高中毕业班综合测试一数学文试题 含答案.docx
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高中毕业班综合测试一数学文试题含答案
试卷类型：
A
2021年高中毕业班综合测试
（一）数学文试题含答案
xx.3
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集,集合,,则集合可以表示为
A．B．C．D．
2．已知向量，若，则实数的值为
A．B．C．D．
3.若某市所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，
叶为个位数，则这组数据的中位数是
A.B.
C.D.
4．已知为虚数单位，复数的虚部记作，则
A．B．C．D．
5.设抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离是
A．B．C．D．
6.已知△的三边所对的角分别为,且,则的值为
A.B.C.D.
7.已知数列为等比数列，若，则的值为
A.B.C.D.
8.若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围是
A.B.
C.D.
9.已知某锥体的正视图和侧视图如图2，
其体积为，则该锥体的俯视图可以是
图2
A.B.C.D.
10．已知圆的圆心为坐标原点，半径为，直线为常数，与圆
相交于两点，记△的面积为，则函数的奇偶性为
A．偶函数B．奇函数
C．既不是偶函数，也不是奇函数D．奇偶性与的取值有关
二、填空题：
本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11.函数的定义域为.
12.已知e为自然对数的底数，则曲线e在点处的切线斜率为.
13.已知函数，点为坐标原点,点N，向量，
是向量与的夹角，则的值为.
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）
在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数
和为参数．以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲
线与的交点的极坐标为.
15.（几何证明选讲选做题）
如图3，是圆的一条弦，延长至点，
使得，过作圆的切线，为切点，
的平分线交于点，则的长为.
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若是第一象限角，且，求的值.
分组
频数
频率
合计
17．（本小题满分12分）
从广州某高校男生中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位:
cm）情况如表1:
（1）求的值；
（2）按表1的身高组别进行分层抽样,从这名学生中抽取名担任广州国际马拉松
志愿者,再从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作,求这名
担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的概率.
表1
18.（本小题满分14分）
如图4，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，．沿将△翻折到△，连接，得到如图5的五棱锥，且.
（1）求证：
平面；
（2）求四棱锥的体积.
19.（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，且满足,,N.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正整数，使，，成等比数列?
若存在，求的值；若不存
在，请说明理由.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于，两点，且点的坐标为，点是椭圆上异于点,的任意一点，点满足，，且，，三点不共线.
（1）求椭圆的方程；
（2）求点的轨迹方程；
（3）求面积的最大值及此时点的坐标.
21.（本小题满分14分）
已知为常数，且，函数的最小值和函数
的最小值都是函数R的零点.
（1）用含的式子表示，并求出的取值范围；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
xx年广州市普通高中毕业班综合测试
（一）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：
本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
B
C
C
A
C
A
二、填空题：
本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11.12.13.14.15.
说明:
第14题答案可以是Z.
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：
…………………………1分
…………………………2分
…………………………3分
.…………………………4分
∴函数的最小正周期为.…………………………5分
（2）解：
∵，∴.…………………………6分
∴.
∴.…………………………7分
∵是第一象限角，
∴.…………………………8分
∴.…………………………9分
∴…………………………10分
…………………………11分
.…………………………12分
17.（本小题满分12分）
（本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）
（1）解:
由，得.…………………………1分
由，得，…………………………2分
由，得.…………………………3分
（2）解：
依据分层抽样的方法，抽取的名志愿者中身高在区间上的有
名，记为；…………………………………………5分
而身高在区间上的有名，记为.……………………7分
记“这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm”为事件，
从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作，共有种不同取法：
，，
，，．…………………………9分
事件包含的基本事件有种：
，，
，．…………………………11分
∴为所求．…………………………12分
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明：
∵点，分别是边，的中点，
∴∥.…………………………1分
∵菱形的对角线互相垂直，
∴.…………………………2分
∴.…………………………3分
∴，.…………………………4分
∵平面，平面，，
∴平面.…………………………5分
∴平面.…………………………6分
（2）解：
设，连接，
∵，
∴△为等边三角形.…………………………7分
∴，，，.……………………8分
在Rt△中，，…………………………9分
在△中，，…………………………10分
∴.…………………………11分
∵，，平面，平面，
∴平面.…………………………12分
梯形的面积为，………………………13分
∴四棱锥的体积.………………14分
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）
（1）解：
∵,,
∴.…………………………1分
∴.…………………………2分
∴.…………………………3分
（2）解法1:
由,得.……………………4分
∴数列是首项为,公差为的等差数列.
∴.…………………………5分
∴.…………………………6分
当时,…………………………7分
.…………………………8分
而适合上式，
∴.…………………………9分
解法2:
由,得，
∴． ① …………………………4分
当时，，②
①②得
，
∴．…………………………5分
∴． …………………………６分
∴数列从第２项开始是以为首项,公差为的等差数列.………７分
∴. …………………………８分
而适合上式，
∴.…………………………9分
（3）解：
由
（2）知,.
假设存在正整数,使,,成等比数列,
则.…………………………10分
即.…………………………11分
∵为正整数,
∴.
得或,…………………………12分
解得或,与为正整数矛盾.…………………………13分
∴不存在正整数,使,,成等比数列.…………………………14分
20.（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）解法1：
∵双曲线的顶点为,,…………1分
∴椭圆两焦点分别为,.
设椭圆方程为，
∵椭圆过点，
∴，得.………………………2分
∴.………………………3分
∴椭圆的方程为.………………………4分
解法2:
∵双曲线的顶点为,,…………………1分
∴椭圆两焦点分别为,.
设椭圆方程为，
∵椭圆过点，
∴.①………………………2分
.∵,②………………………3分
由①②解得,.
∴椭圆的方程为.………………………4分
（2）解法1：
设点，点，
由及椭圆关于原点对称可得，
∴，，
，.
由,得，……………………5分
即.①
同理,由,得.②……………6分
①②得.③………………………7分
由于点在椭圆上,则，得,
代入③式得.
当时，有，
当，则点或,此时点对应的坐标分别为或
，其坐标也满足方程.………………………8分
当点与点重合时，即点，由②得，
解方程组得点的坐标为或.
同理,当点与点重合时，可得点的坐标为或.
∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,
.………………………9分
解法2：
设点，点，
由及椭圆关于原点对称可得，
∵，，
∴，.
∴，①……………………5分
.②……………………6分
①②得.（*）………………………7分
∵点在椭圆上,∴，得,
代入（*）式得，即,
化简得.
若点或,此时点对应的坐标分别为或
，其坐标也满足方程.………………………8分
当点与点重合时，即点，由②得，
解方程组得点的坐标为或.
同理,当点与点重合时，可得点的坐标为或.
∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,
.………………………9分
（3）解法１：
点到直线的距离为.
△的面积为
………………………10分
.………………………11分
而（当且仅当时等号成立）
∴
.……12分
当且仅当时,等号成立.
由解得或………………………13分
∴△的面积最大值为,此时,点的坐标为或.…14分
解法２：
由于，
故当点到直线的距离最大时，△的面积最大．………………………10分
设与直线平行的直线为，
由消去，得，
由，解得． ………………………11分
若，则，；若，则，．…12分
故当点的坐标为或时，△的面积最大，其值为
． ………………………14分
21.（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）
（1）解:
由于，，则
，
当且仅当，即时，.…………………1分
，当时，.
………………………2分
∵，
∴，.
由于，结合题意，可知，
方程的两根是，，………………………3分
故，.………………………4分
∴.
∴.………………………5分
而方程的一个根在区间上，另一个根在区间上.
令，
则………………………6分
即
解得………………………7分
∴.………………………8分
∴，.
求的取值范围的其它解法：
另法1：
由，得，………………………6分
∵，
∴． ………………………７分
∵，
∴． ………………………8分
另法2：
设，，
则
， ………………………6分
故函数在区间上单调递减．
∴． ………………………７分
∴． ………………………8分
（2）解：
由
（1）得，
则.………………………9分
∵，
∴二次函数的开口向下，对称轴.
故函数在区间上单调递减.………………………10分
又
，………………………11分
∴当时，.
∴函数在区间上单调递减.………………………12分
∴函数的最大值为，最小值为.
………………………14分
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