最新北京市东城区届高三综合练习二文科数学.docx

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最新北京市东城区届高三综合练习二文科数学

北京市东城区2018-2018学年度第二学期高三综合练习

（二）

数学（文科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

（1）已知集合

，

，那么

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）执行如图所示程序框图，则输出的结果是

（A）

（B）

（C）

（D）

（4）已知

，

为圆

上关于点

对称的两点，则直线

的方程为

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）设

，

为实数，则“

”是“

”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（6）已知函数

是偶函数,且

，则

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）已知向量

，将向量

绕坐标原点

逆时针旋转

角得到向量

，则下列说法不正确的是

（A）

（B）

（C）

（D）

（8）如图，在边长为

的正方形组成的网格中，有椭圆

，

，

，它们的离心率分别为

，

，

，则

（A）

（B）

（C）

（D）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为

，则复数

．

（10）若函数

在区间

上有且只有一个零点，则实数

．

（11）已知双曲线

的虚轴长是实轴长的

倍，则实数

.

（12）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为________.

（13）已知数列

满足

，且

，

，则

；数列

的前

项的和为________．

（14）一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：

优惠劵A：

若商品标价超过

元，则付款时减免标价的

；

优惠劵B：

若商品标价超过

元，则付款时减免

元；

优惠劵C：

若商品标价超过

元，则付款时减免超过

元部分的

．

某顾客想购买一件标价为

元的商品，若想减免钱款最多，则应该使用优惠劵（填A,B,C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于________元．

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△

中，角

，

，

所对的边分别是

，

，

，且

．

（Ⅰ）若

，求

；

（Ⅱ）若

，且

，求△

的面积．

（16）（本小题共13分）

已知等差数列

满足

，

，其前

项和为

.

（Ⅰ）求

的通项公式及

；

（Ⅱ）令

，求数列

的前

项和.

（17）（本小题共14分）

在梯形

中，

，

，

.平面

⊥平面

，四边形

是矩形，

，点

在线段

上．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）试问当

为何值时，

平面

？

证明你的结论．

（Ⅲ）求三棱锥

的体积.

（18）（本小题共13分）

某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了

辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数

（单位：

公里）分为

类，即

类：

，

类：

，

类：

．该公司对这

辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：

类型

类

类

类

已行驶总里程不超过

万公里的车辆数

已行驶总里程超过

万公里的车辆数

（Ⅰ）从这

辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过

万公里的概率；

（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取

辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从

类车中抽取了

辆车．

（ⅰ）求

的值；

（ⅱ）如果从这

辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过

万公里的概率．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆

与

轴交于

两点，

为椭圆

的左焦点，且△

是边长为

等边三角形．

（Ⅰ）求椭圆

的方程；

（Ⅱ）设直线

与椭圆

交于

，

两点，点

关于

轴的对称点为

（

与

不重合），则直线

与

轴是否交于一个定点？

若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

（20）（本小题共14分）

设函数

，

．

（Ⅰ）若

，求

在区间

上的最大值；

（Ⅱ）设

，求证：

当

时，过点

有且只有一条直线与曲线

相切；

（Ⅲ）若对任意的

，均有

成立，求

的取值范围．

北京市东城区2018-2018学年第二学期高三综合练习

（二）

数学参考答案及评分标准（文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A

（2）C（3）D（4）A

（5）B（6）B（7）C（8）D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）B

注：

两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）由

，得

.

又

，所以

．

由余弦定理可得

．……………………6分

（Ⅱ）由已知

，且

所以

．

故△

的面积

．…………………13分

（16）（共13分）

解：

（Ⅰ）设等差数列

的公差为

，

由

，得

，

又

，解得

．

所以

．

所以

．……………………6分

（Ⅱ）由

，得

．

设

的前

项和为

，

则

．

故数列

的前

项和为

．…………………13分

（17）（共14分）

证明：

（Ⅰ）由题意知，梯形

为等腰梯形，且

，

，

由

，可知

.

又平面

平面

，且平面

平面

，

平面

，

所以

平面

.

又

平面

，

所以

.……………………5分

（Ⅱ）当

时，

平面

.

证明如下：

当

，可得

，故

在梯形

中，设

，连结

，由已知可得

，

所以

.

所以

.

又

所以四边形

为平行四边形.

所以

.

又

平面

，

平面

，

所以

平面

.

当

时，

平面

.…………………11分

（Ⅲ）由已知可得△

的面积

，

故

.

…………14分

（18）（共13分）

解：

（Ⅰ）从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过

万公里的概率为

．……………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）依题意

．……………………6分

（ⅱ）

辆车中已行驶总里程不超过

万公里的车有

辆，记为

；

辆车中已行驶总里程超过

万公里的车有

辆，记为

．

“从

辆车中随机选取两辆车”的所有选法共

种：

．

“从

辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过

万公里”的选法共

种：

．

则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过

万公里的概率

．…………………13分

（19）（共13分）

解：

（Ⅰ）依题意可得

，且

，

解得

．

所以椭圆

的方程是

．…………………5分

（Ⅱ）由

消

，得

．

设

，

，则

．

且

，

．

经过点

，

的直线方程为

令

，则

又

故当

时，

．

即直线

与

轴交于定点

．…………………13分

（20）（共14分）

解：

（Ⅰ）当

时，

．

．

令

，得

或

．

当

，有

，所以

在区间

上是增函数；

当

时，有

，所以

在区间

上是减函数；

所以

在区间

上的最大值为

．…………………5分

（Ⅱ）设过点

的直线与曲线

相切于点

，

则

，且切线斜率为

．

所以

，即

．

所以

，解得

．

即存在唯一的切点

．

所以过点

有且只有一条直线与曲线

相切．…………………9分

（Ⅲ）当

时，对任意

，不等式显然成立；

当

时，不等式等价于

．

当

时，不等式等价于

恒成立．

令

，

，

则

，当

时，显然

，

所以

在区间

上单调递增，

所以

在区间

上有最小值

．

所以

．

当

时，不等式等价于

恒成立．

令

，

，

当

时，

，

所以，当

时，不等式

对

恒成立．

综上，实数

的取值范围是

．…………………14分