9年级数学提优第12次.docx

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9年级数学提优第12次

1．（16锡山区一模）如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，点C运动的路径长为（　　）

A．2πB．（+1）πC．（+2）πD．（+1）π

2．（16无锡一模）如图：

△ABC中，AC=6，∠BAC=22.5°，点M、N分别是射线AB和AC上动点，则CM+MN的最小值是（　　）

A．2B．2C．3D．3

3．如图，扇形OMN与正方形ABCD，半径OM与边AB重合，弧MN的长等于AB的长，已知AB=2，扇形OMN沿着正方形ABCD逆时针滚动到点O首次与正方形的某顶点重合时停止，则点O经过的路径长（　　）

A．4πB．2+4πC．4π﹣2D．以上都不对

4．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）

A．B．C．D．

5．如图，Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°，如果点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上运动，那么点B在函数　　（填函数解析式）的图象上运动．

6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是　　．

7．（阿氏圆）如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．

8．对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：

若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．

（1）当r=4时，

①在P1（0，﹣3），P2（4，6），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是　　；

②若点P在直线y=﹣x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为　　；

（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；

9．（16锡山一模）如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线的解析式分别为y=x和y=﹣x+．

（1）求正方形OABC的边长；

（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，设运动时间为2秒．当k为何值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？

（3）若正方形以每秒个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落在x轴上时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

10．如图，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圆O的直径DE=12cm，矩形DEFG的宽EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上，设运动时间为x（s），矩形量角器和△ABC的重叠部分的面积为S（cm2）．当x=0（s）时，点E与点C重合．（图（3）、图（4）、图（5）供操作用）．

（1）当x=3时，如图

（2），S=　　cm2，当x=6时，S=　　cm2，当x=9时，S=　　cm2；

（2）当3＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；

（3）当6＜x＜9时，求S关于x的函数关系式；

（4）当x为何值时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

11．⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（，0），∠CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动．

（1）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；

（2）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；

（3）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．

12．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．点P从点B以1cm/s的速度向点C运动，点Q从点C以2cm/s的速度向点A运动，两点同时出发，运动的时间为t秒（0≤t≤5）．过点Q作直线QD∥BC，交AB于点D，连接PD、PQ．

（1）用含有t的代数式表示DQ的长；

（2）是否存在某一时刻t，使得△DPQ为直角三角形？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）以线段PC为直径作⊙O．

①在运动过程中，求当动点Q在⊙O内部时t的取值范围；

②连接OD，交线段PQ于点E，求点E恰好落在⊙O上时t的值．

13．（16淮安）问题背景：

如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：

将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，从而得出结论：

AC+BC=CD．

简单应用：

（1）在图①中，若AC=，BC=2，则CD=　　．

（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，=，若AB=13，BC=12，求CD的长．

拓展规律：

（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）

1.解：

如图，分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′；

∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°；

同理可证：

∠OAD′=60°，∴∠D′AB=120°；

∵∠D′AB′=90°，∴∠BAB′=120°﹣90°=30°，

由旋转变换的性质可知∠C′AC=∠B′AB=30°；

∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，

∴∠ABC=90°，AC==2，

∴当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：

=．

以D或B为圆心滚动时，每次C点运动，

以A做圆心滚动两次，以B和D做圆心滚动三次，所以总路径=×2+×3=（+1）π．

2.解：

作C关于AB的对称点E，过E作EN⊥AC于N，连接AE，

则EN=CM+MN的最小值，

由对称的性质得：

AB垂直平分BC，∴AE=AC=6，∠EAC=2∠BAC=45°，

∴△AEN是等腰直角三角形，∴EN=AE=3，

3．解：

当扇形绕B旋转时，路径长是=2π，

当弧NM在BC上时，O经过的路径长是2；

当扇形绕C旋转时，路径长是=2π；则点O经过的路径长2+2π+2π=2+4π．故选：

B．　

4．解：

连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO=BO=AB，

∵G（0，1），即OG=1，

∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：

AO==，∴AB=2AO=2，

又CO=CG+GO=2+1=3，

∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：

AC==2，

∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，

∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，

在Rt△ACO中，tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∴度数为60°，

∵直径AC=2，∴的长为=π，

则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长π．故选B

5．解：

分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b）．

∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴ab=1．

在△OAC与△BOD中，∠AOC=90°﹣∠BOD=∠OBD，∠OCA=∠BDO=90°，

∴△OAC∽△BOD，∴OC：

BD=AC：

OD=OA：

OB，

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠B=30°，∴OA：

OB=1：

，

∴b：

BD=a：

OD=1：

，∴BD=b，OD=a，∴BD•OD=3ab=3，

又∵点B在第四象限，∴点B在函数（x＞0）的图象上运动．

6．解：

如图，连接AP，

∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），

∴AB=（1+t）﹣1=t，AC=1﹣（1﹣t）=t，∴AB=AC，

∵∠BPC=90°，∴AP=BC=AB=t，

要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，∴点P在AD上，

∵A（0，1），D（3，3），∴AD==，

∴t的最小值是AP=AD﹣PD=﹣1，

8．解：

（1）①连接AC和BD，交于点M，

∵四边形ABCD是正方形，∴M到正方形ABCD四条边距离都相等

∴⊙P一定通过点M，

∵A（2，4）∴M（0，2）设⊙P的圆心坐标是（x，y），∴r=4时，

∴x2+（y﹣2）2=（4）2，即，x2+（y﹣2）2=32，

把P1（0，﹣3），P2（4，6），P3（4，2）代入，只有P2，P3成立，

∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3，

②∵点P在直线y=﹣x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，

∴把y=﹣x+2代入x2+（y﹣2）2=32，得x2+x2=32，解得x=±4，

∴y=﹣2或6，∴P（4，﹣2）或P（﹣4，6）．

（2）如图：

①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，

∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．

∴点P在线段EI的中垂线上．

∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE在y轴上，

∴E（0，2），I（3，5）∴∠IEH=45°，

设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，

∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L（0，5），

∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM∴M（5，0），

∴P在直线y=﹣x+5上，∴设P（p，﹣p+5）

过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，

∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ，∴p2+（﹣p+5﹣2）2=（p+2）2，

解得：

P1=5+2，P2=5﹣2，

∴P1（5+2，﹣2），P2（5﹣2，2），

∵⊙P过点E，且E点在y轴上，

∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|﹣2﹣2|=4+4或2|2﹣2|=4﹣4．

10..解：

（1）36，54，18

（2）如图，设矩形DEFG与斜边AB的交点分别为N、H，与直角边AC的交点为M；

∵BE=12﹣2x，AM=12﹣6=6，（4分）

∴S=S△ABC﹣S△AMN﹣S△BHE=×12×12﹣×6×6﹣×（12﹣2x）2=﹣2x2+24x﹣18，

∴当3＜x＜6时，S=﹣2x2+24x﹣18．

（3）如图，

设矩形DEFG与斜边AB的交点为M，延长FG交AC于点H；

∵AH=12﹣6=6，HG=2x﹣12，

∴S=S△ABC﹣S△AHM﹣S矩形HCOG=×12×12﹣×6×6﹣6×（2x﹣12）=﹣12x+126，

∴当6＜x＜9时，S=﹣12x+126．

（4）如图，①过点O′作O′D′⊥AB于点D′，由题意得O′D′=6；

∵∠ABC=45°，∠O′D′B=90°，∴O′B==6，

∴x1=（秒）②过点O作OE⊥AB，交AB的延长线于点E，由题意得OE=6；

∵∠OBE=45°，∠