小学奥数公式大全.docx

小学奥数公式大全.docx

《小学奥数公式大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数公式大全.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

小学奥数公式大全

计算板块.................................................................................................................................................2

计数板块.................................................................................................................................................5

数论板块.................................................................................................................................................7

应用题板块...........................................................................................................................................11

几何板块...............................................................................................................................................15

行程板块...............................................................................................................................................21

计算板块

1、加法交换律：

abba，abcacb

2、加法结合律：

abcabc

3、乘法交换律：

abba，abcacb

4、乘法结合律：

abcabc

5、乘法分配律：

abcabac

6、“除法分配律”：

abcacbc

7、减法性质：

abcabc

8、除法性质：

abcabc

9、商不变性质：

abambmanbn，m0,n0

10、积不变性质：

abambm，m0

11、等差数列相关：

项数n，公差d，首项a，第n项a，前n项和

S，1nn

通项公式：

aa1nd，aanmd

n1n，

m

项数公式：

1

nn1，

aad

若mnpq，maaa

a

npq

求和公式：

2

S1

aan

n，

n

中项定理，奇数项等差数列：

Snan

n1

从1开始连续自然数求和：

2

1

12

nnn

2

从1开始连续奇数求和：

132n1n

2

从2开始连续偶数求和：

242nnn1

12、多位数乘法：

99101

MM

nM99时，积的数字和为9n

当n个9n个9

13、a，

bab2a2abb

2a22abb222

a，a1b1abab1

baba2b

2

a3a3ab3abb

b

3223

a，

3babaabb

3322

22a3babaabb

1

14、平方求和：

121

1222n2nnn

6

1

立方求和：

132n12nnn1

22332

4

1

15、整数裂项：

12

1223nn1nnn

3

1

123234nn1n2nnnn

123

41

13352n12n1nnn

2321213

6

1111

分数裂项：

1

1

1223nn1n

111111

123234nn1n2212n1n2

16、缺8数：

123456799111111111，

1234567918222222222，

···，

1234567981999999999；

12345679898765432

17、走马灯数：

1，

··

0.142857

7

4，

··

0.571428

7

2·，

·

0.285714

7

5··，

0.714285

7

3··，

0.428571

7

6

··

0.857142

7

1428572285714，1428573428571，1428574571428，

1428575714285，1428576857142，1428577999999.

18、山顶数：

1111121，11111112321，······

山顶数列求和：

12n1nn121n

2

121，

121221232112321333，······

22

奇数山顶数列求和：

13

22

19、重码数：

ab101abab，ab1001ab0ab

abc1001abcabc，ab10101ababab

20、车轮数：

123423413412412312341111

21、循环小数化分数：

·a

a，

9

0.

··

ab

0.

ab，

99

··

0.abc

abca

990

附：

若一个最简分数，它的分母仅含质因数2和5，则它可化为有限小数，反之必为无

限循环小数；若分母仅含2,5以外的质因数，则必可化为纯循环小数，若分母含质因数

2或5，且含2,5以外的质因数，则必可化为混循环小数.

aaq

n1

n1

22、等比数列相关：

Snaq1

n1

a1qnaq

a

S1

1q1

n

n

1q1q

23、常用数列：

1,4,9,16,25,36，······，ann2

0,3,8,15,24,35，······，an21

n

1,3,7,13,21,31，······，an2n1

n

1,2,4,8,16,32，······，2n1

a

n

1,1,2,3,5,8,13，······，anaa

n1n2

1

1,3,6,10,15,21，······，1

ann

n

2

计数板块

1、容斥原理

二元容斥：

AB＝A＋B－AB

三元容斥：

ABC＝A＋B＋C－AB－BC－AC＋ABC

2、抽屉原理

苹果数÷抽屉数（n）＝商……余数

余数：

（1）余数＝x（1≤x≤n－1），结论：

至少有“商＋1”个苹果在同一个抽屉里

（2）余数＝0，结论：

至少有“商”个苹果在同一个抽屉里

3、排列组合

n!

排列：

Pm

m

＝A＝n（n－1）（n－2）（n－m＋1）＝

n－

n

（nm）!

组合：

nn2）（n－m1）n!

（n－1）（－＋

Cm

＝＝

n－

m（m－1）（m－2）××1（nm）!

×m!

n－

其他：

CCn1C＋C＋C＋＝2

0n＝＝，Cnm＝Cnm，012nn

－

nnnnn

常用方法：

捆绑法；插空法；隔板法；排除法；枚举法．

4、几何计数

①线段：

一条线段被分成n个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数

1

为：

1＋2＋3＋＋＝2

（1）条。

nCnn

n1

2

②角：

一个角被分成n个互不重叠的小角（大于0°，小于180°），那么这个角共

1

包含的角数为：

1＋2＋3＋＋＝2

（1）个。

nCnn

n1

2

③三角形：

一个三角形底边被从对顶点引的线把底边分成n个互不重叠的小线

1

段，那么这个三角形共包含的三角形数为：

1＋2＋3＋＋＝2

（1）

nCnn

n1

2

个。

④长方形：

网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数＝长边上所有线段数×

宽边上所有线段数。

⑤正方形：

一般的，一个长方形的长被分成n份，宽被分成m份（n≥m，每小

格均为相等的正方形），那么这个长方形中正方形的总数为：

nm＋n－m－＋＋m．

（1）

（1）1）1

⑥包含☆的长方形个数＝☆上线段数×☆下线段数×☆左线段数×☆右线段数

⑦所有长方形的面积和＝长边上的所有线段的长度和×宽边上的所有线段的长度

和

5、归纳计数

n个图形最多可把平面分成部分数：

1.直线：

1

2＋2＋3＋＋＝＋

（1）

nn

2

2.圆：

2＋2＋4＋＋（－1）＝2＋n（n1）

3.椭圆：

2481）22n（n1）

4.三角形：

2＋6＋12＋＋（－1）＝2＋3n（n1）

5.长方形：

2＋8＋16＋＋（－1）＝2＋4n（n1）

数论板块

1、奇偶性质：

奇数：

2k1，偶数：

2k；

性质1：

偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数

性质2：

偶数±奇数=奇数

性质3：

偶数个奇数的和是偶数

性质4：

奇数个奇数的和是奇数

性质5：

偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数

常用：

ab与ab奇偶性相同.

2、质数：

（1）100以内质数：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、

59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个．

（2）0和1不是质数，也不是合数．

（3）除了2其余的质数都是奇数．

（4）除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9

（5）常用质数：

101,103,107,109,2017

（6）最小三位质数：

101；最大三位质数：

997；最小四位质数：

1009；最大四位质数：

9973

（7）最小偶合数：

4；最小奇合数：

9

3、部分特殊数的分解：

9993；100171113；10031759；1111141271；

337

1000173137；199535719；200732223；200823251；

20092；201222503；201331161；201421953；

741

201551331；201625327；10101371337

4、数的整除（部分可用于求余数）：

末一位：

2,5

数尾

末两位：

4,25

末三位：

8，125

末n位：

2n，5n

一位截断求和：

9,3

两位截断求和：

99,33，······

数和

三位截断求和：

999,333,111,27,37，······

n位截断求和：

99999

，及9

n个9n个9

的所有约数

一位截断作差：

11

两位截断作差：

101

数差

三位截断作差：

1001,7,11,13

n位截断作差：

1001，及1001的所有约数

n1个0n1个0

5、约数倍数

（1）约数个数：

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数（次

数）加1后所得的和的乘积。

如:

1400严格分解质因数之后为23527，所以它的约数有31211124个；

（2）约数和：

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依

次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的

所有约数的和。

如：

21000233537，所以21000所有约数的和为

（1222）（13）（1555）（17）74880

2323

（3）求最大公约数与最小公倍数主要方法：

短除法、分解质因数法、辗转相除法

（4）aba,ba,b

6、余数三大定律

（1）余数的加法定律：

和的余数等于余数的和的余数；

（2）余数的减法定律：

差的余数等于余数的差；（特别的余数相同称为同余）

（3）余数的乘法定律：

积的余数等于余数的积的余数；

7、完全平方数

001021002024003029004021600特殊平方数

2

11112121212441312961

2

4121681

122144212441

224122144222484

3210244221764132169312961

2

391321692325293321089432184933210899929801

2

接近2016平方数：

421614219624257634211564421936

52515222525262535212254522025

2

4522025

63616225626267636212964622116

2

第一个四位平方数：

74917228927272937213694722209

2

321024

2

86418232428278438214444822304

2

928119236129284139215214922401

0、1、4、5、6、9个位

奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数

十位是奇数个位是6十位

个位是5十位是2

奇约数完全平方数奇数个约数

偶指数完全平方数质因数指数是偶数

0、1（mod3）

（mod4）0、1

偶数的平方是4的倍数;奇数的平方除以4余1

0、1、4（mod5）余数

（mod8）0、1、4

奇数的平方除以8余1;偶数的平方除以8余0或4

0、1、4、7（mod9）

0、1、4、9（mod16）

整除性如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数

连续性在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数

8、进位制：

（1）其他进制转10进制，位值原理展开，例12316263651

6210

（2）10进制转其他进制，短除，倒取余数。

应用题板块

一、归一、归总问题

正归一：

总工作量=每份工作量×份数

反归一：

份数=总工作量÷每份工作量

每份工作量=总工作量÷份数

二、和差倍

1、和差问题：

已知：

较大的数-较小的数=两数的差

较大的数+较小的数=两数的和

那么我们可以求出：

较小的数=（和－差）÷2

较大的数=（和+差）÷2

2、和倍问题

已知：

较大的数+较小的数=两数的和

较大的数=倍数×较小的数

那么我们可以求出：

较小的数=和÷（倍数+1）

较大的数=较小的数×倍数或较大的数=和-较小的数

3、差倍问题

已知：

较大的数-较小的数=两数的差

较大的数=倍数×较小的数

那么我们可以求出：

较小的数=差÷（倍数－1）

较大的数=倍数×较小的数或较大的数=和-较小的数

三、盈亏问题

1、盈亏型：

（盈亏）两次分得之差人数或单位数

2、盈盈型：

（盈盈）两次分得之差人数或单位数

3、亏亏型：

（亏亏）两次分得之差人数或单位数

四、鸡兔同笼问题

常用方法：

假设法，方程

总差÷单位差=单位数

五、平均数问题

平均数＝总数量÷总份数

六、页码问题

1~9页：

199个数码

10~99页：

290180个数码

······

七、植树问题

通用公式：

全长株距段数

1、不封闭的植树路线.

①两端都植树：

段数=棵数1

②一端植树：

段数棵数

③两端都不植树：

段数=棵数+1

2、封闭的植树路线：

圆、正方形、长方形、闭合曲线等

棵数段数周长株距.

八、方阵问题

通用公式：

每层总数=[每边人（或物）数-1]×4

每边人（或物）数每层总数41

1、实心方阵：

总数=最外层每边人（或物）数2

2、空心方阵：

总人（或物）数（最外层每边人（或物）数层数）层数4

（最外层人（或物）数最内层人（或物）数）层数2

九、牛吃草问题

思路：

假设1头牛1天吃草量为“1”；

草长型：

第一步：

草生长速度（较少牛数较多天数较多牛数较少天数）（较多天数较少天

数）；

第二步：

原来的草量（牛数草的生长速度）天数；

第三步：

天数原来的草量（牛的头数草的生长速度）；

牛数原来的草量吃的天数草的生长速度．

草减型：

第一步：

草减少速度（较多牛数较少天数较少牛数较多天数）（较多天数较少天

数）；

第二步：

原来的草量（牛数＋草的生长速度）天数；

第三步：

天数原来的草量（牛数＋草的减少速度）；

牛数原来的草量天数－草的减少速度．

十、工程问题

思路：

工作总量一般抽象成单位“1”

常用公式：

工作总量=工作效率×工作时间，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率；

十一、经济问题

常用公式：

售价成本利润

利润率

利润

售价成本

100%100%

成本成本

售价成本（利润率）

1

成本

售价

利润率1

利息=本金×利率×期数；

十二、浓度问题

溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量

浓度＝

溶质质量

溶液质量

×100%=

溶质质量

溶质质量+溶剂质量

×100％

溶质质量=溶液质量×浓度

十字交叉法（令A溶液浓度大于B溶液浓度）：

几何板块

1、角：

（1）锐角、直角、钝角、劣角、平角、优角、周角

（2）内角：

n边形内角和180n2度，正n边形内角

180n2

度

n

（3）外角：

凸多边形外角和均为360°

（4）常用：

等腰三角形两底角相等；直角90°；正三角形每个角60°；等腰直角三角形底角

45°

2、一笔画与多笔画：

（1）偶点、奇点：

一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点，相应的把与奇数条线相连

接的点叫做奇点

（2）对于连通图形：

有0个奇点，可以从任意点出发一笔画成并回到该点结束；有2个奇

点，可以一笔画，但是必须从一个奇点出发，另一个奇点结束；有2nn0个奇点，需n笔

画

（3）多笔画变一笔画：

在两奇点之间添线或去线

3、周长：

（1）公式：

长方形：

Cab2；

正方形：

C4a；

圆：

C2rd

n

弧：

lr

180

（2）巧求周长：

平移、拉角、标向

（3）周长拼割：

每剪一刀增加两条拼接处的边长，每拼一次减少对应拼接处的两条边长

4、面积：

（1）公式：

长方形：

Sab，

正方形：

Sa2

三角形：

1

Sah

2