数学运算.docx

1、数学运算数学运算第一模块 代入排除法从题型来看：1固定题型：例1是同余问题的一部分（并非所有的同余都可以）2多位数题型：例23不定方程问题（无法算出x和y，只能列出他们的关系）或者无法迅速列出方程的问题。从题本样子来说：从题干到选项很麻烦，从选项到题干比较容易注：如果是要求最大或最小，从选项的最大数或最小数开始代入，其余从A开始代入看下面题目：第一题选C，因为A,B没有燃烧到一半，C却燃烧了全部。第一题设置选项相差有点远，因此肉眼可以看出。第二题选A，因为甲班走的一定比乙班走的多，所以选A，答案设置时与他们的倍数和比例有关，无需计算，可以用他们的大小关系来判定注意一个公式：48是4的12倍，是

2、3的16倍，然后他们距离的比例是16-1比12-1=15：11奇偶特性：不管是加还是减，两个相同的结果的就是偶数，不同的结果就是奇数。两个相乘的，只要有一个偶数就是偶数。X+y=偶数，x-y也只能是个偶数。答案选D所有的猜题都基于：出题心理学怎么猜：多数原则选项多次出现的往往是正确的军棋理论三个错误的选项的目的是保护正确答案。（3：4：5和3：5：4）相关原则出题的干扰选项往往有1到2个东西与正确答案和原文有相关度。（选项相关：28.4和128.4，再如一道题目如果出的是求差，往往是某一选项减去另一个选项，换言之搞清楚每个选项是怎么来的，选项与选项的关系，选项与原文的关系，从而快速猜题）例：已

3、知甲乙苹果的比例是7：4，隐含的意思是甲是7的倍数，乙是4的倍数。差是3的倍数，和是11的倍数。原则：如果甲：乙=m:n，说明甲是m的倍数，乙是n的倍数，甲+乙是m+N的倍数，甲-乙是m-n的倍数注意：甲是和乙比较还是和全部的和比较题目一般是是已知比例，求和。例：甲区人口是全城的4/13，说明全城人口是13的倍数。判断倍数（很重要）：一个数是2的倍数，尾数是2，4，6，8，0，即偶数一个数是4的倍数，看末两位能被4整除一个数是5的倍数，看尾数是5或0一个数是6的倍数，既是3的倍数，又是2的倍数。一个数是8的倍数，看末三位。一个数是3的倍数，去3，每一位都加起来，能被3整除一个数是7的倍数：若一

4、个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13327，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：61392595 ， 595249，所以6139是7的倍数，余类推。一个数是9的倍数，（去9）每一位加起来，能被9整除一个数除以一个数的余数，就看其对应的末几位除以这个数的余数即可例如：两个数的差是 2345，两数相除的商是 8，求这两个数之和？A.2353 B.2896 C.3015 D

5、.3456两个数的差是奇数，那么和也是奇数，商是8，说明和是9的倍数。答案就出来了。第二模块 计算问题模块第一节 尾数法计算类型的题目，选项的尾数不同，就用尾数法过程中的最后一位算出结果的最后一位传统尾数法过程的最后两位算出结果的最后两位二位尾数法19942002-19932003 的值是( )A.9 B.19 C.29 D.3988-79=9除法尾数法：2000001除以7，我们直接转化为乘法尾数法，用选项的末尾数乘以7，看是否符合。第二节 整体消去法在计算过程中出现复杂的数，并且数字两两很接近19942002-19932003 的值是( )A.9 B.19 C.29 D.39弃9法（非常重

6、要）把过程中的每一个9（包括位数之和为9或9的倍数18，27等）都舍去，然后位数相加代替原数计算（答案也要弃9）上题可以解为：5*4-4*5，答案去9，剩0的是A看例：8724*3967-5241*13818+4=12=3 3967=7 5241=2=1=3 1381=1=3=4注：弃9法只适用于加减乘，除法最好不用。题目：(873477-198)（476874199)的值是多少？A.1 B.2 C.3 D.4方法1，估算法，看题值只有一倍的可能。方法2，尾数相除，得出1方法3：整体相消法第三节 估算法选项差别很大的用估算法第四节 裂项相加法这题等于 （1分之1-2005分之1）乘以（1/1）

7、拆成裂项的形式，3=1*3，255=15*17（发散思维，先想到256=16*16）第五节 乘方尾数问题19991998 的末位数字是（ ）归纳（重要）：1.4个数的尾数是不变的：0，6，5，12.除上面之外，底数留个位，指数末两位除以4留余数（余数为0，则看做4）此方法：不用记尾数循环。第三模块 初等数学模块第一节 多位数问题（包括小数位）如果问一个多位数是多少，一律采用直接代入法多位数问题的一些基础知识：化归思想（从简单推出复杂，已知推出未知）以此类推推出5位数9加上4个0=90000，10位数是9加上9个0页码（多少页）问题例题：编一本书的书页，用了 270 个数字（重复的也算，如页码

8、115 用了 2 个 1 和 1 个 5共 3 个数字），问这本书一共有多少页？（ ）A. 117 B. 126 C. 127 D. 189记住公式：第二节 余数问题分两类：1余数问题（一个数除以几，商几，余几）基本公式：被除数除数=商余数（0余数除数一定要分清“除以”和“除”的差别：哪个是被除数是不同的如果被除数比除数小，比如12除5，就是5除以12，那商是0，余数是5（他自己）【例 1】一个两位数除以一个一位数，商仍然是两位数，余数是 8。问被除数、除数、商以及余数之和是多少？A. 98 B. 107 C. 114 D. 125除数比余数要大，因此除数只能是一位数9，商是两位数，只能是10

9、例：有四个自然数 A、B、C、D，它们的和不超过 400，并且 A 除以 B 商是 5 余 5，A除以 C 商是 6 余 6，A 除以 D 商是 7 余 7。那么，这四个自然数的和是？A. 216 B. 108 C. 314 D. 348注：商5余5，说明是5的倍数2同余问题（一个数除以几，余几）一堆苹果，5 个 5 个的分剩余 3 个；7 个 7 个的分剩余 2 个。问这堆苹果的个数最 少为（ ）。A.31 B.10 C.23 D.41没有商，可以采用直接代入的方法。最少是多少，从小的数代起，如果是最大数，从大的数代起注：同余问题的核心口诀（应先采用代入法）：公倍数（除数的公倍数）做周期（分

10、三种）：余同取余，和同加和，差同减差1.余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同此时该数可以选这个相同的余数，余同取余例：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，则取 1，表示为 60n+1（60是最小公倍数，因此要乘以n）2.和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同此时该数可以选这个相同的和数，和同加和例：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，则取 7，表示为 60n+73.差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差例：“一个数除以 4

11、余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3”，则取-3，表示为 60n-3选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的 60n）都满足条件*同余问题可能涉及到的题型：在100以内，可能满足这样的条件有几个？6n+1就可以派上用场。特殊情况：既不是余同，也不是和同，也不是差同一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，这样的三位数共有多少个？A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个这样的题目方法1用周期来做，公倍数是180，根据周期，每180会有一个数，三位数总共有900个答案是5个。方法2每两个两个考虑，到底是不是余同，和同，差同。第三节 星期日期问

12、题熟记常识：一年有52个星期，一年有4个季节，一个季节有13个星期。一副扑克牌有52张牌，一副扑克牌有4种花色，一种花色13张。（平年）365天不是纯粹的52个星期，是52个星期多1天。（闰年）被4整除的都是闰年，366天，多了2月29日，是52个星期多2天。4年一闰（用于相差年份较长），如下题：如果2015年的8月21日是星期五，那么2075年的8月25日是星期几？涉及到月份：大月与小月包括月份共有天数大月7个个一、三、五、七、八、十、腊（十二）月31 天小月5个二、四、六、九、十一月30 天（2 月除外）例：甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔 5 天去一次，乙每隔 11 天去一次，

13、丙每隔 17 天去一次，丁每隔 29 天去一次，如果 5 月 18 日四人在图书馆相遇，则下一次四 个人相遇是几月几号？（ ）A. 10 月 18 日 B. 10 月 14 日 C. 11 月 18 日 D. 11 月 14 日隔的概念（隔1天即每2天）：隔5天即每6天隔11天即每12天隔17天即每18天隔29天即每30天接着，算他们的最小公倍数，怎么算最小公倍数呢？除以最小公约数6，得到1，2，3，5，再将6*1*2*3*5即他们的最小公倍数180。因此，180天以后是11月14，答案是D例：一个月有4个星期四，5个星期五，这个月的15号是星期几？题眼：星期四和星期五是连着的，所以，这个月的

14、第一天是星期五，15号是星期五第四模块 比例问题模块第一节 设“1”思想（是计算方法，不是解题方法）概念：未知的一个总量，但它是几并不影响结果，可用设1思想，设1思想是广义的“设1法”可以设为1，2，3等（设为一个比较好算的）。全部都是分数和比例，所以可以用设1思想，设总选票为60更加好算，60是几个分母的最小公倍数。商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所用费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克 的费用分别为4.4元、6元和6.6元。如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每 千克的成本是多少元？看到4.4，6，6.6 我们想到的应该是甲乙丙费用相等都为66，然后就出来了。第二节 工程问题（

15、设1思想的运用）一条隧道，甲单独挖要 20 天完成，乙单独挖要 10 天完成，如果甲先挖 1 天，然后 乙接甲挖 1 天，再由甲接乙挖 1 天， ，两人如此交替，共用多少天挖完？（ ）A. 14 B. 16 C. 15 D. 13设总量为20*10=200，然后用手指掰着算。设为最小公倍数一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要 10 小时完成，如果 由乙丙两人合作翻译，需要 12 小时完成。现在先由甲丙两人合作翻译 4 小时，剩下的再由 乙单独去翻译，需要 12 小时才能完成，则，这篇文章如果全部由乙单独翻译，要多少个小 时完成？A.15 B.18 C.20 D.25设总量为6

16、0甲+乙=6乙+丙=5（甲+丙）4+12乙=60根据选项是算乙，因此要更加关心乙的地位，要化为乙的算式。第三节 浓度问题浓度=浓质/浓液 浓液=浓质+浓剂甲杯中有浓度为17的溶液400克，乙杯中有浓度为23的溶液600克。现在从甲、 乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯 中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。问现在两杯溶液的浓度是多少（ ）A.20 B.20.6 C.21.2 D.21.4B。由于混合后浓度相同，那么现在的浓度等于（总的溶质）（总的溶液），即：（40017%+600+23%）（400+600）100%20.6%。注意：答案不可能是A，看起来

17、很简单的答案往往不是答案（公务员考试是复杂的）。如，一个人从一楼爬到三楼，花了6分钟，那从1楼到30楼，需要几分钟？解：不要定向思维选60，1楼到3楼爬了2层，每层3分钟，1楼到30楼，爬了29层，29*3=87，答案是87例：在 20 时 100 克水中最多能溶解 36 克食盐。从中取出食盐水 50 克，取出的溶液的浓度是多少？A.36.0% B.18.0% C.26.5% D.72.0%最多能溶解，即溶解度，此时浓度为36/100+36=C注：最多能溶解=无论再往里面加多少克食盐，因为无法溶解，浓度都不变。例：一种溶液，蒸发一定水后，浓度为 10%；再蒸发同样的水，浓度为 12%；第三次蒸

18、发同样多的水后，浓度变为多少？（ ）A. 14% B. 17% C. 16% D. 15%解：10%到12%，溶质不变，溶液改变，因此将分子设为最小公倍数60，分母为600到500，蒸发了100分水，因此，第三次的水是400，溶质不变，所以是D熟记这些数字：10%，12%，15%，20%，30%，60%（蒸发或增加了同样的水）第五模块 行程问题模块第一节 往返平均速度问题数学上的平均数有两种：一种是算术平均数M=(X1+X2+.+Xn)/n 即（v1+v2）/2一种是调和平均数（调和平均数是各个变量值（标志值）倒数的算术平均数的倒数）恒小于算术平均数。通过往返平均数速度公式的验算，当v1=10

19、,v2=15,v平均=12；当v1=12,v2=15,v平均=20，当v1=15,v2=30,v平均=20，熟记这个数字：10，12，15，20，30，60（对应前文溶液蒸发水的那部分）应用：v1=20（10*2）,v2=30（15*2）,v平均=12*2=24，v1=40,v2=60,v平均=48发现一个特点：v平均数都是更靠近那个小的数，且可以分成两个1：2的部分。第二节 相遇追及、流水行船问题相遇问题（描述上是相向而行）：v =v1+v2相背而行(描述商是相反而行)：v=v1+v2追及问题（描述上是追上了）：v=v1(追的那个速度快)-v2(被追的速度慢)队伍行进问题1（从队尾到队头）实

20、质上是追及问题：v=v1(追的那个速度快)-v2(被追的速度慢)队伍行进问题2（从队头到队尾）实质上是相遇问题：v=v1+v2流水行船问题（分三类）：水，风，电梯（顺，取和，逆，取差）但是，顺着人和队伍走=赶上某人或队伍=追及问题v=v1-v2因此，顺加逆减有原则：水，风，电梯都是带着人走。例：姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走 40 米，走 80 米后姐姐去追他。姐姐每分钟走 60 米，姐姐带的小狗每分钟跑 150 米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米?A.600 B.800 C.1200 D.1600解：姐姐和弟弟的

21、速度差20，80除以20=4分钟（姐姐要追上弟弟，需要的时间）因此，小狗的路程=4分钟乘以速度150=600（关键在于抓住不变的值）补充一题：青蛙跳井（陷阱）一只青蛙往上跳，一个井高10米，它每天跳4米，又掉下来3米，问跳几天就到井口？一定要思考：当只剩下4米的时候，一跳就跳出去了，因此是第6天跳到6米，第7天就跳到井口了例：红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟 步行 150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米设长度为SS/90+S/210=10不用算，S肯

22、定被90和210整除，答案是A630第三节 漂流瓶问题T1是船逆流的时间，t2是船顺流的时间，所以t1t2 例已知：A、B 是河边的两个口岸。甲船由 A 到 B 上行需要 10 小时，下行由 B 到 A需要 5 小时。若乙船由 A 到 B 上行需要 15 小时，则下行由 B 到 A 需要（ ）小时。A.4 B.5 C.6 D.7注意：甲船和乙船的对应漂流瓶的速度是相等的(同一条河流上)因此t=2*10*5/(10-5) t=(2*15*t2)/(15-t2)第五模块 几何问题模块（重点）第一节 几何公式法1周长公式:正方形=4a,长方形=2（a+b）,圆=2R（R是半径）2面积公式：掌握两个特

23、殊的S圆=R2，S扇形=n度数/360*R23常见角度公式：三角形内角和 180；N 边形内角和为（N-2）1804.常用表面积公式：正方体的表面积=6a2；长方体的表面积=2ab+2bc+2ac；球体的表面积=4R2圆柱体的底面积=2R2；圆柱体的侧面积=2Rh；圆柱体的表面积=2R2+2Rh5常用体积公式：正方体的体积=a*a*a;长方体的体积=abc;球的体积=4/3R3圆柱体的体积=R2 h 圆锥体的体积= 1/3R2h【例 1】假设地球是一个正球形，它的赤道长 4 万千米。现在用一根比赤道长 10米的绳子围绕赤道一周，假设在各处绳子离地面的距离都是相同的，请问绳子距离地面大约有多高?

24、（ ）A.1.6 毫米 B.3.2 毫米 C.1.6 米 D.3.2 米解析赤道长：2R =4 万千米；绳长：2（R+h）=4 万千米+10 米；两式相减：2h=10 米 h=（10/2）1.6 米，选择 C【例 9】甲、乙两个容器均有 50 厘米深，底面积之比为 54，甲容器水深 9 厘米，乙容器 水深 5 厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是多少厘 米？（ ）A.20 厘米 B.25 厘米 C.30 厘米 D.35 厘米解：同样多的水，意味着体积相同，底面积=5：4，那么体积相同，所以，设这时水深为X，那么，（X-9）：（x-5）=4:5第二节 割补平移法没

25、有公式的“不规则图形”，我们必须使用“割”、“补”、“平移”等手段将其转化为规则图形的问题第三节 几何特性法等比例放缩特性一个几何图形其尺度（各边长或长宽高）变为原来的 m 倍，则：1.对应角度不发生改变2.对应长度变为原来的 m 倍3.对应面积变为原来的 m2 倍4.对应体积变为原来的 m3 倍几何最值理论1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆（正方形），面积越大；2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆（正方形），周长越小；3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大；4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。【例 2】一个油漆匠漆一间房间的墙壁，需要 3 天时间。如果用同等

26、速度漆一间长、宽、高都比原来大一倍的房间的墙壁，那么需要多少天？（ ）A.3 B.12 C.24 D.30答案B解析边长增大到原来的 2 倍，对应面积增加到 4 倍，因此共需 34=12 天。【例 5】要建造一个容积为 8 立方米，深为 2 米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米 120 元和 80 元，那么水池的最低造价为多少元?（ ）A.800 B.1120 C.1760 D.2240答案C解析该水池的底面积为 82=4 平方米，设底面周长为 C 米，则：该无盖水池造价=2C80+4120=160C+480（元），因此，为了使总造价最低，应该使底面周长尽可能短。由 几何最值

27、理论，当底面为正方形时，底面周长最短，此时底面边长为 2 米，底面周长为 8米。水池的最低造价=1608+480=1760（元）第七模块 计数问题模块（统计数量问题）第一节 排列组合问题核心概念： 1.加法和乘法原理加法原理：分类用加法（取其一）分类：翻译成“要么，要么”乘法原理：分步用乘法（全部取）分步：翻译成“先，后，再”例：教室里有15个同学，其中有10个男生，5个女生。选其中一个擦黑板，就是取其一。（10+5）教室里有15个同学，其中有10个男生，5个女生，选其中一男一女交际舞，全部取（10*5）2排列和组合问题排列（和顺序有关）：换顺序变成另一种情况的就是排列A的公式：假设从m中取N

28、，那A=M*（m-1）连乘N个。组合（和顺序无关）：换顺序还是原来的情况那种就是组合C的公式：假设从M中取N，那C=m*(m-1)*(m-2)/n*(n-1)*(n-2)，分子，分母都连乘n个【例 5】林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同 蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种不同的选 择方法?A.4 B.24 C.72 D.144解：不考虑食物的次序，所以用C，然后肉类，蔬菜，点心是属于分步问题（全取），所以用乘法原理。【例 6】一张节目表上原有 3 个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加 2 个新节目，有多少种

29、安排方法?（ ）A. 20 B. 12 C. 6 D. 4解：顺序不变不等于捆绑,捆绑是只用于挨着的情况。此题用插空法。方法1：分类计算思想当新节目为XY，要么X，Y在一起的情况和要么x，y不在一起的情况。捆绑法的前提：捆绑的对象必须在一起（相邻问题）3个人捆起来，A33（也需要安排顺序）捆绑法先用的插空法的前提：插空的对象不允许在一起（相隔问题）3个人插空是后插他们，先安排别的元素插空法是后用的方法2：分步计算思想，先插X，再插Y（很重要的思想）3.错位排列问题（顺序全错）问题表述：有 N 封信和 N 个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计作 Dn，核心要求：大家只要把前六

30、个数背下来即可：0、1、2、9、44、265。（分别对应n=1，2，3，4，5，6）例：甲、乙、丙、丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？A.6 B.12 C.9 D.24【例 9】五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？A.6 B.10 C.12 D.20解：C53*2（三个瓶子贴三个标签恰好贴错为2）=20引申：5个瓶子恰好贴对了2个=恰好贴错了3个5个瓶子恰好贴错了4个，答案是0，因为这是不可能的。第二节 比赛计数问题比赛分类：循环赛，淘汰赛1循环赛：单循环（任何两个人都要打一场）：Cn2双循环（任何两个人打两场,分为主场和客场）2*Cn2注：在没提示单和双的情况下，是单循环。2淘汰赛（输一场就走人）决出冠亚军：n个人要打（n-1）场，因为要淘汰（n-1）个人决出冠亚，第三和第四名：n个人要打n场，冠军和亚军干掉的两个人加一场，所以是n场。【例 2】100 名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？A