平行四边形性质及判定典型例题.docx

1、平行四边形性质及判定典型例题平行四边形的性质及判断 （典型例题）1平行四边形及其性质例 1 如图，O 是 ABCD 对角线的交点OBC 的周长为 59，BD=38 ，AC=24 ，则 AD=_ 若 OBC 与 OAB 的周长之差为15，则 AB= ABCD 的周长 =_.解析：AC ，可得 BC，再由平行四边形对边相等知 AD=BC ，由平行四边形的对角线相互均分， 可知 OBC 与 OAB 的周长之差就为 BC与 AB 之差，可得 AB，从而可得 ABCD 的周长对角线相互均分 ) OBC 的周长 =OB OC EC=19 12 BC=59BC=28ABCD 中，BC=AD( 平行四边形对边

2、相等 )AD=28OBC 的周长 -OAB 的周长=(OB OC BC)-(OB OA+AB)=BC-AB=15AB=13ABCD 的周长=AB BCCD AD=2(AB BC)=2(13 28)=82说明：本题条件中的 “OBC 占 OAB 的周长之差为 15”，用符号语言表示出来后，便简单发现其实质，即 BC 与 AB 之差是 15例 2 判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形 ( )(2) 平行四边形的两角相等 ( )(3) 平行四边形的两条对角线相等 ( )(4) 平行四边形的两条对角线相互均分 ( )(5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距

3、离 ()(6) 平行四边形的邻角互补 ( )解析：依据平行四边形的定义和性质判断解：(1)错“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ”是两组对边，而不是两条对边如图四边形 ABCD ，两条对边 ADBC明显四边形ABCD 不是平行四边形(2)错平行四边形的性定理 1，“平行四边形的对角相等 ”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角(3)错平行四边形的性质定理 3，“平行四边形的对角线相互均分 ”一般地不相等 (矩形的两条对角线相等 )(4)对依据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的(5)错线段图形，而距离是指线段的长度，是正当正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到

4、另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离(6)对由定义知道，平行四边形的对边平行，依据平行线的性质可知平行四边形的邻角互补例 3 如图 1，在 ABCD 中， E、F 是 AC 上的两点且AE=CF 求证： EDBF 解析：欲址 DEBF ，只需 DEC= AFB, 转证 =ABF CDF,因 ABCD ，则有 AB CD，从而有 BAC= CDA 再由 AF=CF得AF=CE 满足了三角形全等的条件证明： AE=CFAE+EF=CF+EFAF=CE在ABCD 中AB CD( 平行四边形的对边平行 ) BAC= DCA( 两直线平行内错角相等 )AB=CD( 平行四边形的对边也相等 )

5、ABF CDE(SAS) AFB= DCE EDBF( 内错角相等两直线平行 )说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不办理例4 如图已知在 ABC 中 DE BCFG，若 BD=AF 、求证；DE FG=BC 解析 1：要证 DEFG=DC 因为它们是平行线，由平行四边形定义和性质考虑将 DE 平移列 BC 上为此，过 E(或 D)作 EHAB( 或 DM AC)，获得 DE=BH 、只需证 HC=FG ，因 AF=BD=EH ，CEH= A. AGF C 所以 AFG EHC 此方法称为截长法解析 2：过 C 点作 CKAB 交 DE 的延长线于 K，只需证 FG=EK ，转证

6、 AFG CKE 证法 1：过E 作 EH AB 交于 HDEBC四边形 DBHE 是平行四边形 (平行四边形定义 )DB=EHDE=BH( 平行四边形对边也相等 )又BD=AFAF=EHBCFG AGF= C(两直线平行同位角相等 )同理 A=CEH AFG EHC(AAS)FG=HCBC=BH+HC=DE=FG即CE+FG=BD证法 2：. 过 C 作 CKAB 交 DE 的延长线于 K.DEBC四边形 DBCK 是平行四边形 (平行四边形定义 )CK=BD DK=BC(平行四边形对边相等 )又BD=AFAF=CKCKAB A=ECK( 两直线平行内错角相等 )BCFG AGF= AED(

7、 两直线平行同位角相等 )又 CEK= AED( 对顶角相等 ) AGF= CEK AFG CKE(AAS)FG=EKDE+EK=BCDE+FG=BC例5 如图ABCD 中， ABC=3 A，点 E 在 CD 上,CE=1 ，EF CD 交 CB 延长线于 F，若 AD=1 ，求 BF 的长解析： 依据平行四边形对角相等， 邻角互补，可得 C=F=45 从而由勾股定理求出 CF，再依据平行四边形对边相等， 得 BF 的长解： 在 ABCD 中， ADBC A ABC=180 (两直线平行同旁内角互补 ) ABC=3 A A=45， ABC=135 C=A=45(平行四边形的对角相等 )EFCD

8、 F=45(直角三角形两锐角互余 )EF=CE=1AD=BC=1例6 如图 1， ABCD 中，对角线 AC 长为 10cm ，CAB=30 ，AB 长为 6cm ，求 ABCD 的面积解： 过点 C 作 CHAB，交 AB 的延长线于点 H (图 2) CAB=30SABCD ABCH65=30(cm2)答： ABCD 的面积为 30cm2 说明： 因为 =底高，题设中已知 AB 的长，须求出与底 AB 相应的高，因为本题条件的限制，不便于求出过点 D 的高，应选择过点 C 作高例 7 如图， E、F 分别在 ABCD 的边 CD、BC 上，且 EF BD求证： SACE=S ABF解析：

9、运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转变成等底同高的三角形证明：将 EF 向两边延长分别交 AD、AB 的延长线于 G、H.ABCD DE AB DEG= BHF( 两直线平行同位角相等 )GDE= DAB( 同上 )AD BC DAB= FBH( 同上 ) GDE= FBHDEBH ，DBEH四边形 BHED 是平行四边形 DE=BH( 平行四边形对边相等 ) GDE FBH(ASA)SGDE=S FBH( 全等三角形面积相等 )GE=FH( 全等三角形对应边相等 )SACE=S AFH( 等底同高的三角形面积相等 )SADE SABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积 即 S =

10、aha a可以是平行四边形的任何一边， h 一定是 a 边与其对边的距离即对应的高，为了差别，可以把高记成 ha，表示它所对应的底是 a例8 如图，在ABCD 中， BE 均分 B 交 CD 于点 E，DF均分 D 交 AB 于点 F，求证 BF=DE 证明：四边形 ABCD 是平行四边形 DE FB ， ABC= ADC( 平行四边形的对边也平行对角相等) 1=3(两直线平行内错角相等 ) 1=2 2=3 DFBE( 同位角相等两条直线平行 )四边形 BEDF 为平行四边形 (平行四边形定义 ) BF=DE (平行四边形的对边相等 )说明： 此例也可经过 ADF CBE 来证明，但不如上边的

11、方法简捷例9 如图， CD 的 Rt ABC 斜边 AB 上的高， AE 均分 BAC交CD 于 E，EFAB，交 BC 于点 F，求证 CE=BF 解析 作 EG BC，交 AB 于 G，易得 EG=BF 再由基本图，可得 EG=EC ，从而得出结论证明：过E 点作 EG BC 交 AB 于 G 点 EGA= BEFABEG=BFCD 为 RtABC 斜边 AB 上的高 BAC B=90 BAC ACD 90 B=ACD ACD= EGAAE 均分 BAC 1=2又AE=AE AGE ACE(AAS)CE=EGCE=BF 说明：(1)在上述证法中， “平移 ”起着把条件会合的作用 (2) 本

12、题也可以想法平移 AE(连 F 点作 FG AE，交 AB 于 G)例10 如图，已知ABCD 的周长为 32cm ，ABBC=5 3，AE BC 于 E，AF DC 于 F， EAF=2 C，求 AE 和 AF 的长解析：从化简条件开始由 ABCD 的周长及两邻边的比， 不难获得平行四边形的边长 EAF=2 C 告诉我们什么？这样，马上可以看出 ADF 、 AEB 都是有一个锐角为 30的直角三角形再由勾股定理求出解： ABCD 的周长为 32cm即AB+BC+CD+DA=32AB=CD BC=DA( 平行四边形的对边相等 )又ABBC=5 3EAF+ AFC+ C+CEA=360 (四边形

13、内角和等于 360)AEBC AEC=90AF DC AFC=90 EAF+ C=180EAF=2 C C=60 ABCD( 平行四边形的对边平行 ) ABE= C=60(两直线平行同位角相等 )同理 ADF=60说明： 化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这类解题策略称为：从最复杂的地方开始它虽简单，却很有效2平行四边形的判断例 1 填空题(1) 如图 1，四边形 ABCD 与四边形 BEFC 都是平行四边形，则四边形 AEFD 是_，原由是 _(2) 如图 2，D、E 分别在 ABC 的边 AB、AC 上， DE=EF ， AE

14、=EC ，DEBC 则四边形 ADCF 是_，原由是 _ ，四边形 BCFD是_，原由是 _解析： 判断一个四边形是平行四边形的方法许多，要从已知条件出发，详尽问题详尽解析： (1)依据平行四边形的性质可得 AD 平行且等于 BC，BC 平行且等于 EF ，从而得 AD 平行且等于 EF，由判判定理 4 可得 (2) 由 AE=EC ，DE=EF ，由判判定理 3 可得四边形ADCF 是平行四边形，从而得 ADCF 即 BDCF，再由条件，可得四边形 BCFD 是平行四边形解： (1) 平行四边形， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)平行四边形，对角线相互均分的四边形是平行四边形，平

15、行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形说明： 平行四边形的定义 (两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判断方法例2 如图，四边形 ABCD 中，AB=CD ADB= CBD=90 求证：四边形 ABCD 是平行四边形解析：判断一个四边形是平行四边形，有三类五个判断方法，这三类也是按边、角和对角线分类，详尽的五个方法以下表：所以一定依据已知条件与图形结构特色，选择判断方法证法一：AB=CD ADB= CBD=90 ，BD=DB RtABD RtCDB ABD= CDB ， A= C ABD+ CBD= CDB+ ADB即 ABC= CDA

16、 四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对角分别相等的四边形是平行四边形 )证法二： ADB= CBD=90 ，AB=CD 、BD=DB RtABD RtCDB ABD= CDB ABCD (内错角相等两直线平行 )四边形 ABCD 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 )证法三：由证法一知， RtABD RtCDB DA=BC又 AB=CD四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形 )说明： 证明一个四边形是平行四边形，常常有多种证题思路，我们一定注意解析，经过比较，选择最简捷的证题思路本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明

17、例3 如图，ABCD 中， E、G、F、H 分别是四条边上的点，且AE=CF ，BG=DH ，求证： EF 与 GH 相互均分解析： 只须证明 EGFH 为平行四边形证明： 连结 EG 、GF、FH 、HE四边形 ABCD 是平行四边形 A=C，AD=CB BG=DHAH=CG又AE=CF AEH CFG(SAS)HE=GF同理可得 EG=FH四边形 EGFH 是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ) EF 与 GH 相互均分 (平行四边形的对角线相互均分 )说明：平行四边形的性质，判断的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法例4 如图，ABCD 中， AEBD 于 E，CFB

18、D 于 F求证：四边形 AECF 是平行四边形解析：由平行四边形的性质，可得 ABE CDFAE= CF从而可得四边形 AECF 是平行四边形证明： ABCD 中， AB CD(平行四边形的对边平行，对边相等 ) ABD= CDB( 两直线平行内错角相等 )AE BD、CFBDAECFAEB= CFD=90 ABE CDF(AAS)AE=CF四边形 AECF 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 )说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判断方法例5 如图， ABCD 中，E、F 分别在 AD、BC 上，且 AE=CF ，AF 、BE 订交于 G

19、，CE 、DF 订交于 H求证： EF 与 GH 相互均分解析： 欲证 EF 与 GH 相互均分，只需四边形 EGFH 为平行四边形，利用已知条件可知四边形 AFCE 、四边形 EBFD 都为平行四边形，所以可得 AF EC ，BEDF，从而四边形 GEHF 为平行四边形证明： ABCD 中， AD BC( 平行四边形对边平行且相等 )AE=CF DE=BF四边形 AFCE 、四边形 BFDE 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平形四边形 ) AFCE ，BEDF(平行四边形对边平行 )四边形 EGFH 是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ) GH 与 EF 相互均

20、分 (平行四边形的对角线相互均分 )说明：平行四边形问题，其实不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的常常更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的相互均分等等要灵巧地依据题中已知条件，以及定义、定理等先判断某一四边形为平行四边形，而后再应用平行四边形的性质加以证明例6 如图，已知ABCD 中，EF 在 BD 上，且 BE=DF ，点 G 、H 在 AD、CB 上，且有 AG=CH ，GH 与 BD 交于点 O，求证 EGHF解析：证 EF 、GH 相互均分 GEHF 为平行四边形证明：连BG、DH、 GF、EHABCD 为平行四边形 AD BC又AG=HCDG BH四边形

21、BGDH 为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ) HOGO ，DO=BO( 平行四边形的对角线相互均分 )又BE=DFOE=OF四边形 GEHF 为平行四边形 (对角线相互均分的四边形是平行四边形 ) EG HF(平行四边形的对边平行相等 )说明： 因为条件 BE=DF 涉及到对角线 BD ，所以考虑用对角线相互均分来证明例7 如图，ABCD 中， AEBD 于 E，CFBD 于 F，G、H 分别为 AD、BC 的中点，求证： EF 和 GH 相互均分解析： 连结 EH，HF、FG、GE ，只须证明 EHFG 为平行四边形证法一：连结 EH，HF、FG、GEAEBD ，G 是

22、 AD 中点GED= GDE同理可得四边形 ABCD 是平行四边形AD BC， GDE= HBFGE=HF ， GED= HFBGEHF四边形 GEHF 为平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ) EF 和 GH 相互均分 (平行四边形对角线相互均分 )证法二：简单证明 ABE CDFBE=DF四边形 ABCD 为平行四边形AD BCG、H 分别为 AD、BC 的中点 DG BH四边形 BHDG 为平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 )BD 和 GH 相互均分 (平行四边形对角线相互均分 )OG=OH ，OB=OD又BE=DFOE=OFEF 和 GH 相互均分

23、例 8 如图，已知线段，AB=a ，BC=b ，a、b与 ，求作：ABCD ，使 ABC=解析：已知两边与夹角，可先确立 ABC ，依据判判定理 2( 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 )，再确立点 D，从而平行四边形可作出作法：(1)作 EBF= ，(2)在 BE、BF 上分别截取 BA=a ，BC=b ，(3)分别为 A、 C 为圆心， b，a 为半径作弧，两弧交于点 D，四边形 ABCD 为所求*证明：由作法可知 AB=CD aBC=AD=b四边形 ABCD 为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形为平行四边形 )且 ABC= ，AB=a ，BC=bABCD 为所求说明：常有的平行四边形作图有以下几种：(1)已知两邻边 (AB、BC)和夹角 (B)(2)已知一边 (BC) 和两条对角线 (AC，BD)(3) 已知一边 (BC) 和这条边与两条对角线的夹角 (如 DBC ，ACB) (4)已知一边 (CD) 和一个内角 (ABC) 以及过这个角的极点的一条对角线 (BD，且 BDCD)求作平行四边形 (如图 )完成这些作图的要点点，都在于先作出一个三角形，而后再完成平行四边形的作图，表现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法