八年级数学下册112等腰三角形教案新版北师大版精品教案.docx
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八年级数学下册112等腰三角形教案新版北师大版精品教案
课题:
1.1.2等腰三角形
教学目标:
1.探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段,进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式,体会证明的必要性;
2.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程,让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力;
3.在命题的变式中,发展学生提出问题的能力,拓展命题的能力,从而提高学生的学习能力和思维能力,提高学生学习的主体性;
4.在图形的观察中,揭示等腰三角形的本质:
对称性,发展学生的几何直觉.
教学重点与难点:
重点:
经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程,能够用综合法证明等腰(边)三角形的一些结论.
难点:
万事开头难——寻找等腰三角形中的等量线段.
课前准备:
教师:
几何画板课件;等腰三角形纸模。
学生:
每生准备至少三张等腰三角形纸片
教学过程:
一、创设情境,导入新课
活动内容:
用等腰三角形的美(对称性)引入新课
课件展示图片:
世界贸易中心一号楼武汉天兴洲长江大桥(世界上跨度最大的公铁两用斜拉桥)
崇圣寺(以“三塔”著称)
埃及金字塔
引出问题:
(出示几何画板课件:
等腰三角形——定点A可拖动,但无论怎样拖动依然是等腰三角形。
)
问题一:
等腰三角形以它那对称、和谐、庄重、典雅之美成为我们数学殿堂的一枚瑰宝,现实生活中有许多建筑要设计成等腰三角形的形状,那么你对等腰三角形有哪些了解?
问题二:
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?
你能证明你的结论吗?
处理方式:
问题一:
回答要点:
1.等腰三角形的两腰相等;
2.等腰三角形的两底角相等(等边对等角);
3.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高线互相重合;
……
教师组织学生回答问题,并对学生的语言进行规范,除了以上要点,学生回答“等腰三角形的内角和的内角和为180°”等普通三角形也具备的性质,教师也要予以肯定,还有一点那就是等腰三角形具有轴对称性,这一点学生如果想不到教师要进行提醒,因为这一点在下面的教学中有助于开发学生的思路。
问题二
利用问题一引导学生回忆上节课等腰三角形性质的基础上,提出问题二。
设计意图:
回顾性质,既为后续研究判定提供了基础;同时,直接提出新的问题,过渡自然,引入本课研究内容,而新的问题是原有性质的一个自然拓广,有助于提高学生提出问题的能力。
二、探究学习,感悟新知
活动内容1:
想一想,做一做
问题:
在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等),观察其中有哪些相等的线段,并尝试给出证明。
活动中,教师应注意给予适度的引导,如可以渐次提出问题:
问题一:
你可能得到哪些相等的线段?
问题二:
你如何验证你的猜测?
问题三:
你能证明你的猜测吗?
试作图,写出已知、求证和证明过程;
问题四:
还可以有哪些证明方法?
处理方式:
先安排学生在自己的等腰三角形纸片中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),然后进行直观猜测、测量验证。
可能有的学生会借助等腰三角形的轴对称性得出比较一般的结论,如对称轴两边的所有“对应”线段都相等;或在△ABC中,AB=AC,D为AC上任意一点,连接BD,在△ABC中总存在一条过点C的线段与BD相等。
也可能有学生以角平分线、中线、高线等特殊线段为对象进行思考,如将这些线段分为几个情况进行研究:
①两底角的平分线;②顶角的平分线与底角的平分线;③两腰上的中线;④一腰上的中线与底边上的中线;⑤两腰上的高线;⑥一腰上的高线与底边上的高线。
教师首先应当鼓励学生独立思考、大胆猜想,然后组织学生进行交流,在交流时可以利用几何画板针对以上情况进行验证,在充分交流的基础上,梳理出若干需要证明命题,并让学生分组进行证明。
以“等腰三角形两底角的平分线相等”为例:
如图:
利用几何画板制作课件,绘制等腰△ABC,BD和CE是△ABC的角平分线.拖动点A或点C,会改变△ABC的大小,但不会它始终都是等腰三角形,同时可以测量出BD和CE始终相等。
通过学生的自主探究和同伴的交流,以及几何画板实验,学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出:
等腰三角形两个底角的平分线相等;
等腰三角形腰上的高相等;
等腰三角形腰上的中线相等.
并对这些命题给予多样的证明。
为提高课堂效率,可对以上三种情况进行分组证明,学生书写证明过程的时候教师进行巡视,寻找有代表性的做法安排板书。
对于“等腰三角形两底角的平分线相等”,可运用下面的证明方法:
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.
求证:
BD=CE.
证法1:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵∠1=
∠ABC,∠2=
∠ABC,
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2.
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
证法2:
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
又∵∠3=∠4.
在△ABC和△ACE中,
∠3=∠4,AB=AC,∠A=∠A.
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
对于“等腰三角形腰上的中线相等”,可运用下面的证明方法:
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC两腰上的中线.
求证:
BD=CE.
证明:
∵AB=AC,(已知)
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵BE=
AB,CD=
AC,且AB=AC
∴BE=CD.
在△BDC和△CEB中,
∠ACB=∠ABC,BC=CB,BE=CD.
∴△BDC≌△CEB(SAS).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
对于“等腰三角形两腰上的高线相等”,可运用下面的证明方法:
方法一:
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC两腰上的高线.
求证:
BD=CE.
证明:
∵AB=AC,(已知)
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵BD和CE是△ABC两腰上的高线
∴∠CEB=∠BDC=90°(垂直的定义).
在△BDC和△CEB中,
∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠CEB=∠BDC.
∴△BDC≌△CEB(AAS).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
方法二:
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC两腰上的高线.
求证:
BD=CE.
证明:
∵BD和CE是△ABC两腰上的高线
∴∠AEC=∠ADB=90°(垂直的定义).
在△AEC和△ADB中,
∠A=∠A,AB=AC,∠AEC=∠ADB.
∴△AEC≌△ADB(AAS).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
在证明过程中,学生思路一般还较为清楚,但毕竟严格证明表述经验尚显不足,因此,教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求,因此,注意请学生板书其中部分证明过程,借助课件展示部分证明过程;可能部分学生还有一些困难,注意对有困难的学生给予帮助和指导。
设计意图:
让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,进一步体会证明的必要性,并进行证明,从中进一步体会证明过程,感受证明方法的多样性。
活动内容2:
经典例题变式练习
问题:
提请学生思考,除了角平分线、中线、高等特殊的线段外,还可以有哪些线段相等?
并在学生思考的基础上,研究课本“议一议”:
在课本图1—4的等腰三角形ABC中,
(1)如果∠ABD=
∠ABC,∠ACE=
∠ACB呢?
由此,你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=
AC,AE=
AB,那么BD=CE吗?
如果AD=
AC,AE=
AB呢?
由此你得到什么结论?
处理方式:
教学中应注意对学生的引导,因为学生先前这样的经验比较少,可能学生一时不知如何研究问题,教师可以引导学生思考:
把底角二等份的线段相等.如果是三等份、四等份……结果如何呢?
从而引出“议一议”。
由于课堂时间有限,如果学生全部解决上述问题,时间不够,可以在引导学生提出上述这些问题的基础上,让学生证明其中部分问题,而将其余问题作为课外作业,延伸到课外;当然,也可以对不同的学生提出不同的要求,如普通学生仅仅证明其中部分问题,而要求部分学优生解决所有的问题,甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题,你是如何想到这些问题的”。
在学生解决问题的基础上,教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。
分析:
在等腰三角形ABC中,如果∠ABD=
∠ABC,那么BD=CE.这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似.证明如下:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵∠ABD=
∠ABC,∴∠ACE=
∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE.
在△BDC和△CEB中,
∵∠ABD=∠ACE,BC=CB,∠ACB=∠ABC,
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
如果在△ABC中,AB=AC,∠ABD=
∠ABC,∠ACE=∠
∠ACB,那么BD=CE也是成立的.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE,△BDC与△CEB全等的条件就能满足,也就能得到BD=CE.由此我们可以发现:
在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠
∠ABC,∠ACE=
∠ACB,就一定有BD=CE成立.
也可以更直接地说:
在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠ACE,那么BD=CE.
教师归纳思想方法:
以上证明都由特殊结论猜想出了一般结论.请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来.(教师可巡视指导)下面我们来讨论第
(2)问,请小组代表发言.
分析:
在△ABC中,AB=AC,如果AD=
AC,AE=
AB,那么BD=CE;如果AD=
AC,AE=
AB,那么BD=CE.由此我们得到了一个更一般的结论:
在△ABC中,AB=AC,AD=
AC,AE=
AB,那么BD=CE.证明如下:
∵AB=AC.
又∵AD=
AC,AE=
AB,
∴AD=AE.
在△ADB和△AEC中,
AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,
∴△ADB≌△AEC(SAS).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
一般结论也可更简洁地叙述为:
在△ABC中,如果AB=AC,AD=AE,那么BD=CE.
思想方法归纳:
这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论,这是我们研究数学问题常用的一种思想方法,它会使我们得到意想不到的效果.例如通过对这两个问题的研究,我们可以发现等腰三角形中,相等的线段有无数组.这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的.
设计意图:
提高学生变式能力、问题拓广能力,发展学生学习的自主性。
活动内容3:
拓展延伸,探索等边三角形性质
问题:
提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上,思考等边三角形的特殊性质:
等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
处理方式:
安排学生独立完成该命题的证明。
已知:
如图,ΔABC中,AB=BC=AC.
求证:
∠A=∠B=∠C=60°.
证明:
在ΔABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).
同理:
∠C=∠A,∴∠A=∠B=∠C(等量代换).
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠A=∠B=∠C=60°.
设计意图:
以此命题的证明再次规范学生的证明过程。
活动内容4:
小试身手
问题:
如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.
求证:
AE=CD
处理方式:
.在探索得到了等边三角形的性质的基础上,让学生独立完成以下练习。
学生解题,一生板书后进行代表讲解,校正答案.
设计意图:
设计本部分,使学生在巩固等边三角形的性质的同时,进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤,规范证明的书写格式。
三、练习巩固,深化提高
1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数。
2.如图,在△ABC中,D,E是BC的三等分点,且△ADE是等边三角形,求∠BAC的度数。
处理方式:
学生各组选派一名学生选题,小组内的同学自主完成.
教师巡视学生的答题情况,并对个别学习辅导;然后学生的讲解及时点评、鼓励.
设计意图:
心理学研究成果说明:
一个人只要体验到成功的欣慰与快乐,便会激起再一次追求成功胜利的信念和力量.因此我设计了两道练习,以小组比赛的形式,努力为学生创造成功的条件.
四、归纳总结,知识沉淀
问题:
这节课大家通过自己的努力和小组的合作,相信每个同学都有所收获.整理一下本节课的所学,写下来。
我掌握的定理有______;
我学会了_______;
我还知道了_______.
处理方式:
学生写完后,全班交流各自的收获和心得.
教师巡视学生的答题情况,及时点评、鼓励.
设计意图:
课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈,自主发展的意识,写下来更能加深印象.
六、课堂检测,体验成功
A类
1.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于()
A.顶角C.顶角的2倍B.顶角的一半D.底角的一半
2.如图,点D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是()
A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形
3.如图,点E是等边△ABC的边AC上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状最准确的判断是()。
A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状
4.如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线。
求证:
△DBC是等腰三角形
5.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE。
求证:
AE∥BC
处理方式:
学生独立完成,完成后进行校正答案.
设计意图:
通过检测纠错,提高认识知识的效率,使学生能运用所学知识技能解决问题,同时又为学生提供了充分发挥创造力的空间,吧进一步发现和弥补教与学的不足,强化基本技能的训练,培养学生的良好的学习习惯和思维品质.
七、分层作业,发展个性
必做题:
课本第7页习题1.2知识技能第2、3题.
选做题:
课本第7页习题1.2数学理解第4题.
设计意图:
作业层次化,使学生根据自身的实际学习情况选择不同的作业.既满足了不同层次学生的需求,又提高作业的实效性,促进学生学习兴趣与质量的提高.
板书设计:
1.1等腰三角形(第二课时)
证明:
等腰三角形两底角的平分线相等。
(学生板书)
证明:
等腰三角形两腰上的中线相等。
(学生板书)
证明:
等腰三角形两腰上的高线相等。
(学生板书)
证明:
等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°。
(学生板书)