将一张长方形的纸对折.docx
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将一张长方形的纸对折
将一张长方形的纸对折
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正方形折纸一边三等分方法的探究
上海中学数学・２０１４年第１２期
正方形折纸一边三等分方法的探究
２００２３４
上海师范大学数理学院陆新生
折纸是一种许多人熟悉的活动，在幼儿园，教师就会经常教孩子们折各种东西．但笔者讨论的不是如何折某个物体，而是折纸一边的三等分折法．
将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，也容易得出理论上的精确折法，但将一边三等分就不那么容易了，通常人们会先将纸卷起，形成三层，再慢慢调整，当认为调整到位时，将纸折平，这样就能将纸的一边三等分，但这种方法是近似的、不精确的．
近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最有名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被学界称之为芳贺折纸三定理．笔者讨论各种三等分折法，分析其教育价值．１芳贺折纸三定理
１．１第一定理
芳贺折纸第一定理的主要内容：
如图１，Ｅ为正方形折纸ＡＢＣＤ一边ＡＢ的中点，将纸的右下角向上翻折，使点Ｃ与点Ｅ重合并将纸折平，底边ＣＤ
翻折至Ｅｊ的位置与折纸左边相交于点Ｈ，则Ｈ为ＡＤ的三等分点，即ＡＨ：
ＨＤ一！
：
１
不妨设ＢＡ—ＢＣ一１，Ｌ—姜一ＢＦ—ａ，则ＢＥ一１／２，Ｅ‘Ｆ＼一ＦＣ＝１一ａ．由勾股定理
１
ｇ
＼、、
２／？
Ｆ
得ｎ２＋ｆ寺１一２．
＼厶，
Ｊ
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１ｔ
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解之得口一３／８，ＥＦ—ＣＦ，“
—５／８．
’ｆｊ川一
利用△ＡＨＥ、△ＢＥＦ与△ＪＨＧ的相似关系可以
一…一一…一“
－４｝｜ｌ
，、
求得ＡＨ＝２／３．
当然也可以方便地求得ＥＨ一５／６，Ｈｊ一１／６，
ＧＪ一１／８．ＨＧ一５／２４．
１．２第二定理
芳贺折纸第二定理的主要内容：
如图２，Ｅ为正方形折纸ＡＢＣＤ一边ＡＤ的中点，沿连接Ｂ、Ｅ两点的直线将折纸翻折，点Ａ翻折至Ｆ点，若ＥＦ的延长线交ＣＤ边于Ｇ点，则ＤＧ：
ＧＣ一２：
１，即Ｇ为ＣＤ的一个三等分点．
用千篇一律的方式加以巩固，不仅学生容易生厌，同时也会由于问题处在同一层次，无法激发学生进一步探究的热情．不同的知识之间有时具有某种共性，通过合情推理中的类比手段，可以打开学生设计问题的思路．
从活动ｌ的问题开放，到活动２的条件、结论全开放，一步一步解放学生的思维，帮助学生体会设计问题的乐趣，提高学生的学习兴趣．平行四边形的边和角是两种不同的元素，类比“边”，设计有关“角”的问题，激发了学生的思维广度．
２．３猜想可能结论，设计问题
合情推理的核心是猜想，但是猜想不是空想，它必须建立在确定的事实基础之上，结合与之相关的定理知识，作出合乎情理的判断．因此，它是有本之木，不是无源之水．
活动３第问在简单图形中增加一条线段，图形的变化，导致新结论的出现，从而顺理成章地引发学生的猜想，同时实现了从计算题到证明题的自然过渡．第问再从证明题到计算题，使得学生对几何中的两种常见题型有了全面的了解，拓宽了知识
的应用模式．
２．４动手实验操作。
设计问题
新的数学课程标准指出要“遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想”，为学生“利用直观进行思考”创造更多的机会，从而培养学生合情推理的能力．
活动４从题目的设计转变成图形的设计，为学生的合情推理搭建了新的平台，提供了新的路径．不同的实验操作可能得出不一样的结论．多样的设计必将多角度、多层次、多方位地展现学生的数学素养
与能力．
事实证明，合情推理不仅可以用来发现新的数学知识，同样也可以作为知识运用的指导思想，从而打破一成不变的格局，开发出更加多元化的教学方式，将学生的数学学习从学习知识转变为学会学习．合情推理不仅是新一代课改的需要，而且是打开学生创造之门的钥匙，更是拉动学生内驱力的引擎．让合情推理走进初中数学课堂，给予它应有的地位，这不仅是激情的呼唤，更是理性的回归．
２２
上海中学数学・２０１４年第１２期
教授提出的上述三个以外，还有以下一些方法
２．１方法４
从理论上证明这一结论比较容易，只需一元一次方程的知识．显然△ＢＦＡ与△ＢＦＥ全等，容易证明△ＢＣＧ与△ＢＦＧ也全等．设正方形的边长为１，ＧＤ＝Ｔ，则ＤＥ—ＡＥ一１／２，ＧＣ一１一、ｒ，图２中Ｓ、丁、Ｒ各部分的面积分别为／４、．ｒ／４、１／４，图２中的正方形被分成５个三角形，面积和为１，因此可得．ｒ／４＋／２＋１／２—１，解之得．ｚ＇一２／３．
本定理也可利用勾股定，！
生一～一一一●理给出证明．基本思路为：
如图２，着眼于Ｒｔ△ＤＥＧ，如设正方形的边长为ｌ，ＧＤ一Ｔ，则ＤＥ—ＡＥ—ＥＦ一１／２’一ＧＦ—ＧＣ一１一。
ｒ，由勾股定
丁
／
如图４，将纸翻折使点Ｃ与Ａ重合，折平后得正方形的对角线ＢＤ，将折后的纸展开Ｅ复原，然后将纸翻折使点Ｄ与Ａ重合，可得ＡＤ的中点Ｐ，将纸展开；再将纸翻折使折痕线过Ｐ、Ｃ两点，设ＰＣ与ＢＤ的交点为０；最后过点Ｏ分别
／＼
＼
。
～
图４
＼
、
理可得＋Ｔ２一ｃ２，化简解得．ｒ一
２
３’
骘Ｂ
折ＡＤ、ＣＤ的平行线，得折线
ＭＮ、ＥＦ，折线与ＡＤ、ＢＣ、ＡＢ、ＣＤ的交点分别为Ｍ、Ｎ、Ｅ、Ｆ，则上述四点分别将对应的各边三等分．
原理：
因为△ＡＰ丁与△ＢＣ丁相似，且ＢＣ一２ＡＰ，所以，ＢＴ一２Ａ丁，由此可得ＡＴ—ＡＢ／３．
２．２
方法５
如图５，先折正方形的两条对角线，设交点为０；接着将点Ａ翻折到点０，得ＡＯ的中点Ｐ；再折一过点Ｂ、Ｐ折痕线，设它与ＡＤ的交点为丁，则点丁将边ＡＤ三等分．
原理：
△ＡＰ丁与△ＣＰＢ相似，且ＡＰ—ＣＰ／３，所以，Ａ丁一
ＢＣ／３一ＡＤ／３．
２．３
如果再对图２中点Ｆ的位置作深入探究，也会得到比较漂亮的结论．不妨用尺度量一下Ｆ点到正方形四边的距离，不难发现点Ｆ分正方形折纸的左右为１：
４，分上下为２：
３．
１．３第三定理
芳贺折纸第二定理的主要内容：
图３中Ｅ为正方形ＡＢＣＤ一边ＡＤ的中点，将右边ＣＤ翻折，使得点Ｃ在ＡＢ边上，同时保证ＣＤ过点Ｅ，将纸折平得折痕线ＦＧ，则点Ｃ翻折后的新位置Ｈ为正方形左边ＡＢ的一个三等分点，即ＡＨ：
ＨＢ＝２：
１．
上述折法称为三维折法，ｆｐ一或空间折法，它要保证两条’！
。
…‘ｊ一…；线同时过两点．这个问题要比前两个问题稍微复杂一些，要通过解二元二次方程组才可以Ⅲ川。
解决．
疗
这里不妨设正方形的边长为１，ＨＢ—Ｌｒ，ＢＧ—ｙ，则
ＣＧ＝１一Ｙ，ＡＨ一１一．ｒ，ＡＥ
７
『
图５
方法６
如图６，分别取ＡＤ、ＣＤ的四等分点Ｐ、Ｐ７；将纸翻折使点Ｐ与点Ｐ７重合，折平得折痕线Ｇ丁，则丁是ＣＤ的三等分点．
原理：
设正方形的边长
？
’
／
、
为１，ＴＤ—Ｔ，
２，另一方面由于／ｋＡＨＥｏｏ△ＢＧＨ，故有
１
９
１
由勾股定理得２＋．ｒ一２．解之得ｚ
一１／３．
２．４
方法７
如图７，将纸翻折使点Ａ与点Ｂ重合，折平得折痕线ＥＦ后将折纸展开；然后以点Ｃ为轴将纸翻折使点Ｄ移置ＥＦ上，设折痕线与ＡＤ的交点为＿Ｐ，点Ｄ在ＥＦ上的位置设为Ｍ．将折纸展开复原后，再将纸翻折使ＰＤ重
合于ＰＣ，得折痕线Ｐ丁，交ＣＤ于点丁，则ＤＴ—ＣＤ／３．
原理：
利用Ｒｔ△ＰＣＤ中么ＰＣＤ一３０。
这一条件
图７
ｒ三一了Ｙ，即寺Ｙ一・ｒ，解联立方程组
｛丢ｙ—Ｔ
相似三角形对应边成比例，勾股定理
芳贺第二定理
全等三角形判定，一元一次方
程，勾股定理
芳贺第三定理
相似三角形对应边成比例，勾
股定理，二元二次方程组方法４相似三角形对应边成比例方法５相似三角形对应边成比例方法６
勾股定理，一元一次方程方法７三角形内角的平分线分对边成
比例线段
方法８相似三角形对应边成比例方法９
３０度直角三角形的性质
数学教育要达成其目标，不仅需要改革课程、教学模式、教学策略和方法，更需要教师对教材进行研究和开发，但从现状看，我国的数学教育界对这一领域还没有加以足够的重视．数学新课程重视课题学习、探究教学等，需要广大教师开发与教学内容相适
应的教材，在这方面，我国数学教育界缺少相关的研
究和积累．
将正方形折纸一边三等分，表面看起来是一个小问题，但围绕这个问题已经发现了许多的等分方法，其中许多方法是学生凭自己的能力解决的．解决这一问题时，需要调动学生数学学习中各方面的知识积累．有些问题表面看起来很简单，但实际非常具有挑战性，如人们熟悉的任意角的三等分问题、歌德巴赫猜想、费尔马大定理等问题，由于稍具数学知识就能理解，故吸引了历史上许多人的关注．而任意角的三等分问题直到现在还有许多人在挑战、研究．笔者讨论的这一问题，作为一道初中数学探究题，是一个好问题，很容易理解，容易引发学生的兴趣．由于方法众多，在挑战过程中，各类学生都会有所收获．而且由于各种方法涉及了许多知识点，用这一问题作为探究或课题学习的材料，会使教学更容易落实新课程的理念．４结语
笔者的讨论仅限于对正方形折纸的情形，师生完全可以对这一问题做出深入探究．比如可以将正方形扩展到长方形、三角形或圆等图形，也可将三等分扩展到五等分、七等分或任意的行等分．以上讨论也仅限于对解法的探讨，只是数学教材开发的一环，而如何在教学实践中有限利用这些材料还需要教师进行周密的教学设计，最后要看教学的效果．
２４
上海中学数学・２０１４年第１２期
初中数学教学中几何直观能力的培养
２０００９２上海市迅行中学喻霄丽
几何直观是当下初中数学教学领域的一个热门名词，用通俗的语言解释几何直观，就是“看图说话，看图说理”．借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果．当代著名数学家徐利治教授就曾说过：
“无论是从事数学教学还是研究，我是喜欢直观的．学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和证法的直观思路弄明白了，我才认为真正懂得了．”可见几何直观能力的培养在整个数学学习过程中都是至关重要的．对于逻辑思维能力尚未成熟的初中学生而言，几何直观能帮助他们更好地理解和学习数学．那么在平时的课堂教学中，可以通过哪些途径培养学生的几何直观能力呢？
一、增加实验操作。
重视活动经验
初中数学课程的学习有很多方式，但不同的教学内容需要结合学生当前已有的知识经验、思维水平，选择合适的方法进行．让学生实验操作，从活动中探索、交流、猜测、论证，是其中很重要的一种方式．
例１矩形、菱形的学习
矩形的学习是在学生学习平行四边形的基础上展开的，上新课前教师可以预先让学生各自用硬纸板制作一个平行四边形．新课学习时，请学生将其中一个角转成９０。
并观察四边形的形状变化，请学生思考，从而得到矩形的概念及性质定理１：
矩形的四个角都是直角．通过实验、操作、观察，不难看出矩形的对角线相等，在这个猜测下，教师与学生根据已有的知识经验进行逻辑推理，得到矩形的性质定理２．进一步，可以通过折叠的方式证明矩形是一个轴对称图形，其对称轴有两条，分别是对边中点的连线所在的直线．
菱形的学习类似矩形，只需在制作平行四边形时把四条边截取成长度相等的线段即可．
例２折叠中的无理数
课前请学生们准备一张标准Ａ４纸．
课程开始时，请学生拿出准备好的Ａ４纸，按以下方式折叠．第一步，让折痕经过点Ｄ，把点Ａ翻折到ＤＣ边上，得到点Ｆ，折痕为线段ＤＥ，点Ｅ为折痕与Ａ４纸长边的交点；第二步：
让折痕经过点Ｄ，把点Ｅ翻折到ＤＣ边上．
按照这两步操作，学生们会惊讶地发现点Ｅ与点Ｃ恰好重合．根据已有的知识经验，易知ＤＥ—
ＤＣ＝√２，换言之，平时所用Ａ４纸的长与宽的比例
就是√２：
１．从而引出拓展课程：
折叠中的无理数．
＼
Ｅ
Ｂ
弋７
Ｅ
Ｂ
图１
图２
分析：
以上两个案例的设计均以学生动手操作的形式进行，制作活动简单易操作，学生不会觉得无从下手．通过自己制作学具、动手操作、探究的实践活动，充分调动了学生的各种感官，让学生在与材料的相互作用中自主、独立、积极、愉快地体验了数学学习的过程．实践证明，课堂上的操作实验活动能使教学生动活泼、直观具体，且能在很大程度上激发学生对数学的求知欲，提高他们的学习兴趣．二、加强几何在代数中的应用
关于几何在代数问题中的应用，初中教学中耳熟能详的案例有二元一次方程组与两条直线的交点间的联系、实数与数轴间的一一对应、乘法公式的几何推导、函数图像与方程等等．几何图形直观化的特点，使得许多用纯代数解决更“繁难”的数学问题变得简便且容易理解．
例３求满足１＜Ｉ
Ｌｒ一１
Ｉ＜４的整数Ｔ
不少学生在解决类似这类绝对值不等式问题时，容易受思维定势影响把它转化成解不等式组
折纸表面看起来有点“小儿科”，但近二三十年来，这一领域已经取得了巨大的成就，从２０１４年８月在东京大学召开的第六届科学、数学与教育国际折纸大会发表的论文看，基础研究与应用研究已涉及数学、工业与艺术设计、教育等许多领域，是一个
值得深入探究的领域．已经有许多国家将芳贺折纸三定理以及其他的折纸数学的重要成果编入了中学数学教科书，而我国只是在中考题中偶尔加入一些翻折纸片的问题，从这一角度说，我国还有更大的探索和发展空间．由正方形纸折出一边的任意等分点
给一张正方形的纸，如何通过折纸的方法，找到一边的任意等分点呢？
本文给出一个简单的方法。
如图一，设正方形ABCD的边长AD=1，当然，AD的中点对折一次便可折出，为了折出三等分点，将B点的一角折起，让B点落在AD上，使AB′=，压平，设折痕为EF，此时，C点折到了C′点，而B′C′与DC的交点为G，再折一次找到DG的中点M，则有DM=。
如图二，由正方形ABCD按照以上的步骤同样操作，若使AB′=，则有DM=。
如图三，一般地，若使AB′=，则有DM=。
证明如下：
如图三，因为EB′=EB=AB-AE=1-AE，而△AEB′为直角三角形，所以2=AE2+2，得AE=。
不难看出，△DB′G∽
△AEB′，从而=，即=，由此得DG=，即DM=。
・编辑薛直艳
（1）把一张正方形纸平均分成5份
练习一
1．填空
把一张正方形纸平均分成5份，每份是这张
，读作。
是个
，
是个
。
2．判断对错。
因为5大于3，所以
。
把一张纸分成5份，每份是这张纸的
。
左图中的阴影部分可以用
表示。
一个分数的分母是最大的一位数，分子小于分母，这样的分数共有8个。
1米的
是
。
角是1角的
。
3．在正确答案下面的○涂色。
把一个班的学生平均分成4组，每组人数占全班人数的
○ ○ ○
下面分数中大于
的分数有
○ ○ ○
把10块糖平均分成10份，每份是
1块
块
块
○ ○ ○
4．按要求写分数。
小于
，分子是1，分母是一位数的分数有。
分母是8，分子比分母小3，这个分数写作。
分子是9，比分母小1，这个分数写作。
参考答案
1．填空
；五分之一 4、10、3、7
2．判断对错
×××√× √
3．在正确答案下面的○涂色
1块
4．按要求写分数。
；把一张纸折叠51次
把一张纸折叠51次
想象一下，你手里有一张足够大的纸。
现在，你的任务是:
把它折叠51次。
那么，它有多高？
一个冰箱？
或者一栋摩天大厦那么高？
不是，差太多了，这个厚度超过了地球和太阳之间的距离。
到现在，我那这个寓言问过十几个人，只有两个人说，这可能是一个想象不到的高度，而其他人想到得最高的高度也就是一栋摩天大厦那么高。
折叠51次的高度如此恐怖，但如果仅仅是将51张白纸叠在一起呢?
这个对比让不少人感到震撼。
因为没有方向、缺乏规划的人生，就像是将51张白纸简单叠在一起。
今天做做这个，明天做做那个，每次努力之间并没有一个联系。
这样一来，哪怕每个工作都做得非常出色，它们对你的整个人生来说也不过是简单的叠加而已！
当然，人生比这个寓言更复杂一些。
有些人，一生认定一个简单的方向而坚定地做下去，他们的人生最后达到了别人不可企及的高度。
也有些人，他们的人生方向也很明确，譬如开公司做老板，这样，他们就需要很多技能---专业技能、管理技能、沟通技能、决策技能等等。
他们可能会在一开始尝试做做这个，又尝试做做那个，没有一样是特别精通的，但最后，开公司做老板的这个方向将以前的这些看似零散的努力同合到一起，这也是一种复杂的人生折叠，而不是简单的叠加。
切记：
看得见的力量比看不见的力量更有用！
把一张纸折叠51次
想象一下，你手里有一张足够大的白纸。
现在，你的任务是，把它折叠51次。
那么，它有多高？
一台冰箱？
一层楼？
或者一栋摩天大厦那么高？
不是，差太多了，这个厚度超过了地球和太阳之间的距离。
到现在，我拿这个寓言问过十几个人了，只有两个人说，这可能是一个想象不到的高度，而其他人想到的最高的高度也就是一栋摩天大厦那么高。
折叠51次的高度如此恐怖，但如果仅仅是将51张白纸叠放在一起呢？
这个对比让不少人感到震撼。
因为没有方向、缺乏规划的人生，就像是将51张白纸简单叠在一起。
今天做做这个，明天做做那个，每次努力之间并没有一个联系。
这样一来，哪怕每个工作都做得非常出色，它们对你的整个人生来说也不过是简单的叠加而已。
当然，人生比这个寓言更复杂一些。
有些人，一生认定一个简单的方向而坚定地做下去，他们的人生最后达到了别人不可企及的高度。
譬如，我一个朋友的人生方向是英语，他花了十数年努力，仅单词的记忆量就达到了十几万之多，在这一点上达到了一般人无法企及的高度。
也有些人，他们的人生方向也很明确，譬如开公司做老板，这样，他们就需要很多技能――专业技能、管理技能、沟通技能、决策技能等等。
他们可能会在一开始尝试做做这个，又尝试做做那个，没有一样是特别精通的，但最后，开公司做老板的这个方向将以前的这些看似零散的努力统合到一起，这也是一种复杂的人生折叠，而不是简单的叠加。
切记：
看得见的力量比看不见的力量更有用。
现在，流行从看不见的地方寻找答案，譬如潜能开发，譬如成功学，以为我们的人生要靠一些奇迹才能得救。
但是，在我看来，一位咨询师说得更正确，“通过规划利用好现有的能力远比挖掘所谓的潜能更重要。
”
张瑞有趣的折纸xin
学校课程
Zhe zhibianbianbian
前言
折纸是最经济、简易可行的一种手工劳动。
玩纸，也是孩子的一种天性。
通过折纸活动可使幼儿
认识空间方位，建立几何物体的概念，发展手的动作，培养目测能力，是一项有利幼儿身心发展的活动。
科学研究表明，手的活动对脑细胞成长有着重要的促进作用。
苏联著名教育家苏霍姆林斯基有句名言：
“儿童的智慧在他们的手指尖上。
”其道理就在于此。
主编：
张瑞
上册目录
第一章
第一节小兔子---------------------------2
第二节小熊------------------------------4
第三节狸-------------------------------5
第四节狼-------------------------------6
第五节狐-------------------------------7
第六节小猪------------------------------8
第七节小松鼠----------------------------9
草原上的小动物
下册目录
第二章
大海中的小鱼们
第一节天使鱼-------------------------11第二节传统青蛙-----------------------13
第二节乌贼----------------------------14
第四节燕鱼----------------------------15
第三章
创意折纸
第一节卷卷花球的折法-----------------17第二节莲花灯--------------------------19
第三节教你如何折樱花-----------------22
1
第一节
2
第二节
3
第三节
4
第四节
第五节
6
第六节
7
第七节
8
第一节
10
11
第二节
12
基本步骤第三节乌贼
13
第四节
16
第一节 卷卷花球的折法
下面是具体步骤：
17
步骤1:
步骤2:
正方形纸，需要30张， 如图对折，后打开，另一面也对折可以选多种颜色
步骤3:
步骤4:
三角形打开后，如图向底边对折 折成图上的大三角
步骤5:
步骤6:
用牙签卷起一边，向中线卷， 其余几边同样卷法
卷数越多越好
步骤7:
提起一边，把五种不同颜色的纸卷在一起
步骤8:
依照三角五角的组合方式，把30个组合在一起，就完成了18
第二节莲花灯
需要准备的原料：
2：
1的长方形彩纸
粉色12张，绿色4张。
尺寸相同，大小自定
具体步骤：
1、把长方形彩纸对折起来 2、四个角向内折
3、将上下两端沿中线折 4、再向后折叠起来
5、将另外三张纸也折成同样的形状 6、绿色折纸要求按照相同折法
做到第4步
7、不同的是绿色折纸需要往 8、3片花瓣和一片叶子为一组反方向中间对折
19
9、将这一组如图所示重叠起来 10、中间用回形针暂时固定
11、按照以上方法做好3组 12、将固定用的回形针拿掉，用细线
把这四组紧紧的拴在一起
13、整理开来 14、将最上面一层向中间折起来
15、陆续把其余的三层 16、叶子部分不用折起来，展开即可
也向中间折起来
20
一朵漂亮的祈福莲花就完成了
中间放上蜡烛即可成为中秋节的莲花灯哦
21
第三节教你如何折樱花
材料：
彩纸若干，胶水步骤：
折叠一次
①
看图，不废话
这里也很简单
22
②
③
这里考验你的眼力了
④
⑤
⑥
怎么样有点成就感了吧!
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