圆柱和圆锥的侧面展开图.docx

1、圆柱和圆锥的侧面展开图例 （ 1）若圆锥的底面半径是 3cm，母线长是 5cm，则它的侧面展开图的面积是2 cm（ 2）若圆锥的母线长为 5cm，高为 3cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度 .1分析 首先弄清圆的侧面展开图是扇形， （1）中可直接用 S扇 lR 求得 15 cm2，（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为 288 .例 一个圆锥的高是 10 ，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积 . 分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长 l，底面半径 r.由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即 Rt SOA，且 SO 10,SA l,OA r,关键

2、所求圆锥的侧面积为典型例题八典型例题九例 一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心 角解：设圆锥的母线 SA=l ，底面半径为 r，则底边周长 c=2 r，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径 2r 2 r ，180说明： 圆锥展开图的应用， 圆锥的侧面展开图是一个扇形， 这个扇形的半径等于圆锥母线的长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径典型例题十的边例矩为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是)A)B)C)D)分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积 .圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱的侧面积是矩形的面积，即底面周长（圆柱的

3、高（母线）的积，解之选（ C）.典型例题十二例 一个圆锥的底面半径为 10cm，母线长 20cm，求：（ 1）圆锥的表面积； 高；（3）轴与一条母线所夹的角； （ 4）侧面展开图扇形的圆心角 .解 （1） S圆锥表 r 2 rl 100 200 300 （cm2）.（2）如图，OS为圆锥的高，在 Rt OSA中，OS OA2 AS2 202）与2）圆锥的102 10 3cm)4），在 Rt OSA中，设侧面展开图扇形的圆心角度数为，则由2r 180l得 180 ，侧面展开图扇形的圆心角为 180 . 说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式典型例题十三例 一个圆

4、锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为 10 厘米，现为这个工件刷油漆， 若每平方厘米要 2.5 克油漆，问至少要油漆多少克 （备用数据：取 3.14， 2 取 1.41 ，结果精确到 0.1）解 设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，表面积为 S.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，由勾股定理得 l 2 l2 102.l 5 2 （负值已舍） .12又 r 10 5, S r（l r） 3.14 5 （5 2 5） 189.19（cm2）2则 2.5 189.19 472.98 473.0.答 至少要油漆 473.0 克 .说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽

5、视精确度误得 472.98 克 .例 （1）如果圆柱底面半径为 4cm，它的侧面积为 64 cm2 ，那么圆柱的母线长为 （ ）.（ A ） 16cm （B）16 cm （C）8cm （ D）8 cm（ 2）如果圆柱底面直径为 6cm，母线长为 10cm，那么圆柱的侧面积为（ ）2 2 2 2（A）30 cm （B）60 cm （C）90 cm （ D） 120 cm分析 圆柱侧面展开图是矩形， （ 1）可直接用公式求出母线长为 8cm，故选（ C），（ 2）中，由直径求出半径是关键，应选（ B） .典型例题二例 已知矩形 ABCD 一边 AB=10cm ， AD=6 cm，求以此矩形为侧面所

6、围成圆柱的表面 积解：（ 1）以 AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径 r=则圆柱表面积为 S 60 2 (5)2 60 50 3(2)以 AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径 r=3 18 则圆柱表面积为 S 60 2 ( )2 60 说明：圆柱表面积的计算；分类思想；圆柱各元素的关系和计算典型例题五例 已知矩形 ABCD 一边 AB=10cm ， AD=6 cm，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面 积5解：( 1)以 AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径 r=则圆柱表面积为 S 60 2 (5)2 60 50 3(2)以 AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径 r=3 18则圆柱表面积

7、为 S 60 2 ( )2 60 说明：圆柱表面积的计算；分类思想；圆柱各元素的关系和计算典型例题九例 一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角说明： 圆锥展开图的应用， 圆锥的侧面展开图是一个扇形， 这个扇形的半径等于圆锥母线的 长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径典型例题七例 一个圆锥的侧面展开图是半径为 18cm ，圆心角为 240的扇形，求这个圆锥的轴截面积240 18 解：扇形的半径为 18cm，圆心角为 240，扇形的弧长 L= 2418024 扇形弧长等于底面圆周长，圆锥的母线长为 18cm，底面半径 = 1

8、2cm圆锥的高为 182 122 6 5 (cm)，圆锥的轴截面积 S= 24 6 5 72 5 （ cm2）2说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用典型例题六例 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为 16cm2 的正方形，求它们侧面积解：圆柱的轴截面是正方形，且面积为 16cm2圆柱的高为 4cm，圆柱底面直径也是 4cm 即底面半径为 2cm 圆柱的侧面积 =2 24 16cm2说明：此题为基础题应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算典型例题一的边为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是)A)B)C)D)分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积 .圆柱

9、的侧面展开图是矩形 .因此，圆柱的侧面积是矩形的面积，即底面周长（ ）与 圆柱的高（母线）的积，解之选（ C）.典型例题七例 一个圆锥的侧面展开图是半径为 18cm ，圆心角为 240的扇形，求这个圆锥的轴截面积240 18 解：扇形的半径为 18cm，圆心角为 240，扇形的弧长 L= 2418024 扇形弧长等于底面圆周长，圆锥的母线长为 18cm，底面半径 = 12cm2 圆锥的高为 182 122 6 5 （cm），1 圆锥的轴截面积 S= 24 6 5 72 5 （ cm2）2说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用典型例题四例 已知一个圆柱的轴截面是一个

10、面积为 16cm2 的正方形，求它们侧面积解：圆柱的轴截面是正方形，且面积为 16cm2圆柱的高为 4cm，圆柱底面直径也是 4cm 即底面半径为 2cm 圆柱的侧面积 =2 24 16cm2说明：此题为基础题应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算典型例题五例 （ 1）若圆锥的底面半径是 3cm，母线长是 5cm，则它的侧面展开图的面积是2 cm .（ 2）若圆锥的母线长为 5cm，高为 3cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度 .1分析 首先弄清圆的侧面展开图是扇形， （1）中可直接用 S扇 lR 求得 15 cm2，（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为 2

11、88 .典型例题十一已知斜边为轴旋转一周得一表面积的圆锥，则这个圆锥的高等于分析与解答： 圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和 .圆锥的侧面展开图是扇形 .圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长母线长的一半 .此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为的长，关键在于求底面半径即可求出，解之得高 12cm.典型例题八例 已知一个三角形的边长分别为 3 cm、 4 cm、5 cm， 求以一边所在 的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积略解：如图，在 ABC 中， AB=5 ， AC=4 ， BC=3 ，AB2=AC2+BC2， C=901）当以 AC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何

12、体是以底面半径为 3，母线长为 5 的圆锥S全 S底 S侧 3 （5 3） 24 （cm2 ）（2）当以 BC 所在的直线为轴旋转一周时， 形成的几何体是以底面半 径为 4，母线长为 5 的圆锥S全 S底 S侧 4 （5 4） 36 （ cm2）（3）当以 AB 所在的直线为轴旋转一周时， 两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为形成的几何体是同底面的4、33 4 12圆锥的底面半径 = 3 4 1255S全 S侧1 S侧 21212 3 8455cm2）说明：分类思想；圆锥的侧面积和表面积典型例题六例 一个圆锥的高是 10 ，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母

13、线长 l，底面半径 r.由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、 母线和底面半 径构成直 角三角 形即 Rt SOA，且 SO 10,SA l,OA r ,关键找出 l与 r的关系，又其侧面展开图是2l半圆，可得关系 2 l,，即l 2r .2解：设圆锥底面半径 r ，扇形弧长为 C，母线长为 l，2l由题意得 C 2 l ,又 C 2 r.22 l 2 l,得l 2r2在 Rt SOA中， l 2 r 2 102由、得：r 10 3 cm,l 20 3 cm. 22所求圆锥的侧面积为S rl1033 203 3 2030 (cm2)3 3 3典型例题十已知斜边为轴旋转一周得一表面积的圆锥，则这个圆锥

14、的高等于分析与解答： 圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和 .圆锥的侧面展开图是扇形 .圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长母线长的一半 .此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为的长，关键在于求底面半径，解之得高 12cm.典型例题十二例 一个圆锥的底面半径为 10cm，母线长 20cm ，求：（ 1）圆锥的表面积； （ 2）圆锥的 高；（3）轴与一条母线所夹的角； （ 4）侧面展开图扇形的圆心角 .解 （1） S圆锥表 r 2 rl 100 200 300 （cm2）.（2）如图，OS为圆锥的高，在 Rt OSA中，OS OA2 AS2 202 102 10 3cm）.（ 3

15、）设轴与一条母线所夹的角为 ，在 Rt OSA中，AS 1sin , 30 .OA 2（ 4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为 ，则由 2 r l 得 180 ，180 侧面展开图扇形的圆心角为 180 . 说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式 .典型例题十三例 一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为 10厘米，现为这个工件刷油漆， 若每平方厘米要 2.5 克油漆，问至少要油漆多少克 （备用数据：取 3.14， 2 取 1.41 ，结果精确到 0.1）解 设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，表面积为 S.l 5 2 （负值已

16、舍） .又 r 1 10 5, S r（l r） 3.14 5 （5 2 5） 189.19（cm2）2 则 2.5 189.19 472.98 473.0. 答 至少要油漆 473.0 克 . 说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得 472.98 克 .典型例题十二例 圆锥的轴截面是等腰 PAB，EG PA PB 3,AB 2,M是 AB 上一点，且典型例题三2例 （1）如果圆柱底面半径为 4cm，它的侧面积为 64 cm2 ，那么圆柱的母线长为 （ ）.（ A ） 16cm （B）16 cm （C）8cm （ D）8 cm（ 2）如果圆柱底面直径为 6cm，母线长为 1

17、0cm，那么圆柱的侧面积为（ ）2 2 2 2（A）30 cm2 （B）60 cm 2 （C）90 cm2 （D）120 cm 2分析 圆柱侧面展开图是矩形， （ 1）可直接用公式求出母线长为 8cm，故选（ C），（ 2）中，由直径求出半径是关键，应选（ B）填空题1用边长分别为 8 和 6 的矩形卷成圆柱，则圆柱的底面面积是 .2如果圆锥的高为 8 ，圆锥的底面半径为 6 ，那么它的侧面展开图的面积为3已知矩形 ABCD ，一边 AB=30 ，另一边 AD=9 ，以直线 AB 为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为 cm2 （结果用 表示）4已知一矩形的长为 AB=6，宽 AD=4 ，若以它垂

18、直于一组对边的对称轴为轴旋转 180，得到的立体图形的表面积为 .5用一个圆心角为 120 ，半径为 4 的扇形做一个圆锥，那么这个圆锥的底面周长 为.6用过轴线的平面把一个圆锥剖开得到一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径是高 的 倍，母线是高的 倍 .7. 圆柱的高与底面直径相等，如果它的侧面积为 S ，则底面积是 8. 矩形 ABCD的边 AB 4cm， AD 2cm ，以直线 AD为轴旋转一周，所得的圆柱的侧9.底面直径是 10cm ，高是 12cm的圆锥，沿它的轴剖开得到一个 三角形，该三角形的面积是 cm 210.一个圆锥形零件的高为 10cm ，若经过轴的剖面是一个等腰直角三角

19、形，则这个圆锥的底面半径为 cm ，母线长为 cm ，侧面积为 cm 2 ，表面积为 cm 21511.若一圆锥的侧面积为 ，母线长为 3，则侧面展开图的圆心角为 .42 12若一个圆锥的母线长是 5cm，底面半径是 3cm，则它的侧面展开图的面积是 cm2 .13一位同学制作一圆锥模型，这个模型的侧面是用一个半径为 9cm，圆心角为 240的扇形铁皮制作，再用一块圆铁片做底，那么这块圆铁片的半径为 .214已知圆柱底面半径为 ，高为 10，则圆柱侧面积是 .参考答案 :8S116 和9 ; 260 ； 3702 ； 442 或32 ； 5 ；61， 2 .7. 8. 16349. 等腰 60

20、 10. 10cm ，10 2cm ，100 2 cm2 100( 2 1) cm 2 11. 150 . 121513 6cm 14 40.选择题1在矩形 ABCD中， AB CA ，分别以直线 AB， AC 为轴旋转一周得两个圆柱，这两个圆柱的底面积与侧面积分别有什么关系？（）A 底面积相等，侧面积也相等 B底面积不等，侧面积相等C底面积相等，侧面积不相等 D底面积不等，侧面积也不等2如图，已知圆锥的高为 4cm ，底面半径为 3cm ，则圆锥侧面展开图的面积为（）3一个圆锥的高为10 3cm ，侧面展开后是一个半圆，则圆锥的表面积是（）2A 200 cm22B 300 cm22C 400

21、 cm2D 360 cm24在 ABC 中，C 90 ， BC a， AC b （a b） ，分别以 AC ， BC所在的直线2为轴旋转一周，所得的圆锥的侧面积依次记为 S1，S2，则 S1和S2的大小关系为（）A S1 S2 B S1 S2 C S1 S2 D以上情况都有可能5一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么它的侧面积和底面积的比是（ ）（A）1 （B） （C） 4 （D）46在 ABC 中，AB 3,AC 4, A 90 ,把Rt ABC 绕直线 AC旋转一周得到一个圆 锥，其表面积为 S1；把 Rt ABC 绕直线 AB 一周得到另一个圆锥，其表面积为 S2，则S1 :S2 （ ）（A

22、） 2:3 （B）3:4 （C） 4:9 （D）39:567已知一个扇形的半径为 60 厘米，圆心角为 150，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个 圆锥的底面半径为（ ）（A）12.5厘米 （B） 25厘米 （C）50厘米 （D）75 厘米8一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）（A）60 （B） 90 （C ） 120 （D）1809如果圆柱的底面直径为 4，母线长为 2，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（ ）（A） 8 （B） 4 （C）16 （D）810一张矩形纸片，两边长分别为 2cm 和 4cm，以它的一边所在直线为轴旋转一周，所得的圆柱的表面积一

23、定是（ ）（A ） 24 cm2 或 48 cm2（B） 32 cm2或 20 cm222（C） 24 cm2或 32 cm222（D） 20 cm2 或 48 cm2参考答案：1B 2. B 3. B 4. A 5C； 6A； 7B； 8D. 9A 10A.解答题1已知圆柱的底面半径为 2cm，圆柱的高为 3cm求它的侧面积2已知圆柱的底面直径为 4cm，圆柱的高为 5cm求它的全面积3已知圆拄的高为 4cm，侧面积为 40 cm2求它的全面积4已知矩形 ABCD 中，AB=4cm ，BC=2cm ，以 AB 为轴旋转一周，补上底面，求所成的圆 柱的全面积；再以 BC 为轴旋转一周，补上底面

24、求所成的圆柱的全面积比较一下两个圆 柱全面积的大小5已知圆锥的母线长为 6cm；底面半径为 2cm求它侧面展开图的圆心角的度数 6已知扇形的半径为 4cm，圆心角为 120 ，用它做成一个圆锥求圆锥的底面面积 7已知圆锥的高为 6cm，底面半径为 8cm求这个圆锥的侧面积8在如图所示的矩形 ABCD中， AB 2cm， BC 3cm， MN 是 它的一条对称轴。以 AB 为轴旋转一周得一圆柱，再以 MN 为轴，旋 A 转半周又得一圆柱，分别求出这两个圆柱的表面积。9已知矩形的一边是另一边的两倍，以矩形长边的垂直平分线为轴，将矩形旋转 180 ，得2一侧面积 32 cm2 的圆柱，求这个矩形的边

25、长。10已知菱形的周长为 20 厘米，有一角为 60 ，若以较长的对角线为轴把菱形旋转一周， 求所成的旋转体的表面积。111已知圆锥的底面半径为 8 cm ，圆锥的侧面展开图的圆心角为 150 ，求圆锥母线的长。 312一个圆锥的高为 3 3 厘米，侧面展开图是半圆，求：母线与底面半径之比；锥角的大 小及圆锥的表面积 .13已知圆柱的侧面展开图是一个边长为 a的正方形， 求这个圆柱的底面半径与圆柱的母线之比 .14圆锥的母线与底面直径相等，求这个圆锥侧面展开图确定的扇形的弧所对的圆心角 .15如图，已知圆锥的母线 AB 6，底面半径 r 2 ，求圆锥的侧面展开图的扇形圆心角参考答案与提示：1.

26、12cm22. 28cm23. 50cm24. （8+8/） cm2 （ 8+2/ ） cm2 第一个表面积大5.1206. 64/9 cm27. 80 cm2 830 cm2 ；10.5 cm2 94cm、8cm1025 cm2 11 20cm12如图所示： AO 为圆锥的高，经过 AO 的剖面是等腰 ABC ，则 AB 为锥面的母线 l，BO 为底面半径 r.13圆柱的侧面展开图是一个边长为 a 的正方形， 圆柱的母线长为 a，底面圆的周长为 a ，则底面圆的半径为 .2 a圆柱的底面圆的半径与圆柱的母线之比为： :a 1:2 .2 14设圆的母线长为 a，则底面半径为 a .2展开图确定的扇形的弧长为 a ，扇形所在圆的半径为 a，设弧所对的圆心角为 180 扇形的弧所对的圆心角为 180 .15设扇形半径为 R，弧长为 l，则R AB 6，l 2 r 4探究活动在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料 （如图 ）现找出其中的一种，测得 C=90， AC=BC=4 ，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇 形的边缘半径恰好都在 ABC 的边上，且扇形的弧与 ABC 的其他边相切请设计出所有 可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径 （ 只要求画出图形，并直接写出扇形半径 ） 参考答案：r4 4 2 4