圆柱和圆锥的侧面展开图.docx
《圆柱和圆锥的侧面展开图.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆柱和圆锥的侧面展开图.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
圆柱和圆锥的侧面展开图
例
（1）若圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积是
2
cm
（2）若圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是度.
1
分析首先弄清圆的侧面展开图是扇形，
（1）中可直接用S扇lR求得15cm2，
（2）
中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.
例一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.分析：
如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l，底面半径r.由圆锥的形成过程可知，
圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即RtSOA，且SO10,SAl,OAr,关键
∴所求圆锥的侧面积为
典型例题八
典型例题九
例一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角．
解：
设圆锥的母线SA=l，底面半径为r，
则底边周长c=2πr，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径
∴2r2r，
180
说明：
圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的
长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．
典型例题十
的边
例矩
为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是
）
A）
B）
C）
D）
分析与解答：
圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形
.因此，圆柱
的侧面积是矩形的面积，即底面周长（
圆柱的高（母线）的积，解之选（C）.
典型例题十二
例一个圆锥的底面半径为10cm，母线长20cm，求：
（1）圆锥的表面积；高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.
解
（1）S圆锥表r2rl100200300（cm2）.
（2）如图，OS为圆锥的高，在RtOSA中，OSOA2AS2202
）与
2）圆锥的
102103
cm）
4）
，在RtOSA中，
设侧面展开图扇形的圆心角度数为
，则由2r180l得180，
∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.说明：
本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式
典型例题十三
例一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：
取3.14，2取1.41，结果精确到0.1）
解设圆锥的底面半径为r，母线长为l，表面积为S.
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴由勾股定理得l2l2102.
∴l52（负值已舍）.
12
又r105,Sr（lr）3.145（525）189.19（cm2）
2
则2.5189.19472.98473.0.
答至少要油漆473.0克.
说明：
本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.
例
（1）如果圆柱底面半径为4cm，它的侧面积为64cm2，那么圆柱的母线长为（）.
（A）16cm（B）16cm（C）8cm（D）8cm
（2）如果圆柱底面直径为6cm，母线长为10cm，那么圆柱的侧面积为（）
2222
（A）30cm（B）60cm（C）90cm（D）120cm
分析圆柱侧面展开图是矩形，
（1）可直接用公式求出母线长为8cm，故选（C），
（2）
中，由直径求出半径是关键，应选（B）.
典型例题二
例已知矩形ABCD一边AB=10cm，AD=6cm，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．
解：
（1）以AD为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=
则圆柱表面积为S602（5）26050．
3
（2）以AB为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=
318则圆柱表面积为S602（）260．
说明：
①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．
典型例题五
例已知矩形ABCD一边AB=10cm，AD=6cm，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．
5
解：
（1）以AD为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=
则圆柱表面积为S602（5）26050．
3
（2）以AB为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=
318
则圆柱表面积为S602（）260．
说明：
①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．
典型例题九
例一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心
角．
说明：
圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．
典型例题七
例一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截
面积．
24018解：
∵扇形的半径为18cm，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=24
180
24∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm，底面半径=12cm
∴圆锥的高为18212265（cm），
∴圆锥的轴截面积S=2465725（cm2）
2
说明：
巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．
典型例题六
例已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm2的正方形，求它们侧面积．
解：
∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm2
∴圆柱的高为4cm，圆柱底面直径也是4cm即底面半径为2cm．∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm2．
说明：
此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．
典型例题一
的边
为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是
）
A）
B）
C）
D）
分析与解答：
圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱
的侧面积是矩形的面积，即底面周长（）与圆柱的高（母线）的积，解之选（C）.
典型例题七
例一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截
面积．
24018解：
∵扇形的半径为18cm，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=24
180
24∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm，底面半径=12cm
2∴圆锥的高为18212265（cm），
1∴圆锥的轴截面积S=2465725（cm2）
2
说明：
巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．
典型例题四
例已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm2的正方形，求它们侧面积．
解：
∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm2
∴圆柱的高为4cm，圆柱底面直径也是4cm即底面半径为2cm．∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm2．
说明：
此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．
典型例题五
例
（1）若圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积是
2cm.
（2）若圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是度.
1
分析首先弄清圆的侧面展开图是扇形，
（1）中可直接用S扇lR求得15cm2，
（2）
中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.
典型例题十一
已知
斜边
为轴旋转一周得一表面积
的圆锥，则这个圆锥的高等于
分析与解答：
圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的
侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.
此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为
的长，关键在于求底面半径
即可
求出
，解之得高＝12cm.
典型例题八
例已知一个三角形的边长分别为3cm、4cm、5cm，求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．
略解：
如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵AB2=AC2+BC2，∴∠C=90
1）当以AC所在的直线为轴旋转一周时，
形成的几何体是以底面半
径为3，母线长为5的圆锥．
S全S底S侧3（53）24（cm2）．
（2）当以BC所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为4，母线长为5的圆锥．
S全S底S侧4（54）36（cm2）．
（3）当以AB所在的直线为轴旋转一周时，两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为
形成的几何体是同底面的
4、3．
3412
圆锥的底面半径=3412
55
S全S侧1S侧2
12
12384
55
cm2）．
说明：
①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．
典型例题六
例一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积
分析：
如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l，底面半径r.由圆锥的形成过程可知，
圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即RtSOA，且SO10,SAl,OAr,关键找出l与r的关系，又其侧面展开图是
2l
半圆，可得关系2l,，即l2r.
2
解：
设圆锥底面半径r，扇形弧长为C，母线长为l，
2l
由题意得C2l,又C2r.
2
2l2l,得l2r
2
在RtSOA中，l2r2102
由①、②得：
r103cm,l203cm.22
∴所求圆锥的侧面积为
Srl
103320332030（cm2）
333
典型例题十
已知
斜边
为轴旋转一周得一表面积
的圆锥，则这个圆锥的高等于
分析与解答：
圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的
侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.
此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为
的长，关键在于求底面半径
，解之得高＝12cm.
典型例题十二
例一个圆锥的底面半径为10cm，母线长20cm，求：
（1）圆锥的表面积；
（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.
解
（1）S圆锥表r2rl100200300（cm2）.
（2）如图，OS为圆锥的高，在RtOSA中，OSOA2AS2202102103
cm）.
（3）设轴与一条母线所夹的角为，在RtOSA中，
AS1
sin,30.
OA2
（4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为，则由2rl得180，
180∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.说明：
本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.
典型例题十三
例一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10
厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：
取3.14，2取1.41，结果精确到0.1）
解设圆锥的底面半径为r，母线长为l，表面积为S.
∴l52（负值已舍）.
又r1105,Sr（lr）3.145（525）189.19（cm2）
2则2.5189.19472.98473.0.答至少要油漆473.0克.说明：
本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.
典型例题十二
例圆锥的轴截面是等腰PAB，EGPAPB3,AB2,M是AB上一点，且
典型例题三
2
例
（1）如果圆柱底面半径为4cm，它的侧面积为64cm2，那么圆柱的母线长为（）.
（A）16cm（B）16cm（C）8cm（D）8cm
（2）如果圆柱底面直径为6cm，母线长为10cm，那么圆柱的侧面积为（）
2222
（A）30cm2（B）60cm2（C）90cm2（D）120cm2
分析圆柱侧面展开图是矩形，
（1）可直接用公式求出母线长为8cm，故选（C），
（2）
中，由直径求出半径是关键，应选（B）
填空题
1．用边长分别为8和6的矩形卷成圆柱，则圆柱的底面面积是.
2．如果圆锥的高为8㎝，圆锥的底面半径为6㎝，那么它的侧面展开图的面积为
3．已知矩形ABCD，一边AB=30㎝，另一边AD=9㎝，以直线AB为轴旋转一周所得到的
圆柱的表面积为cm2（结果用表示）
4．已知一矩形的长为AB=6，宽AD=4，若以它垂直于一组对边的对称轴为轴旋转180°，
得到的立体图形的表面积为.
5．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形做一个圆锥，那么这个圆锥的底面周长为.
6．用过轴线的平面把一个圆锥剖开得到一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径是高的倍，母线是高的倍.
7.圆柱的高与底面直径相等，如果它的侧面积为S，则底面积是
8.矩形ABCD的边AB4cm，AD2cm，以直线AD为轴旋转一周，所得的圆柱的侧
9.底面直径是10cm，高是12cm的圆锥，沿它的轴剖开得到一个三角形，该三角形
的面积是cm2
10.一个圆锥形零件的高为10cm，若经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则这个圆锥的
底面半径为cm，母线长为cm，侧面积为cm2，表面积为cm2
15
11.若一圆锥的侧面积为，母线长为3，则侧面展开图的圆心角为.
4
212．若一个圆锥的母线长是5cm，底面半径是3cm，则它的侧面展开图的面积是cm2.
13．一位同学制作一圆锥模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇
形铁皮制作，再用一块圆铁片做底，那么这块圆铁片的半径为.
2
14．已知圆柱底面半径为，高为10，则圆柱侧面积是.
参考答案:
8S
1．16和9;2．60；3．702；4．42或32；5．；6．1，2.7.8.16
34
9.等腰6010.10cm，102cm，1002cm2100（21）cm211.150.12．15
13．6cm14．40.
选择题
1．在矩形ABCD中，ABCA，分别以直线AB，AC为轴旋转一周得两个圆柱，这两
个圆柱的底面积与侧面积分别有什么关系？
（）
A．底面积相等，侧面积也相等B．底面积不等，侧面积相等
C．底面积相等，侧面积不相等D．底面积不等，侧面积也不等
2．如图，已知圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，则圆锥侧面展开图的面积为（）
3．一个圆锥的高为
103cm，侧面展开后是一个半圆，则圆锥的表面积是（）
2
A．200cm2
2
B．300cm2
2
C．400cm
2
D．360cm2
4．在ABC中，
C90，BCa，ACb（ab），分别以AC，BC所在的直线
2
为轴旋转一周，所得的圆锥的侧面积依次记为S1，S2，则S1和S2的大小关系为（）
A．S1S2B．S1S2C．S1S2D．以上情况都有可能
5．一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么它的侧面积和底面积的比是（）
（A）1（B）（C）4（D）4
6．在△ABC中，AB3,AC4,A90,把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，则
S1:
S2（）
（A）2:
3（B）3:
4（C）4:
9（D）39:
56
7．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）
（A）12.5厘米（B）25厘米（C）50厘米（D）75厘米
8．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（）
（A）60°（B）90°（C）120°（D）180°
9．如果圆柱的底面直径为4，母线长为2，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（）
（A）8（B）4（C）16（D）8
10．一张矩形纸片，两边长分别为2cm和4cm，以它的一边所在直线为轴旋转一周，所得
的圆柱的表面积一定是（）
（A）24cm2或48cm2
（B）32cm2或20cm2
22
（C）24cm2或32cm2
22
（D）20cm2或48cm2
参考答案：
1．B2.B3.B4.A5．C；6．A；7．B；8．D.9．A10．A.
解答题
1．已知圆柱的底面半径为2cm，圆柱的高为3cm．求它的侧面积．
2．已知圆柱的底面直径为4cm，圆柱的高为5cm．求它的全面积．
3．已知圆拄的高为4cm，侧面积为40πcm2．求它的全面积．
4．已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，以AB为轴旋转一周，补上底面，求所成的圆柱的全面积；再以BC为轴旋转一周，补上底面．求所成的圆柱的全面积．比较一下两个圆柱全面积的大小．
5．已知圆锥的母线长为6cm；底面半径为2cm．求它侧面展开图的圆心角的度数．6．已知扇形的半径为4cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥．求圆锥的底面面积．7．已知圆锥的高为6cm，底面半径为8cm．求这个圆锥的侧面积．
8．在如图所示的矩形ABCD中，AB2cm，BC3cm，MN是它的一条对称轴。
以AB为轴旋转一周得一圆柱，再以MN为轴，旋A转半周又得一圆柱，分别求出这两个圆柱的表面积。
9．已知矩形的一边是另一边的两倍，以矩形长边的垂直平分线为轴，将矩形旋转180，得
2
一侧面积32cm2的圆柱，求这个矩形的边长。
10．已知菱形的周长为20厘米，有一角为60，若以较长的对角线为轴把菱形旋转一周，求所成的旋转体的表面积。
1
11．已知圆锥的底面半径为8cm，圆锥的侧面展开图的圆心角为150，求圆锥母线的长。
3
12．一个圆锥的高为33厘米，侧面展开图是半圆，求：
母线与底面半径之比；锥角的大小及圆锥的表面积.
13．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为a的正方形，求这个圆柱的底面半径与圆柱的母线
之比.
14．圆锥的母线与底面直径相等，求这个圆锥侧面展开图确定的扇形的弧所对的圆心角.
15．如图，已知圆锥的母线AB6，底面半径r2，求圆锥的侧面展开图的扇形圆心角
参考答案与提示：
1.12πcm2．2.28πcm2．3.50πcm2．4.（8+8/π）cm2（8+2/π）cm2第一个表面积
大．5.120°．6.64π/9cm2．7.80πcm2．8．30cm2；10.5cm29．4cm、8cm10．25cm211．20cm
12．如图所示：
AO为圆锥的高，经过AO的剖面是等腰△ABC，则AB为锥面的母线l，BO为底面半径r.
13．圆柱的侧面展开图是一个边长为a的正方形，
∴圆柱的母线长为a，底面圆的周长为a，则底面圆的半径为.
2a
∴圆柱的底面圆的半径与圆柱的母线之比为：
:
a1:
2.
214．设圆的母线长为a，则底面半径为a.
2
∴展开图确定的扇形的弧长为a，扇形所在圆的半径为a，设弧所对的圆心角为
∴180∴扇形的弧所对的圆心角为180°.
15．设扇形半径为R，弧长为l，则RAB6，l2r4
探究活动
在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）．现找出其中的一种，测
得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．
参考答案：
r4424
升级会员 