数学运算.docx
《数学运算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学运算.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学运算
数学运算
第一模块代入排除法
从题型来看：
1固定题型：
例1是同余问题的一部分（并非所有的同余都可以）
2多位数题型：
例2
3不定方程问题（无法算出x和y，只能列出他们的关系）或者无法迅速列出方程的问题。
从题本样子来说：
从题干到选项很麻烦，从选项到题干比较容易
注：
如果是要求最大或最小，从选项的最大数或最小数开始代入，其余从A开始代入
看下面题目：
第一题选C，因为A,B没有燃烧到一半，C却燃烧了全部。
第一题设置选项相差有点远，因此肉眼可以看出。
第二题选A，因为甲班走的一定比乙班走的多，所以选A，答案设置时与他们的倍数和比例有关，无需计算，可以用他们的大小关系来判定
注意一个公式：
48是4的12倍，是3的16倍，然后他们距离的比例是16-1比12-1=15：
11
奇偶特性：
不管是加还是减，两个相同的结果的就是偶数，不同的结果就是奇数。
两个相乘的，只要有一个偶数就是偶数。
X+y=偶数，x-y也只能是个偶数。
答案选D
所有的猜题都基于：
出题心理学
怎么猜：
多数原则——选项多次出现的往往是正确的
军棋理论——三个错误的选项的目的是保护正确答案。
（3：
4：
5和3：
5：
4）
相关原则——出题的干扰选项往往有1到2个东西与正确答案和原文有相关度。
（选项相关：
28.4和128.4，再如一道题目如果出的是求差，往往是某一选项减去另一个选项，换言之搞清楚每个选项是怎么来的，选项与选项的关系，选项与原文的关系，从而快速猜题）
例：
已知甲乙苹果的比例是7：
4，隐含的意思是甲是7的倍数，乙是4的倍数。
差是3的倍数，和是11的倍数。
——原则：
如果甲：
乙=m:
n，说明甲是m的倍数，乙是n的倍数，甲+乙是m+N的倍数，甲-乙是m-n的倍数
——注意：
甲是和乙比较还是和全部的和比较
——题目一般是是已知比例，求和。
例：
甲区人口是全城的4/13，说明全城人口是13的倍数。
判断倍数（很重要）：
一个数是2的倍数，尾数是2，4，6，8，0，即偶数
一个数是4的倍数，看末两位能被4整除
一个数是5的倍数，看尾数是5或0
一个数是6的倍数，既是3的倍数，又是2的倍数。
一个数是8的倍数，看末三位。
一个数是3的倍数，去3，每一位都加起来，能被3整除
一个数是7的倍数：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：
13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：
613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
一个数是9的倍数，（去9）每一位加起来，能被9整除
一个数除以一个数的余数，就看其对应的末几位除以这个数的余数即可
例如：
两个数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和？
A.2353B.2896C.3015D.3456
两个数的差是奇数，那么和也是奇数，商是8，说明和是9的倍数。
答案就出来了。
第二模块计算问题模块
第一节尾数法
计算类型的题目，选项的尾数不同，就用尾数法
过程中的最后一位算出结果的最后一位——传统尾数法
过程的最后两位算出结果的最后两位——二位尾数法
1994×2002-1993×2003的值是（）
A.9B.19C.29D.39
88-79=9
除法尾数法：
2000001除以7，我们直接转化为乘法尾数法，用选项的末尾数乘以7，看是否符合。
第二节整体消去法
在计算过程中出现复杂的数，并且数字两两很接近
1994×2002-1993×2003的值是（）
A.9B.19C.29D.39
弃9法（非常重要）
把过程中的每一个9（包括位数之和为9或9的倍数18，27等）都舍去，然后位数相加代替原数计算（答案也要弃9）
上题可以解为：
5*4-4*5，答案去9，剩0的是A
——看例：
8724*3967-5241*1381
8+4=12=33967=75241=2=1=31381=1=3=4
注：
弃9法只适用于加减乘，除法最好不用。
题目：
（873×477-198）÷（476×874＋199）的值是多少？
A.1B.2C.3D.4
方法1，估算法，看题值只有一倍的可能。
方法2，尾数相除，得出1
方法3：
整体相消法
第三节估算法——选项差别很大的用估算法
第四节裂项相加法
这题等于（1分之1-2005分之1）乘以（1/1）
拆成裂项的形式，3=1*3，255=15*17（发散思维，先想到256=16*16）
第五节乘方尾数问题
19991998的末位数字是（）
归纳（重要）：
1.4个数的尾数是不变的：
0，6，5，1
2.除上面之外，底数留个位，指数末两位除以4留余数（余数为0，则看做4）
此方法：
不用记尾数循环。
第三模块初等数学模块
第一节多位数问题（包括小数位）
如果问一个多位数是多少，一律采用直接代入法
多位数问题的一些基础知识：
化归思想（从简单推出复杂，已知推出未知）——以此类推
推出5位数9加上4个0=90000，10位数是9加上9个0
页码（多少页）问题
例题：
编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5
共3个数字），问这本书一共有多少页？
（）
A.117B.126C.127D.189
记住公式：
第二节余数问题
分两类：
1余数问题（一个数除以几，商几，余几）
基本公式：
被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数
一定要分清“除以”和“除”的差别：
哪个是被除数是不同的
如果被除数比除数小，比如12除5，就是5除以12，那商是0，余数是5（他自己）
【例1】一个两位数除以一个一位数，商仍然是两位数，余数是8。
问被除数、除
数、商以及余数之和是多少？
A.98B.107C.114D.125
除数比余数要大，因此除数只能是一位数9，商是两位数，只能是10
例：
有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A
除以C商是6余6，A除以D商是7余7。
那么，这四个自然数的和是？
A.216B.108C.314D.348
注：
商5余5，说明是5的倍数
2同余问题（一个数除以几，余几）
一堆苹果，5个5个的分剩余3个；7个7个的分剩余2个。
问这堆苹果的个数最少为（）。
A.31B.10C.23D.41
没有商，可以采用直接代入的方法。
最少是多少，从小的数代起，如果是最大数，从大的数代起
注：
同余问题的核心口诀（应先采用代入法）：
公倍数（除数的公倍数）做周期（分三种）：
余同取余，和同加和，差同减差
1.余同取余：
用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同
此时该数可以选这个相同的余数，余同取余
例：
“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1（60是最小公倍数，因此要乘以n）
2.和同加和：
用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同
此时该数可以选这个相同的和数，和同加和
例：
“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n+7
3.差同减差：
用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同
此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差
例：
“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n-3
选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n）都满足条件
*同余问题可能涉及到的题型：
在100以内，可能满足这样的条件有几个？
——6n+1就可以派上用场。
特殊情况：
既不是余同，也不是和同，也不是差同
一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有多少个？
A.5个B.6个C.7个D.8个
这样的题目方法1用周期来做，公倍数是180，根据周期，每180会有一个数，三位数总共有900个答案是5个。
方法2每两个两个考虑，到底是不是余同，和同，差同。
第三节星期日期问题
熟记常识：
一年有52个星期，，一年有4个季节，一个季节有13个星期。
一副扑克牌有52张牌，一副扑克牌有4种花色，一种花色13张。
（平年）365天不是纯粹的52个星期，是52个星期多1天。
（闰年）被4整除的都是闰年，366天，多了2月29日，是52个星期多2天。
4年一闰（用于相差年份较长），如下题：
如果2015年的8月21日是星期五，那么2075年的8月25日是星期几？
涉及到月份：
大月与小月
包括月份
共有天数
大月7个个
一、三、五、七、八、十、腊（十二）月
31天
小月5个
二、四、六、九、十一月
30天（2月除外）
例：
甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次，如果5月18日四人在图书馆相遇，则下一次四个人相遇是几月几号？
（）
A.10月18日B.10月14日C.11月18日D.11月14日
隔的概念（隔1天即每2天）：
隔5天即每6天
隔11天即每12天
隔17天即每18天
隔29天即每30天
接着，算他们的最小公倍数，
怎么算最小公倍数呢？
除以最小公约数6，得到1，2，3，5，再将6*1*2*3*5即他们的最小公倍数180。
因此，180天以后是11月14，答案是D
例：
一个月有4个星期四，5个星期五，这个月的15号是星期几？
题眼：
星期四和星期五是连着的，所以，这个月的第一天是星期五，15号是星期五
第四模块比例问题模块
第一节设“1”思想（是计算方法，不是解题方法）
概念：
未知的一个总量，但它是几并不影响结果，可用设1思想，设1思想是广义的“设1法”
可以设为1，2，3等（设为一个比较好算的）。
全部都是分数和比例，所以可以用设1思想，设总选票为60更加好算，60是几个分母的最小公倍数。
商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所用费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克的费用分别为4.4元、6元和6.6元。
如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？
看到4.4，6，6.6我们想到的应该是甲乙丙费用相等都为66，然后就出来了。
第二节工程问题（设1思想的运用）
一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成，如果甲先挖1天，然后乙接甲挖1天，再由甲接乙挖1天，……，两人如此交替，共用多少天挖完？
（）
A.14B.16C.15D.13
设总量为20*10=200，然后用手指掰着算。
设为最小公倍数
一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要10小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需要12小时完成。
现在先由甲丙两人合作翻译4小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要12小时才能完成，则，这篇文章如果全部由乙单独翻译，要多少个小时完成？
A.15B.18C.20D.25
设总量为60
甲+乙=6
乙+丙=5
（甲+丙）4+12乙=60
根据选项是算乙，因此要更加关心乙的地位，要化为乙的算式。
第三节浓度问题
浓度=浓质/浓液浓液=浓质+浓剂
甲杯中有浓度为17％的溶液400克，乙杯中有浓度为23％的溶液600克。
现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。
问现在两杯溶液的浓度是多少（）
A.20％B.20.6％C.21.2％D.21.4％
B。
由于混合后浓度相同，那么现在的浓度等于（总的溶质）÷（总的溶液），即：
（400×17%+600+23%）÷（400+600）×100%＝20.6%。
注意：
答案不可能是A，看起来很简单的答案往往不是答案（公务员考试是复杂的）。
如，一个人从一楼爬到三楼，花了6分钟，那从1楼到30楼，需要几分钟？
解：
不要定向思维选60，1楼到3楼爬了2层，每层3分钟，1楼到30楼，爬了29层，29*3=87，答案是87
例：
在20℃时100克水中最多能溶解36克食盐。
从中取出食盐水50克，取出的溶液
的浓度是多少？
A.36.0%B.18.0%C.26.5%D.72.0%
最多能溶解，即溶解度，此时浓度为36/100+36=C
注：
最多能溶解=无论再往里面加多少克食盐，因为无法溶解，浓度都不变。
例：
一种溶液，蒸发一定水后，浓度为10%；再蒸发同样的水，浓度为12%；第三次蒸
发同样多的水后，浓度变为多少？
（）
A.14%B.17%C.16%D.15%
解：
10%到12%，溶质不变，溶液改变，因此将分子设为最小公倍数60，分母为600到500，蒸发了100分水，因此，第三次的水是400，溶质不变，所以是D
熟记这些数字：
10%，12%，15%，20%，30%，60%（蒸发或增加了同样的水）
第五模块行程问题模块
第一节往返平均速度问题
数学上的平均数有两种：
一种是算术平均数M=（X1+X2+...+Xn）/n即（v1+v2）/2
一种是调和平均数（调和平均数是各个变量值（标志值）倒数的算术平均数的倒数）恒小于算术平均数。
通过往返平均数速度公式的验算，当v1=10,v2=15,v平均=12；当v1=12,v2=15,v平均=20，当v1=15,v2=30,v平均=20，
——熟记这个数字：
10，12，15，20，30，60（对应前文溶液蒸发水的那部分）
应用：
v1=20（10*2）,v2=30（15*2）,v平均=12*2=24，v1=40,v2=60,v平均=48
发现一个特点：
v平均数都是更靠近那个小的数，且可以分成两个1：
2的部分。
第二节相遇追及、流水行船问题
相遇问题（描述上是相向而行）：
v=v1+v2
相背而行（描述商是相反而行）：
v=v1+v2
追及问题（描述上是追上了）：
v=v1（追的那个速度快）-v2（被追的速度慢）
队伍行进问题1（从队尾到队头）实质上是追及问题：
v=v1（追的那个速度快）-v2（被追的速度慢）
队伍行进问题2（从队头到队尾）实质上是相遇问题：
v=v1+v2
流水行船问题（分三类）：
水，风，电梯（顺，取和，逆，取差）
但是，顺着人和队伍走=赶上某人或队伍=追及问题——v=v1-v2
——因此，顺加逆减有原则：
水，风，电梯都是带着人走。
例：
姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追他。
姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。
小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。
问小狗共跑了多少米?
A.600B.800C.1200D.1600
解：
姐姐和弟弟的速度差20，80除以20=4分钟（姐姐要追上弟弟，需要的时间）
因此，小狗的路程=4分钟乘以速度150=600（关键在于抓住不变的值）
补充一题：
青蛙跳井（陷阱）
一只青蛙往上跳，一个井高10米，它每天跳4米，又掉下来3米，问跳几天就到井口？
一定要思考：
当只剩下4米的时候，一跳就跳出去了，因此是第6天跳到6米，第7天就跳到井口了
例：
红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行60米，队尾的王老师以每分钟步行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。
求队伍的长度？
A.630米B.750米C.900米D.1500米
设长度为S
S/90+S/210=10
不用算，S肯定被90和210整除，答案是A630
第三节漂流瓶问题
T1是船逆流的时间，t2是船顺流的时间，所以t1>t2
例
已知：
A、B是河边的两个口岸。
甲船由A到B上行需要10小时，下行由B到A
需要5小时。
若乙船由A到B上行需要15小时，则下行由B到A需要（）小时。
A.4B.5C.6D.7
注意：
甲船和乙船的对应漂流瓶的速度是相等的（同一条河流上）
因此t=2*10*5/（10-5）t=（2*15*t2）/（15-t2）
第五模块几何问题模块（重点）
第一节几何公式法
1周长公式:
正方形=4a,长方形=2（a+b）,圆=2πR（R是半径）
2面积公式：
掌握两个特殊的——S圆=πR2，S扇形=n度数/360*πR2
3常见角度公式：
三角形内角和180°；N边形内角和为（N-2）×180°
4.常用表面积公式：
正方体的表面积=6a2；长方体的表面积=2ab+2bc+2ac；球体的表面积=4πR2
圆柱体的底面积=2πR2；圆柱体的侧面积=2πRh；圆柱体的表面积=2πR2+2πRh
5常用体积公式：
正方体的体积=a*a*a;长方体的体积=abc;球的体积=4/3πR3
圆柱体的体积=πR2h圆锥体的体积=1/3πR2h
【例1】假设地球是一个正球形，它的赤道长4万千米。
现在用一根比赤道长10米的绳子围绕赤道一周，假设在各处绳子离地面的距离都是相同的，请问绳子距离地面大约有多高?
（）
A.1.6毫米B.3.2毫米C.1.6米D.3.2米
［解析］赤道长：
2πR=4万千米；绳长：
2π（R+h）=4万千米+10米；
两式相减：
2πh=10米h=（10/2π）≈1.6米，选择C
【例9】甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5∶4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是多少厘米？
（）
A.20厘米B.25厘米C.30厘米D.35厘米
解：
同样多的水，意味着体积相同，底面积=5：
4，那么体积相同，所以，设这时水深为X，那么，（X-9）：
（x-5）=4:
5
第二节割补平移法
没有公式的“不规则图形”，我们必须使用“割”、“补”、“平移”等手段将其转化为规则图形的问题
第三节几何特性法
等比例放缩特性
一个几何图形其尺度（各边长或长宽高）变为原来的m倍，则：
1.对应角度不发生改变
2.对应长度变为原来的m倍
3.对应面积变为原来的m2倍
4.对应体积变为原来的m3倍
几何最值理论
1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆（正方形），面积越大；
2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆（正方形），周长越小；
3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大；
4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。
【例2】一个油漆匠漆一间房间的墙壁，需要3天时间。
如果用同等速度漆一间长、宽、高
都比原来大一倍的房间的墙壁，那么需要多少天？
（）
A.3B.12C.24D.30
［答案］B
［解析］边长增大到原来的2倍，对应面积增加到4倍，因此共需3×4=12天。
【例5】要建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价
分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为多少元?
（）
A.800B.1120C.1760D.2240
［答案］C
［解析］该水池的底面积为8÷2=4平方米，设底面周长为C米，则：
该无盖水池造价
=2C×80+4×120=160C+480（元），因此，为了使总造价最低，应该使底面周长尽可能短。
由几何最值理论，当底面为正方形时，底面周长最短，此时底面边长为2米，底面周长为8
米。
水池的最低造价=160×8+480=1760（元）
第七模块计数问题模块（统计数量问题）
第一节排列组合问题
核心概念：
1.加法和乘法原理
加法原理：
分类用加法（取其一）
分类：
翻译成“要么，要么”
乘法原理：
分步用乘法（全部取）
分步：
翻译成“先，后，再”
例：
教室里有15个同学，其中有10个男生，5个女生。
选其中一个擦黑板，就是取其一。
（10+5）
教室里有15个同学，其中有10个男生，5个女生，选其中一男一女交际舞，全部取（10*5）
2排列和组合问题
排列（和顺序有关）：
换顺序变成另一种情况的就是排列
A的公式：
假设从m中取N，那A=M*（m-1）连乘N个。
组合（和顺序无关）：
换顺序还是原来的情况那种就是组合
C的公式：
假设从M中取N，那C=[m*（m-1）*（m-2）…]/[n*（n-1）*（n-2）]，分子，分母都连乘n个
【例5】林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。
若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种不同的选择方法?
A.4B.24C.72D.144
解：
不考虑食物的次序，所以用C，然后肉类，蔬菜，点心是属于分步问题（全取），所以用乘法原理。
【例6】一张节目表上原有3个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加2个新
节目，有多少种安排方法?
（）
A.20B.12C.6D.4
解：
顺序不变不等于捆绑,捆绑是只用于挨着的情况。
此题用插空法。
方法1：
分类计算思想——当新节目为XY，要么X，Y在一起的情况和要么x，y不在一起的情况。
——捆绑法的前提：
捆绑的对象必须在一起（相邻问题）
3个人捆起来，A33（也需要安排顺序）——捆绑法先用的
——插空法的前提：
插空的对象不允许在一起（相隔问题）
3个人插空是后插他们，先安排别的元素——插空法是后用的
方法2：
分步计算思想，先插X，再插Y（很重要的思想）
3.错位排列问题（顺序全错）
问题表述：
有N封信和N个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的
种数计作Dn，
核心要求：
大家只要把前六个数背下来即可：
0、1、2、9、44、265。
（分别对应n=1，2，3，4，5，6）
例：
甲、乙、丙、丁四个人站成一排，已知：
甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不
站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？
A.6B.12C.9D.24
【例9】五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？
A.6B.10C.12D.20
解：
C53*2（三个瓶子贴三个标签恰好贴错为2）=20
引申：
5个瓶子恰好贴对了2个=恰好贴错了3个
5个瓶子恰好贴错了4个，答案是0，因为这是不可能的。
第二节比赛计数问题
比赛分类：
循环赛，淘汰赛
1循环赛：
单循环（任何两个人都要打一场）：
Cn2
双循环（任何两个人打两场,分为主场和客场）2*Cn2
注：
在没提示单和双的情况下，是单循环。
2淘汰赛（输一场就走人）
决出冠亚军：
n个人要打（n-1）场，因为要淘汰（n-1）个人
决出冠亚，第三和第四名：
n个人要打n场，冠军和亚军干掉的两个人加一场，所以是n场。
【例2】100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单
打赛多少场？
A
升级会员 