立体几何学生版新.docx
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立体几何学生版新
空间几何体的结构及其三视图和直观图
1.多面体的结构特征
（1）棱柱的上下底面________，侧棱都________且____________，上底面和下底面是________的多边形.
（2）棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个____________的三角形.
（3）棱台可由________________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________.
2.旋转体的结构特征
（1）圆柱可以由矩形绕其________________旋转得到.
（2）圆锥可以由直角三角形绕其________________________________旋转得到.
（3）圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由______________________的平面截圆锥得到.
（4）球可以由半圆或圆绕其________旋转得到.
3.空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用__________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是____________的，三视图包括____________、__________、________.
4.空间几何体的直观图
画空间几何体的直观图常用________画法，基本步骤是：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝__________.
（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于____________.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度____________，平行于y轴的线段，长度变为______________.
（4）在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度________.
[难点正本 疑点清源]
1.画空间几何体的三视图的两个步骤
第一步，确定三个视图的形状；第二步，将这三个视图摆放在平面上.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.
2.三视图与空间几何体中的几何量的关系
空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”.其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图.
1.利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是__________.（写出所有正确的序号）
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形.
2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是________.
3.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________（填入所有可能的几何体前的编号）.
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；
⑥圆柱.
4.以下命题：
①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；
②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；
③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台.
其中正确的命题序号是________.
5.（2011·浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）
空间几何体的表面积与体积
1.柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱
S侧＝______
V＝______＝________
圆锥
S侧＝______
V＝______＝________
＝
πr2
圆台
S侧＝________
V＝
（S上＋S下＋
）h
＝
π（r
＋r
＋r1r2）h
直棱柱
S侧＝______
V＝______
正棱锥
S侧＝______
V＝______
正棱台
S侧＝______
V＝
（S上＋S下＋
）h
球
S球面＝______
V＝______
2.几何体的表面积
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________________.
（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是________、________、__________；它们的表面积等于__________________________________________________.
[难点正本 疑点清源]
1．几何体的侧面积和全面积
几何体侧面积是指（各个）侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱（圆柱）侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小．
2．要注意领会和掌握两种数学思想方法：
割补法与等积法
割补法是割法与补法的总称．补法是把不规则（不熟悉的或复杂的）几何体延伸或补成规则的（熟悉的或简单的）几何体，把不完整的图形补成完整的图形．割法是把复杂的（不规则的）几何体切割成简单的（规则的）几何体．割与补是对立统一的，是一个问题
的两个相反方面．割补法无论是求解体积问题还是证明垂直或平行关系都有简化解题
过程、开阔思维的优点．
等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值．
1.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________.
2.一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a，则球的表面积为________.
3.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1
中，P是A1B1上一点，且PB1＝
A1B1，则多面体
P—BCC1B1的体积为________.
4.（2011·上海）若一个圆锥的正视图（如图所示）是边长为
3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为________.
5.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积
是（ ）
A.
π B.
π
C.3＋
πD.12＋
π
3．[2014·福建卷]以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．2πB．πC．2D．1
10．[2014·湖北卷]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈
L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈
L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A.
B.
C.
D.
7．[2014·新课标全国卷Ⅱ]正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为
，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为（ ）
A．3B.
C．1D.
10．、[2014·全国卷]正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A.
B．16π
C．9πD.
13．[2014·山东卷]一个六棱锥的体积为2
，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
G8多面体与球
8．、[2014·湖南卷]一块石材表示的几何体的三视图如图1 2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
图1 2
A．1B．2C．3D．4
5．[2014·陕西卷]将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（ ）
A．4πB．3πC．2πD．π
10．、[2014·全国卷]正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A.
B．16π
C．9πD.
20．、[2014·重庆卷]如图1 4所示四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝
，M为BC上一点，
且BM＝
.
（1）证明：
BC⊥平面POM；
（2）若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．
图1 4
8．[2014·安徽卷]一个多面体的三视图如图1 2所示，则该多面体的体积是（ ）
图1 2
A.
B.
C．6D．7
11．[2014·北京卷]某三棱锥的三视图如图1 3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
8．、[2014·湖南卷]一块石材表示的几何体的三视图如图1 2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
图1 2
A．1B．2C．3D．4
7．、[2014·辽宁卷]某几何体三视图如图1 2所示，则该几何体的体积为（ ）
图1 2
A．8－
B．8－
C．8－πD．8－2π
3．[2014·浙江卷]某几何体的三视图（单位：
cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
图1 1
A．72cm3B．90cm3
C．108cm3D．138cm3
6．[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图1 1，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
图1 1
A.
B.
C.
D.
17．、[2014·陕西卷]四面体ABCD及其三视图如图1 4所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.
图1 4
（1）求四面体ABCD的体积；
（2）证明：
四边形EFGH是矩形．
4．[2014·四川卷]某三棱锥的侧视图、俯视图如图1 1所示，则该三棱锥的体积是（锥体体积公式：
V＝
Sh，其中S为底面面积，h为高）（ ）
图1 1
A．3B．2C.
D．1
7．[2014·重庆卷]某几何体的三视图如图1 2所示，则该几何体的体积为（ ）
图1 2
A．12B．18C．24D．30
10．[2014·天津卷]一个几何体的三视图如图1 2所示（单位：
m），则该几何体的体积为________m3.
G3平面的基本性质、空间两条直线
空间点、直线、平面之间的位置关系
1.平面的基本性质
公理1：
如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：
过________________________的三点，有且只有一个平面.
公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线.
2.直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）异面直线所成的角
①定义：
设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的________________叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）.
②范围：
________________.
3.直线与平面的位置关系有________、________、__________三种情况.
4.平面与平面的位置关系有________、________两种情况.
5.平行公理
平行于________________的两条直线互相平行.
6.定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角________________.
[难点正本 疑点清源]
1.公理的作用
公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.
2.正确理解异面直线的定义：
异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
1.在下列命题中，所有正确命题的序号是________.
①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；
②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
③经过两条相交直线，有且只有一个平面；
④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；
⑤四边形确定一个平面.
2.给出三个命题：
①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；
③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行；
④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行.
其中不正确命题的序号是________.
3.正方体各面所在平面将空间分成________部分.
4.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
5.（2011·浙江）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（ ）
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
19．、、[2014·安徽卷]如图1 5所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2
.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
图1 5
（1）证明：
GH∥EF；
（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
18．、[2014·湖南卷]如图1 3所示，已知二面角αMNβ的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.
图1 3
（1）证明：
AB⊥平面ODE；
4．[2014·辽宁卷]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
G4空间中的平行关系
直线、平面平行的判定及其性质
1.直线a和平面α的位置关系有________、________、____________，其中________与________统称直线在平面外.
2.直线和平面平行的判定
（1）定义：
___________________________________________________________；
（2）判定定理：
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒________；
（3）其他判定方法：
α∥β，a⊂α⇒________.
3.直线和平面平行的性质定理：
a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒____________.
4.两个平面的位置关系有______________.
5.两个平面平行的判定
（1）定义：
______________________________________________________________；
（2）判定定理：
a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒________；
（3）推论：
a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒________.
6.两个平面平行的性质定理
（1）α∥β，a⊂α⇒________；
（2）α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒________.
7.与垂直相关的平行的判定
（1）a⊥α，b⊥α⇒________；
（2）a⊥α，a⊥β⇒________.
[难点正本 疑点清源]
1.直线与平面的位置关系有三种：
直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后面两种又统称为直线在平面外.
2.证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内.
3.在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用.
4.辅助线（面）是解（证）线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.
1.已知不重合的直线a，b和平面α，
①若a∥α，b⊂α，则a∥b；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b⊂α，则a∥α；
④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.
上面命题中正确的是________（填序号）.
2.给出下列五个命题：
①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；
②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；
③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；
④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行；
⑤若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的无数多条直线平行.
其中正确命题的序号是__________.
3.已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列说法：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是________.
4.直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）
A.α内的所有直线都与a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线都与a相交
D.直线a与平面α有公共点
5.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（ ）
A.l∥αB.l⊥α
C.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α
6．、[2014·浙江卷]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（ ）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
19．、、[2014·安徽卷]如图1 5所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2
.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
图1 5
（1）证明：
GH∥EF；
（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
17．、[2014·北京卷]如图1 5，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
图1 5
（1）求证：
平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求证：
C1F∥平面ABE；
（3）求三棱锥EABC的体积．
20．、[2014·湖北卷]如图1 5，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：
（1）直线BC1∥平面EFPQ；
（2）直线AC1⊥平面PQMN.
图1 5
16．、[2014·江苏卷]如图1 4所示，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC.
18．、[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图1 3，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：
PB∥平面AEC；
（2）设AP＝1，AD＝
，三棱锥PABD的体积V＝
，求A到平面PBC的距离．
图1 3
18．，[2014·山东卷]如图1 4所示，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝
AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．
图1 4
（1）求证：
AP∥平面BEF；
（2）求证：
BE⊥平面PAC.
18．、[2014·四川卷]在如图1 4所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．
（1）若AC⊥BC，证明：
直线BC⊥平面ACC1A1.
（2）设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？
请证明你的结论．
图1 4
图1 4
17．、、[2014·天津卷]如图1 4所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝
，AD＝2，PA＝PD＝
，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（1）证明：
EF∥平面PAB；
（2）若二面角PADB为60°.
（i）证明：
平面PBC⊥平面ABCD；
（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
G5空间中的垂直关系
直线、平面垂直的判定及其性质
1.直线与平面垂直
（1）判定直线和平面垂直的方法
①定义法
②利用判定定理：
一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线和此平面垂直.
③推论：
如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面.
（2）直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线.
②垂直于同一个平面的两条直线________.
③垂直于同一直线的两平面________.
2.斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.
3.平面与平面垂直
（1）平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②利用判定定理：
一个平面过另一个平面的____________，则这两个平面垂直.
（2）平面与平面垂直的性质
两平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线垂直于另一个平面.
[难点正本 疑点清源]
1.两个平面垂直的性质定理
两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作（找）一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.
2.两平面垂直的判定
（1）两个平面所成的二面角是直角；
（2）一个平面经过另一平面的垂线.
1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有________条.
2.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC，
（1）若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点.
（2）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△
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