平行四边形性质及判定典型例题.docx

平行四边形性质及判定典型例题.docx

《平行四边形性质及判定典型例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平行四边形性质及判定典型例题.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

平行四边形性质及判定典型例题

平行四边形的性质及判断（典型例题）

1．平行四边形及其性质

例1如图，O是ABCD对角线的交点．△OBC的周长为59，

BD=38，AC=24，则AD=____若△OBC与△OAB的周长之差为

15，则AB=ABCD的周长=____.

解析：

AC，可得BC，再由平行四边形对边相等知AD=BC，由平行四

边形的对角线相互均分，可知△OBC与△OAB的周长之差就为BC

与AB之差，可得AB，从而可得ABCD的周长．

对角线相互均分）

∴△OBC的周长=OB＋OC＋EC

=19＋12＋BC=59

∴BC=28

ABCD中，

∴BC=AD（平行四边形对边相等）

∴AD=28

△OBC的周长-△OAB的周长

=（OB＋OC＋BC）-（OB＋OA+AB）

=BC-AB=15

∴AB=13

∴ABCD的周长

=AB＋BC＋CD＋AD

=2（AB＋BC）

=2（13＋28）

=82

说明：

本题条件中的“△OBC占△OAB的周长之差为15”，用符

号语言表示出来后，便简单发现其实质，即BC与AB之差是15．

例2判断题

（1）两条对边平行的四边形叫做平行四边形．（）

（2）平行四边形的两角相等．（）

（3）平行四边形的两条对角线相等．（）

（4）平行四边形的两条对角线相互均分．（）

（5）两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫

做两条平行线的距离．（）

（6）平行四边形的邻角互补．（）

解析：

依据平行四边形的定义和性质判断．

解：

（1）错

“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边．如图四边形ABCD，两条对边AD∥BC．明显四边形

ABCD不是平行四边形．

（2）错

平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．”对角是指四

边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．

（3）错

平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线相互均分．”一

般地不相等．（矩形的两条对角线相等）．

（4）对

依据平行四边形的性质定理3可判断是正确的．

（5）错

线段图形，而距离是指线段的长度，是正当正确的说法是：

两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．

（6）对

由定义知道，平行四边形的对边平行，依据平行线的性质可

知．平行四边形的邻角互补．

例3．如图1，在ABCD中，E、F是AC上的两点．且

AE=CF．求证：

ED∥BF．

解析：

欲址DE∥BF，只需∠DEC=∠AFB,转证=∠ABF≌△CDF,

因ABCD，则有ABCD，从而有∠BAC=∠CDA．再由AF=CF

得AF=CE．满足了三角形全等的条件．证明：

∵AE=CF

AE+EF=CF+EF

∴AF=CE

在ABCD中

AB∥CD（平行四边形的对边平行）

∴∠BAC=∠DCA（两直线平行内错角相等）

AB=CD（平行四边形的对边也相等）

∴△ABF≌△CDE（SAS）

∴∠AFB=∠DCE

∴ED∥BF（内错角相等两直线平行）

说明：

解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不办理．

例4如图已知在△ABC中DE∥BC∥FG，若BD=AF、求证；

DE＋FG=BC．

解析1：

要证DE＋FG=DC因为它们是平行线，由平行四边形定义和性质．考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH∥AB（或DM∥AC），获得DE=BH、只需证HC=FG，因AF=BD=EH，∠CEH=∠A.∠AGF＝∠C所以△AFG≌∠EHC．此方法称为截长法．

解析2：

过C点作CK∥AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK，

转证△AFG≌△CKE．

证法1：

过E作EH∥AB交于H

∵DE∥BC

∴四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）

∴DB=EH

DE=BH（平行四边形对边也相等）

又BD=AF

∴AF=EH

∵BC∥FG

∴∠AGF=∠C（两直线平行同位角相等）

同理∠A=∠CEH

∴△AFG≌△EHC（AAS）

∴FG=HC

∴BC=BH+HC=DE=FG

即CE+FG=BD

证法2：

.过C作CK∥AB交DE的延长线于K.

∵DE∥BC

∴四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）

∴CK=BDDK=BC

（平行四边形对边相等）

又BD=AF

∴AF=CK

∵CK∥AB

∴∠A=∠ECK（两直线平行内错角相等）

∵BC∥FG

∴∠AGF=∠AED（两直线平行同位角相等）

又∠CEK=∠AED（对顶角相等）

∴∠AGF=∠CEK

∴△AFG≌△CKE（AAS）

FG=EK

DE+EK=BC

∴DE+FG=BC

例5如图ABCD中，∠ABC=3∠A，点E在CD上,CE=1，

EF⊥CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长．

解析：

依据平行四边形对角相等，邻角互补，可得∠C=∠F=45°从而由勾股定理求出CF，再依据平行四边形对边相等，得BF的长．

解：

在ABCD中，AD∥BC

∴∠A＋∠ABC=180°（两直线平行同旁内角互补）

∵∠ABC=3∠A

∴∠A=45°，∠ABC=135°

∴∠C=∠A=45°（平行四边形的对角相等）

∴EF⊥CD

∴∠F=45°（直角三角形两锐角互余）

∴EF=CE=1

∵AD=BC=1

例6如图1，ABCD中，对角线AC长为10cm，∠CAB=30°，

AB长为6cm，求ABCD的面积．

解：

过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H．（图2）

∵∠CAB=30°

∴SABCD＝AB·CH＝6×5=30（cm2）

答：

ABCD的面积为30cm2．

说明：

因为=底×高，题设中已知AB的长，须求出与底AB相应的高，因为本题条件的限制，不便于求出过点D的高，应选择过点C作高．

例7如图，E、F分别在ABCD的边CD、BC上，且EF∥

BD

求证：

S△ACE=S△ABF

解析：

运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转变成等底同高的三角形．

证明：

将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.

ABCDDE∥AB

∴∠DEG=∠BHF（两直线平行同位角相等）

∠GDE=∠DAB（同上）

AD∥BC

∴∠DAB=∠FBH（同上）

∴∠GDE=∠FBH

∵DE∥BH，DB∥EH

∴四边形BHED是平行四边形

∵DE=BH（平行四边形对边相等）

∴△GDE≌△FBH（ASA）

∴S△GDE=S△FBH（全等三角形面积相等）

∴GE=FH（全等三角形对应边相等）

∴S△ACE=S△AFH（等底同高的三角形面积相等）

∴S△ADE＝S△ABF

说明：

平行四边形的面积等于它的底和高的积．即S=a·ha．a可以是平行四边形的任何一边，h一定是a边与其对边的距离．即对应的高，为了差别，可以把高记成ha，表示它所对应的底是a．

例8如图，在ABCD中，BE均分∠B交CD于点E，DF

均分∠D交AB于点F，求证BF=DE．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴DE∥FB，∠ABC=∠ADC（平行四边形的对边也平行对角相

等）

∴∠1=∠3（两直线平行内错角相等）

∴∠1=∠2

∴∠2=∠3

∴DF∥BE（同位角相等两条直线平行）

∴四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）

∴BF=DE．（平行四边形的对边相等）

说明：

此例也可经过△ADF≌△CBE来证明，但不如上边的方法简捷．

例9如图，CD的Rt△ABC斜边AB上的高，AE均分∠BAC

交CD于E，EF∥AB，交BC于点F，求证CE=BF．

解析作EG∥BC，交AB于G，易得EG=BF．再由基本图，可得EG=EC，从而得出结论．

证明：

过E点作EG∥BC交AB于G点．

∴∠EGA=∠B

∵EF∥AB

∴EG=BF

∵CD为Rt△ABC斜边AB上的高

∴∠BAC＋∠B=90°．∠BAC＋∠ACD＝90°

∴∠B=∠ACD

∴∠ACD=∠EGA

∵AE均分∠BAC

∴∠1=∠2

又AE=AE

∴△AGE≌△ACE（AAS）

∴CE=EG

∴CE=BF．

说明：

（1）在上述证法中，“平移”起着把条件会合的作用．

（2）本题也可以想法平移AE．（连F点作FG∥AE，交AB于G）

例10如图，已知ABCD的周长为32cm，AB∶BC=5∶3，

AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=2∠C，求AE和AF的长．

解析：

从化简条件开始

①由ABCD的周长及两邻边的比，不难获得平行四边形的边长．

②∠EAF=2∠C告诉我们什么？

这样，马上可以看出△ADF、△AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形．

再由勾股定理求出

解：

ABCD的周长为32cm

即AB+BC+CD+DA=32

∵AB=CDBC=DA（平行四边形的对边相等）

又AB∶BC=5∶3

∠EAF+∠AFC+∠C+∠CEA=360°（四边形内角和等于360°）

∵AE⊥BC∠AEC=90°

AF⊥DC∠AFC=90°

∴∠EAF+∠C=180°

∠EAF=2∠C

∴∠C=60°

∵AB∥CD（平行四边形的对边平行）

∴∠ABE=∠C=60°（两直线平行同位角相等）

同理∠ADF=60°

说明：

化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这类解题策略称为：

从最复杂的地方开始．它虽简单，却很有效．

2．平行四边形的判断

例1填空题

（1）如图1，四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则

四边形AEFD是__，原由是__

（2）如图2，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE=EF，AE=EC，DE∥BC则四边形ADCF是__，原由是__，四边形BCFD

是__，原由是___

解析：

判断一个四边形是平行四边形的方法许多，要从已知条

件出发，详尽问题详尽解析：

（1）依据平行四边形的性质可得AD平

行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由

判判定理4可得．

（2）由AE=EC，DE=EF，由判判定理3可得四边

形ADCF是平行四边形，从而得AD∥CF即BD∥CF，再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形．

解：

（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边

形

（2）平行四边形，对角线相互均分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

说明：

平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判断方法．

例2如图，四边形ABCD中，AB=CD．∠ADB=∠CBD=90°．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

解析：

判断一个四边形是平行四边形，有三类五个判断方法，这三类也是按边、角和对角线分类，详尽的五个方法以下表：

所以一定依据已知条件与图形结构特色，选择判断方法．

证法一：

∵AB=CD．∠ADB=∠CBD=90°，BD=DB．

∴Rt△ABD≌Rt△CDB．

∴∠ABD=∠CDB，∠A=∠C．

∴∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB

即∠ABC=∠CDA．

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．

证法二：

∵∠ADB=∠CBD=90°，AB=CD、BD=DB．

∴Rt△ABD≌Rt△CDB．

∴∠ABD=∠CDB．

∴AB∥CD．（内错角相等两直线平行）

∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

证法三：

由证法一知，Rt△ABD≌Rt△CDB．

∴DA=BC

又∵AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

说明：

证明一个四边形是平行四边形，常常有多种证题思路，我们一定注意解析，经过比较，选择最简捷的证题思路．本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明．

例3如图，ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，

且AE=CF，BG=DH，求证：

EF与GH相互均分．

解析：

只须证明EGFH为平行四边形．

证明：

连结EG、GF、FH、HE．

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠A=∠C，AD=CB．

∵BG=DH

∴AH=CG

又AE=CF

∴△AEH≌△CFG（SAS）

∴HE=GF

同理可得EG=FH

∴四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

∴EF与GH相互均分（平行四边形的对角线相互均分）．

说明：

平行四边形的性质，判断的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法．

例4如图，ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

求证：

四边形AECF是平行四边形．

解析：

由平行四边形的性质，可得△ABE≌△CDF

∴AE=CF

从而可得四边形AECF是平行四边形．

证明：

ABCD中，ABCD

（平行四边形的对边平行，对边相等）

∴∠ABD=∠CDB（两直线平行内错角相等）

AE⊥BD、CF⊥BD

∴AE∥CF∠AEB=∠CFD=90°

∴△ABE≌△CDF（AAS）

∴AE=CF

∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是

平行四边形）

说明：

平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判断方法．

例5如图，ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，

AF、BE订交于G，CE、DF订交于H

求证：

EF与GH相互均分

解析：

欲证EF与GH相互均分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF∥EC，BE∥DF，从而四边形GEHF为平行四边形．

证明：

ABCD中，ADBC（平行四边形对边平行且相等）

∵AE=CF∴DE=BF

∵四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且

相等的四边形是平形四边形）

∴AF∥CE，BE∥DF（平行四边形对边平行）

∴四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

∴GH与EF相互均分（平行四边形的对角线相互均分）

说明：

平行四边形问题，其实不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的．常常更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的相互均分等等．要灵巧地依据题中已知条件，以及定义、定理等．先判断某一四边形为平行四边形，而后再应用平行四边形的性质加以证明．

例6如图，已知ABCD中，EF在BD上，且BE=DF，点G、

H在AD、CB上，且有AG=CH，GH与BD交于点O，求证EG

HF

解析：

证EF、GH相互均分GEHF为平行四边形．

证明：

连BG、DH、GF、EH

∵ABCD为平行四边形．∴ADBC

又AG=HC

∴DGBH

∴四边形BGDH为平行四边形

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴HO＝GO，DO=BO（平行四边形的对角线相互均分）

又BE=DF

∴OE=OF

∴四边形GEHF为平行四边形（对角线相互均分的四边形是平行

四边形）

∴EGHF．（平行四边形的对边平行相等）

说明：

因为条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线相互均分来证明

例7如图，ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G、

H分别为AD、BC的中点，求证：

EF和GH相互均分．

解析：

连结EH，HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边形．

证法一：

连结EH，HF、FG、GE

∵AE⊥BD，G是AD中点．

∠GED=∠GDE

同理可得

∵四边形ABCD是平行四边形

∴ADBC，∠GDE=∠HBF

∴GE=HF，∠GED=∠HFB

∴GE∥HF

∴四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴EF和GH相互均分．（平行四边形对角线相互均分）

证法二：

简单证明△ABE≌△CDF

∴BE=DF

∵四边形ABCD为平行四边形

∴ADBC

∵G、H分别为AD、BC的中点∴DGBH

∴四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴BD和GH相互均分（平行四边形对角线相互均分）

∴OG=OH，OB=OD

又BE=DF

∴OE=OF

∴EF和GH相互均分．

例8如图，已知线段∠α，AB=a，BC=b，

a、b

与∠α，求作：

ABCD，使∠ABC=

解析：

已知两边与夹角，可先确立△ABC，依据判判定理2（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），再确立点D，从而平行四边形可作出．

作法：

（1）作∠EBF=∠α，

（2）在BE、BF上分别截取BA=a，BC=b，

（3）分别为A、C为圆心，b，a为半径作弧，两弧交于点D，

∴四边形ABCD为所求．

*证明：

由作法可知AB=CD＝a

BC=AD=b

∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形为平行四边形）

且∠ABC=∠α，AB=a，BC=b

∴ABCD为所求说明：

常有的平行四边形作图有以下几种：

（1）已知两邻边（AB、BC）和夹角（∠B）．

（2）已知一边（BC）和两条对角线（AC，BD）．

（3）已知一边（BC）和这条边与两条对角线的夹角（如∠DBC，∠

ACB）．

（4）已知一边（CD）和一个内角（∠ABC）以及过这个角的极点的一条对角线（BD，且BD＞CD）

求作平行四边形（如图）

完成这些作图的要点点，都在于先作出一个三角形，而后再完

成平行四边形的作图，表现了把平行四边形的问题化归为三角形问

题的思想方法．