-|a|b|(4) 6. (1)x1x2+y1y2基础自测1. C2. D3. A4.-35.考点透析所以cos-1,k=1.(2)因为=(-)=-=1, 变式训练经典考题真题体验