全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题专题40尺规作图.docx

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全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题专题40尺规作图

2012年全国中考数学试题分类解析汇编（159套63专题）

专题40：

尺规作图

一、选择题

1.（2012浙江绍兴4分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

甲：

1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，

2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形

乙：

1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点。

2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形。

对于甲、乙两人的作法，可判断【】

　A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确

【答案】A。

【考点】垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形。

【分析】根据甲的思路，作出图形如下：

连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC。

∴OE=DE=

OD。

又∵OB=OD，∴在Rt△OBE中，OE=

OB。

∴∠OBE=30°。

又∵∠OEB=90°，∴∠BOE=60°。

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。

又∵∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°。

同理∠C=60°。

∴∠BAC=60°。

∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°。

∴△ABC为等边三角形。

故甲作法正确。

根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD。

∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB。

∴△BOD为等边三角形。

∴∠OBD=∠BOD=60°。

又∵BC垂直平分OD，∴OM=DM。

∴BM为∠OBD的平分线。

∴∠OBM=∠DBM=30°。

又∵OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°。

∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°。

同理∠ACB=60°。

∴∠BAC=60°。

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC。

∴△ABC为等边三角形。

故乙作法正确。

故选A。

2.（2012山东济宁3分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是【】

A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等

【答案】A。

【考点】作图（基本作图），全等三角形的判定和性质。

【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案：

在△ONC和△OMC中，ON=OM，NC=MC，OC=OC，

∴△ONC≌△OMC（SSS）。

∴∠AOC=∠BOC。

故选A。

3.（2012河北省3分）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，

是【】

A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧

C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧

【答案】D。

【考点】作图（基本作图），平行线的判定，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN=∠AOB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答：

根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，根据作一个角等于已知角的作法，

是以点E为圆心，DM为半径的弧。

故选D。

4.（2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB；再分别以点A,B为圆心，以大于

AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m－1,2n）,则m与n的关系为【】

（A）m＋2n=1（B）m－2n=1（C）2n－m=1（D）n－2m=1

【答案】B。

【考点】作图（基本作图），角平分线性质，点到x轴、y轴距离。

【分析】如图，根据题意作图知，OC为∠AOB的平分线，点C的坐标为

（m－1,2n）且在第一象限，点C到x轴CD=2n，到y轴距离CE=m－1。

根据角平分线上的点到角两边距离相等，得m－1=2n，即m－2n=1。

故选B。

二、填空题

1.（2012河南省5分）如图，在△ABC中，∠C=900，∠CAB=500，按以下步骤作图：

①以点A为圆心，小于AC的长为半径，画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E,F为圆心，大于

EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边与点D，则∠ADC的度数为▲

【答案】650。

【考点】作图，角平分线的性质，三角形内角和外角的性质。

【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质有∠GAB=250。

∵在△ABC中，∠C=900，∠CAB=500，∴根据三角形内角和定理，得∠B=400。

∴根据三角形外角性质，得∠ADC=400＋250=650。

2.（2012江西省3分）如图，已知正五边形ABCDE，仅用无刻度的直尺准确作出其一条对称轴。

（保留作图痕迹）

【答案】作图如下：

【考点】作图题，

【分析】正五边形的性质。

连接BD，CE交于点O，连接AO，即为所求。

三、解答题

1.（2012广东省6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．

（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．

【答案】解：

（1）作图如下：

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，

∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。

∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=

∠ABC=

×72°=36°。

∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。

【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。

【分析】

（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：

①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于

EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于点D。

（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出

∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。

2.（2012广东佛山8分）比较两个角的大小，有以下两种方法（规则）

①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；

②构造图形，如果一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大．

对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．

注：

构造图形时，作示意图（草图）即可．

3.（2012广东珠海6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）

【答案】解：

（1）如图所示：

（2）△ADF的形状是等腰直角三角形。

【考点】作图（基本作图），平行的判定和性质，等腰三角形的判定。

【分析】

（1）作法：

以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于

GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN。

则DN即为所求。

（2）设DN交AM于F，则

∵AB=AC，AD是高，∴∠BAD=∠CAD。

又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，∴∠FAD=

×180°=90°。

∴AF∥BC。

∴∠CDF=∠AFD。

又∵∠AFD=∠ADF，∴∠CDF=∠ADF。

∴AD=AF。

∴△ADF是等腰直角三角形。

4.（2012广东汕头7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．

（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．

【答案】解：

（1）作图如下：

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，

∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。

∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=

∠ABC=

×72°=36°。

∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。

【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。

【分析】

（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：

①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于

EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于点D。

（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出

∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。

5.（2012浙江杭州8分）如图，是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．

（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：

使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；

（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明

．

【答案】解：

（1）如图所示：

（2）∵AB2+BC2=AC2=5a2，∴△ABC是直角三角形，且AC是斜边。

∴AC是△ABC外接圆的直径，则半径为

。

∵△ABC的外接圆的面积为S圆，∴S圆=

。

又∵△ABC的面积S△ABC=

×3a×4a=6a2。

∴

。

【考点】作图（三角形），勾股定理逆定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心。

【分析】

（1）在数轴上截取AC=5a，再以A，C为圆心3a，4a为半径，画弧交点为B，连接AB，BC，则△ABC即为所求。

（2）由三边，根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形，根据直径所对圆周角是直角的性质知AC是△ABC外接圆的直径。

从而求出圆和三角形面积即可求出二者的比值。

6.（2012湖北宜昌7分）如图，已知E是平行四边形ABCD的边AB上的点，连接DE．

（1）在∠ABC的内部，作射线BM交线段CD于点F，使∠CBF=∠ADE；

（要求：

用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）在

（1）的条件下，求证：

△ADE≌△CBF．

【答案】

（1）解：

作图如下：

（2）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC。

∵∠ADE=∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA）。

【考点】作图（复杂作图），平行四边形的性质，全等三角形的判定。

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【分析】

（1）以点C为圆心，AC长为半径画弧，交CD于点F，连接BF，则∠CBF=∠ADE。

（2）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AD=BC，由ASA可证△ADE≌△CBF。

7.（2012湖北荆州8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H．

（1）请根据题意用实线补全图形；

（2）求证：

△AFB≌△AGE．

【答案】解：

（1）画图，如图：

（2）证明：

由题意得：

△ABC≌△AED。

∴AB=AE，∠ABC=∠E。

在△AFB和△AGE中，∵∠ABC=∠E，AB=AE，∠α=∠α，

∴△AFB≌△AGE（ASA）。

【考点】翻折变换（折叠问题），旋转的性质，全等三角形的判定。

【分析】

（1）根据题意画出图形，注意折叠与旋转中的对应关系。

（2）由题意易得△ABC≌△AED，即可得AB=AE，∠ABC=∠E，然后利用ASA的判定方法，即可证得△AFB≌△AGE。

8.（2012四川达州7分）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如

下：

小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.

根据以上情境，解决下列问题：

①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_________.

②小聪的作法正确吗？

请说明理由.

③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.（要求：

作出图形，写出作图步骤，不予证明）

【答案】解：

（1）SSS。

（2）小聪的作法正确。

理由如下：

∵PM⊥OM,PN⊥ON，∴∠OMP=∠ONP=90°。

在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OP，OM=ON，

∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）。

∴∠MOP=∠NOP。

∴OP平分∠AOB。

（3）如图所示.

步骤：

①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG=OH；

②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q；

③作射线OQ。

则OQ为∠AOB的平分线。

【考点】作图（复杂作图），全等三角形的判定和性质。

【分析】

（1）根据全等三角形的判定即可求解。

（2）根据HL可证Rt△OMP≌Rt△ONP，再根据全等三角形的性质即可作出判断。

（3）根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形，写出作图步骤即可。

9.（2012四川巴中9分）①如图1，在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB，

请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA’B’；

②折纸：

有一张矩形纸片ABCD（如图2），要将点D沿某条直线翻折180°，恰好落在BC边上的点D’

处，，请在图中作出该直线。

【答案】解：

①如图，△OA’B’即为所求图形。

②如图，直线MN即为所求图形。

【考点】作图（旋转和轴对变换）。

【分析】

（1）根据旋转角度为90°，旋转方向为顺时针，旋转中心为点O可找到各点的对应点，顺次连

接即可得出△A′B′O即可。

（2）连接DD′，再作出DD′的垂直平分线即可。

10.（2012山东青岛4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：

线段a、c，∠

．

求作：

△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠

．

结论：

【答案】解：

（1）作图如下，△ABC即为所求。

【考点】作图（基本作图）。

【分析】①作∠ABC=∠

，②作BC＝a，AB＝c，③连接AC。

△ABC即为所求。

11.（2012广西北海8分）已知：

如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°。

（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不必写作

法和证明）；

（2）连接DE，求证：

△ADE≌△BDE。

【答案】解：

（1）作图如下：

（2）证明：

∵∠ABD＝

×60°＝30°，∠A＝30°，∴∠ABD＝∠A。

∴AD＝BD。

又∵AE＝BE，∴△ADE≌△BDE（SAS）。

【考点】作图（复杂作图），等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定。

【分析】

（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于

FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M作射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线。

②分别以A、B为圆心，大于

AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y作直线与AB

交于点E，点E就是AB的中点。

（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得

AD=BD，再加上条件AE=BE，即可利用SAS证明△ADE≌△BDE。

12.（2012广西贵港5分）如图，已知△ABC，且∠ACB＝90°。

（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A；

②以点B为顶点，在AB边的下方作∠ABD=∠BAC．

（2）请判断直线BD与⊙A的位置关系（不必证明）．

【答案】解：

（1）作图如图所示：

（2）直线BD与⊙A相切。

【考点】作图（复杂作图），直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质。

【分析】

（1）①以点A为圆心，以BC的长度为半径画圆即可。

②以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与边AB、AC相交于两点E、F，再以点B为圆

心，以同等长度为半径画弧，与AB相交于一点M，再以点M为圆心，以EF长度为半径画弧，与前弧相交于点N，作射线BN即可得到∠ABD；

（2）根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD，再根据平行线间的距离相等可得点A到BD

的距离等于BC的长度，然后根据直线与圆的位置关系判断直线BD与⊙A相切：

∵∠ABD＝∠BAC，∴AC∥BD。

∵∠ACB＝90°，⊙A的半径等于BC，∴点A到直线BD的距离等于BC。

∴直线BD与⊙A相切。

13.（2012广西玉林、防城港6分）已知等腰△ABC的顶角∠A=36°（如图）.

（1）作底角∠ABC的平分线BD,交AC于点D（用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，然后用墨水笔加黑）；

（2）通过计算说明△ABD和△BDC都是等腰三角形.

【答案】解：

（1）如图所示，BD即为所求：

（2）∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°－36°）÷2=72°。

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°。

∴∠CDB=180°－36°－72°=72°。

∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，

∴AD=DB，BD=BC。

∴△ABD和△BDC都是等腰三角形。

【考点】作图（复杂作图），等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理。

【分析】

（1）以B为圆心，任意长为半径画弧，两弧交AB、BC于M、N两点；再分别以M、N为圆心，大于

MN长为半径画弧，两弧交于一点O，画射线BO交AC于D。

BD即为所求。

（2）根据三角形内角和为180°计算出∠ABC，∠C，∠CDB，∠ABD，∠DBC的度数，再根据等角对等边可证出结论。

14.（2012甘肃白银7分）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．

要求：

写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

【答案】解：

已知：

A村、B村、C村，

求作：

一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等。

作图如下：

【考点】作图（应用与设计作图），线段垂直平分线的性质。

【分析】根据线段垂直平分线的性质知，连接AB，作AB的垂直平分线DE，连接AC，作AC的垂直平分线MN，交DE于P，两垂直平分线的交点即是所求答案。

15.（2012甘肃兰州8分）如图

（1），矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，

（1）在图

（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）折叠后重合部分是什么图形？

说明理由．

【答案】解：

（1）作图如下：

（2）等腰三角形。

理由如下：

∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，∴△BDE≌△BDC。

∴∠FDB＝∠CDB。

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD。

∴∠ABD＝∠BDC。

∴∠FDB＝∠BDC。

∴△BDF是等腰三角形。

【考点】翻折变换（折叠问题），尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的判定。

【分析】

（1）根据折叠的性质，可以作∠BDF＝∠BDC，∠EBD＝∠CBD，则可求得折叠后的图形。

作法如下：

作∠BDG＝∠BDC，在射线DG上截取DE＝DC，连接BE；

作∠DBH＝∠DBC，在射线BH上截取BE＝BC，连接DE；

作∠BDG＝∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E；

作∠DBH＝∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；

分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE。

则△DEB为所求做的图形。

（2）由折叠的性质，易得∠FDB＝∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，即可证得∠FDB＝∠FBD，即可证得△FBD是等腰三角形。

16.（2012内蒙古赤峰10分）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．

（1）尺规作图：

过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：

△ABE≌△ACE．